精品解析：吉林省“BEST”合作体六校2024-2025学年高三上学期第三次联考数学试卷

2024-2025学年度上学期吉林省“BEST”合作体 高三年级六校联考 高三数学试题 本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷客观题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部. 【详解】由， 则，的虚部为2. 故选：D. 2. 已知数列{an}是等差数列，若a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=3，则a7+a8+a9=（ ） A. 5 B. 4 C. 9 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9 成等差数列，根据等差中项求解即可. 【详解】由数列{an}是等差数列可知，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9 成等差数列， 所以a7+a8+a9= ， 故选：A 3. 已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得到命题“”为真命题，讨论和两种情况可求得结果. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以，命题“”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 4. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解. 【详解】， 在上的投影向量为， 故选：C 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，即，整体法求出函数的值域. 【详解】， 图象向左平移个单位长度，得到， 上，， 则在上的值域为. 故选：C. 6. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用叠加法，求得，得到，结合函数的单调性，以及，即可求解. 【详解】由数列满足， 则 ， 所以， 又由函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，可得；当时，可得， 因为，所以的最小值为. 故选：A. 7. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，解得和，分，和三种情况，结合函数不等式恒成立得到，从而求出的最大值，得到答案. 【详解】由，解得，令，解得， 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 所以，即，则， 当时等号成立,的最大值为. 故选：C. 8. 记的内角的对边分别是，已知，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解. 【详解】由及正弦定理， 得，即， 由余弦定理得，，∵，∴． 由，， 两边平方，得 即 ， 当且仅当，即时取等号，即， ∴线段CD长度的最小值为． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象与轴的交点坐标为 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象求周期，然后可判断A；根据正切函数定义域可判断B；代入验证可判断C；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断D. 【详解】对A，由图可知，的最小正周期，则，A正确； 对B，由图象可知时，函数无意义，故， 由，得，即，B错误； 对C，，C正确； 对D，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 在单调递增 C. 有三个实根 D. ，当时，恒成立，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导后可得单调性，结合极值定义可知AB正误；作出图象，根据与的交点个数可得C正确；将D中问题转化为在上单调递增，由，采用分离参数的方式可求得D正确. 【详解】由题意知：定义域为，； 当时，；当时，； 的单调递减区间为，；单调递增区间为； 对于A，的极小值为，A正确； 对于B，当时，单调递减，B错误； 对于C，的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示， 由图象可知：与有三个不同的交点， 即有三个实根，C正确； 对于D，由当时，恒成立可得：， 令，则在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 在上的最大值为，，D正确. 故选：ACD. 11. 定义在的函数满足，且，都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若数列为等差数列，则公差为6 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据题意结合周期性运算求解；对于B：根据题意结合图象分析判断；对于B：整理可得，结合图象分析判断；对于D：根据图象结合对称性分析可得数列是以首项为7，公差为12的等差数列，进而利用等差数列知识运算求解. 【详解】因为都有，即的图象关于对称， 令，则，即， 可知在内的图象关于点对称， 根据题意作出在内的图象，如图所示： 对于选项A：因为定义在的函数满足， 则，故A正确； 对于选项B：由图象可知：若数列为等差数列，则， 此时与在内有且仅有一个交点， 因为，则， 所以公差为6，故B正确； 对于选项C：若，则， 可得， 则，即与在内有且仅有2个交点， 结合图象可得，故C错误； 对于选项D：若，则与在内有且仅有3个交点，且， 因为，则， 所以数列是以首项为7，公差为12的等差数列， 可得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法 （1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 第II卷主观题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，则， 所以，即. 故答案为：. 13. 已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据是递增数列以及解析式，可得的范围，又，代入求解，即可求得答案. 【详解】因为数列是递增数列，当时，，可得， 当时，，即，解得， 又，所以，解得或. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，先相继求出、、对应的复数，再求，由条件列方程求，由此可得结论； 【详解】设，设对应的复数为，对应的复数为，则， ， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以， 又，所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，解决对于此类问题的关键是对新定义的透彻理解，解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦求解出，从而求解出. （2）利用三角形的面积公式求解出，结合和余弦定理求解出，从而求解出的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 可得， 即， 因为，可得，所以，即， 所以 【小问2详解】 由（1）知，因为的面积为， 可得，即，解得， 又因为，由余弦定理得 ， 整理得，解得， 所以，所以的周长为. 16. 已知函数． （1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围； （2）若的两个极值点分别为，证明:． 【答案】（1）； （2） 由（1）知是方程的两个不同的根，所以 所以 ， 令， 令在上恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）由题意导函数在上恰有两个不同的解，再根据二次函数的区间端点值，对称轴与判别式列式求解即可； （2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式. 【小问1详解】 在上恰有两个不同的解， 令，所以 解得，即实数的取值范围是； 【小问2详解】 略 17. 已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）数列的前项和为. 【解析】 【分析】（1）由关系证明数列为等差数列，由此可求数列的通项公式，再求数列的通项公式，设数列的公比为，由条件列方程求，，结合等比数列通项公式可得结论. （2）由（1）可得，利用裂项相消法求数列的前项和. 【小问1详解】 由已知当，时，，， 所以， 又， 所以， 所以， 所以数列为等差数列，公差为， 又，所以， 所以当，时，， 又， 所以，， 设等比数列的公比为， 因为，， 所以，， 所以，所以， 【小问2详解】 由（1）， 所以， 所以数列的前项和， 所以. 18. 已知函数. （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意转化为在上恒成立问题，结合二次函数的图象，需使即得； （2）先判断函数在区间上的单调性，得对任意恒成立，即对任意恒成立，则需使，就参数的取值分类讨论函数的最小值即得的范围. 【小问1详解】 由函数的定义域为，可得，在上恒成立， 结合二次函数的图象可知，需使，解得，即的取值范围为； 【小问2详解】 设，则在定义域内是增函数， 因，,故对任意，函数在区间上单调递增， 故，， 依题意，对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，则需使， 因函数图象的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增，故由，解得，不合题意，舍去； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，因，故. 综上，的取值范围是. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个不同的零点， （i）求实数的取值范围： （ⅱ）若满足，求实数的最大值. 【答案】（1） 当时，的递增区间是，无递减区间； 当时，的递增区间是，递减区间是. （2）（i）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可. （2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可； （ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的递增区间是，无递减区间； 当时，的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 （ⅰ）由，得，令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，恒成立，且， 由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点， 因此，即， 所以实数的取值范围是. （ⅱ）由，得，且， 不妨设，将代入， 得，即， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递减， 有，即，函数在上单调递减， 由，得，则， 因此函数在上单调递减，即， 于是，有，则， 又，令，， 由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增， 则，即，解得， 所以a的最大值是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期吉林省“BEST”合作体 高三年级六校联考 高三数学试题 本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷客观题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知数列{an}是等差数列，若a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=3，则a7+a8+a9=（ ） A. 5 B. 4 C. 9 D. 7 3. 已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别是，已知，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象与轴的交点坐标为 D. 函数的图象关于直线对称 10. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 在单调递增 C. 有三个实根 D. ，当时，恒成立，则的取值范围是 11. 定义在的函数满足，且，都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若数列为等差数列，则公差为6 C. 若，则 D. 若，则 第II卷主观题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________. 13. 已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是__________. 14. 如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 16. 已知函数． （1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围； （2）若的两个极值点分别为，证明:． 17. 已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知函数. （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个不同的零点， （i）求实数的取值范围： （ⅱ）若满足，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $