第2章 第1节 简谐运动及其图像（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（教科版2019）

第1节　简谐运动及其图像 物理观念 科学探究 科学态度与责任 弹簧振子、平衡位置、简谐运动、振幅、周期、频率和相位。简谐运动的位移—时间图像。 利用数码相机和计算机获取弹簧振子的x-t图像，弄清图像的物理意义及应用。 渗透物理方法的教育，提高学生观察分析能力、实验能力和动手能力，从而让学生知道实验是研究物理科学的重要基础。 [对应学生用书P36] 一、机械振动　简谐运动 1．机械振动：物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动叫作机械振动，这个位置称为平衡位置。 2．弹簧振子：如图所示，小球悬挂在弹簧下，弹簧的质量与小球相比可以忽略，若不计空气阻力，则小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。 3．弹簧振子的振动图像 (1)建立直角坐标系，横轴代表时间t，纵轴代表相对于平衡位置的位移x。 (2)弹簧振子的振动图像大致是一条正弦或余弦曲线。 (3)简谐运动：如果质点的位移与时间的关系严格遵从正弦函数的规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的运动叫作简谐运动，如图所示。 二、描述简谐运动的物理量 1．振幅 (1)定义：振子离开平衡位置的最大距离，用A表示。 (2)物理意义：振幅表示振动的强弱，是标量。 2．全振动 全振动是指振子从某一振动位置出发，又回到该位置所发生的振动。 如图所示，小球经历了从B→O→B′→O→B的过程为一次全振动。 3．周期(T)和频率(f) 项目 周期 频率 定义 振子完成一次全振动所用的时间 振子完成的全振动的次数与所用时间的比 单位 秒(s) 赫兹(Hz) 物理含义 表示物体振动的快慢 关系式 T＝ 4.相位 相位是描述做周期性运动的物体在各个时刻所处的状态的物理量。 三、简谐运动的表达式 简谐运动的表达式为x＝A sin (ωt＋φ0)。 1．A：表示简谐运动的振幅。 2．ω：一个与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。 3．ωt＋φ0：代表简谐运动的相位。 4．φ0：表示t＝0时的相位，叫作初相位(或初相)。 5．相位差：两个相同的弹簧振子的振动步调不相同，它们各时刻的相位也就不同，二者的振动具有相位差。 1．判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”) (1)弹簧振子中小球的质量可以忽略不计。(　　×　　) (2)弹簧振子的x-t 图像表示小球的运动轨迹。(　　×　　) (3)简谐运动的振动图像是一条正弦曲线。(　　√　　) (4)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动。(　　×　　) (5)振子完成一次全振动经过的路程等于振幅的4倍。(　　√　　) (6)竖直放于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动是机械振动。(　　√　　) (7)物体的往复运动都是机械振动。(　　×　　) (8)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。(　　√　　) (9)简谐运动的图像表示质点振动的轨迹是正弦曲线。(　　×　　) 2．(1)简谐运动的表达式一般表示为x＝A sin (ωt＋φ0)，那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？ (2)两个相同的弹簧振子的振动具有相位差Δφ，说明了什么？甲、乙两个弹簧振子振动的相位差为π，意味着什么？ 提示：(1)简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。 (2)两个简谐运动有相位差，说明其振动步调不相同。甲、乙两个简谐运动的相位差为π，意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后个周期或次全振动。 备课札记 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对应学生用书P37] 探究点一 全振动的特征和常见量的关系 如图所示的理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称。 [问题设计] (1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？ (2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？ 提示：(1)不是。经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度第一次均与初始时刻相同。 (2)周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关；位移相同，均为零；路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。 1．对全振动的理解 (1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，称为一次全振动。 (2)全振动的四个特征： ①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。 ②时间特征：历时一个周期。 ③路程特征：振幅的4倍。 ④相位特征：增加2π。 2．对周期和频率的理解 (1)周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T＝，即周期越大，频率越小，振动越慢。 (2)一个振动系统的周期、频率由振动系统决定，与振幅无关。 3．对振幅的理解 (1)振动物体离开平衡位置的最大距离。 (2)振幅与位移的区别 ①振幅等于最大位移的数值。 ②对于一个给定的振动，振动物体的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 ③位移是矢量，振幅是标量。 (3)路程与振幅的关系 ①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅。 ②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。 ③振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅。 【例1】 如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求： (1)振子振动的振幅、周期和频率； (2)振子由A到O的时间； (3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小。 答案：(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s (3)1 000 cm　10 cm 解析：(1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm， t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s。 由f＝得f＝5 Hz。 (2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05 s。 (3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10 cm。振子在1个周期内通过的路程为4A＝40 cm，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm。5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。 [练1] 如图所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在M、N间振动，O是平衡位置。关于小球的运动情况，下列描述正确的是(　　) A．小球经过O点时速度为零 B．小球经过M点与N点时有相同的加速度 C．小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大 D．小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小 D　解析：小球经过O点时速度最大，A错误；小球在M点与N点的加速度大小相等，方向相反，B错误；小球从M点向O点运动过程中，速度增大，加速度减小，C错误；小球从O点向N点运动过程中，速度减小，加速度增大，D正确。 探究点二 简谐运动的图像 甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x-t图像： 如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸。 [问题设计] (1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？ (2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？ (3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么？用什么方法判断上述图像是否为正弦曲线？ 提示：(1)是一条垂直于OO′的直线。 (2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线。 (3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿O′O方向的轴为时间轴t。图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置。一种方法是将图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验，另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线，看看这条曲线是否可以用正弦函数表示。 1．对x-t图像的理解 x-t图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标。它反映了振子位移随时间变化的规律。 注意：x-t图像不是振子的运动轨迹。 2．简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线。 3．x-t图像的应用 (1)可直接读出不同时刻t的位移x值。位于t轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图甲所示。 (2)判断任意时刻质点的振动方向。看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中a点，下一相邻时刻比t0时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x方向运动。 甲　　　　　　　　　乙 (3)速度的大小和方向可根据图像上某点的切线的斜率判断。图像上某点切线的斜率大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向。在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0。在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大。 【例2】 (多选)如图所示为一质点的振动图像，曲线满足正弦变化规律，则下列说法中正确的是(　　) A．该振动为简谐振动 B．该振动的振幅为10 cm C．质点在前0.12 s内通过的路程为20 cm D．0.04 s末，质点的振动方向沿x轴负方向 AD　解析：该图像表示质点的位移随时间周期性变化的规律，是简谐振动，A正确；由题图可知该振动的振幅为5 cm，B错误；由题图可知质点振动的周期为0.08 s，0.12 s＝1T，质点通过的路程为6A＝30 cm，C错误；根据振动规律可知，0.04 s末质点的振动方向沿x轴负方向，D正确。 [练2] 如图甲所示为一弹簧振子的振动图像，规定向右的方向为正方向，试根据图像分析以下问题： 甲　　　　　　　　　　　乙 (1)如图乙所示，振子振动的起始位置是 ，从起始位置开始，振子向 (选填“右”或“左”)运动。 (2)在图乙中，找出图甲中的O、A、B、C、D各点对应振动过程中的哪个位置？即O对应 ，A对应 ，B对应 ，C对应 ，D对应 。 (3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时振子的速度方向 ；1～2 s内振子的速度大小的变化情况是 。 (4)振子在前4 s内的位移等于 。 答案：(1)E　右　(2)E　G　E　F　E　(3)相反逐渐增大　(4)0 解析：(1)由题图知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从起始位置开始，振子向正的最大位移处运动，即向右运动。 (2)由x-t图像知：O点、B点、D点对应振动过程中的E点，A点在正的最大位移处，对应G点，C点在负的最大位移处，对应F点。 (3)t＝2 s时，图线切线的斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，图线切线的斜率为正，即速度方向为正方向，故两时刻速度方向相反；1～2 s内振子的速度逐渐增大。 (4)4 s末振子回到平衡位置，故振子在前4 s内的位移为零。 探究点三 简谐运动表达式与运动图像的结合 下图为某简谐运动的图像。 [问题设计] (1)由图像可以知道哪些物理量？ (2)用表达式表示其x与t的变化关系。 提示：(1)由图像可以知道振幅是5 cm，周期是2.0 s。 (2)x＝5sin (πt＋)cm。 2．从表达式x＝A sin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ(n＝0，1，2，3，…)时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。 3．从表达式x＝A sin (ωt＋φ)体会特殊点的值。当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin (ωt＋φ)＝0，即x＝0。 4．x＝A sin (ωt＋φ0)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况，常称为振动方程。 5．简谐运动的x-t图像直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。 6．x-t图像与函数表达式对同一个简谐运动的描述是一致的。我们能够做到两个方面：一是根据振动方程作出振动图像，二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，进而写出位移的函数表达式。 【例3】 根据如图所示的某振子的振动图像，完成下列各题： (1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移： ①t1＝0.5 s；②t2＝1.5 s。 (2)将位移随时间的变化规律写成x＝A sin (ωt＋φ0)的形式并指出振动的初相位的大小。 答案：(1)①5 cm　②－5 cm (2)x＝10sin (t＋)cm　 解析：(1)由题图知， x＝A cos ωt＝10cos t cm＝10cos cm， 则t1＝0.5 s时，x1＝5 cm； t2＝1.5 s时，x2＝－5 cm。 (2)x＝10sin (t＋)cm，初相位φ0＝。 [练3] 一名游客在湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是(　　) A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s C　解析：从游船上升时开始计时，由题中所给条件写出游船位移x与时间t的函数关系式x＝20sin (t)cm＝20sin (t)cm，画出x-t图像，如图所示。当x＝10 cm时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，则在一个周期内能舒服地登船的时间Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，C正确。 [对应学生用书P41] 1．(多选)对于做简谐运动的弹簧振子，下述说法正确的是(　　) A．振子通过平衡位置时，速度最大 B．振子在最大位移处时，速度最大 C．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同 D．振子连续两次通过同一位置时，速度相同 AC　解析：振子经过平衡位置时速度最大，A正确；振子在最大位移处时速度最小，B错误；同一位置相对于平衡位置的位移相同，C正确；速度是矢量，振子连续两次通过同一位置时速度大小相等，方向相反，即速度不同，D错误。 2．周期为2 s的简谐运动，在半分钟内振子通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为(　　) A．15次，2 cm B．30次，1 cm C．15次，1 cm D．60次，2 cm B　解析：振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置均为两次(除最大位移处)，而每次全振动振子通过的路程为4个振幅。 3．一个弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s，则(　　) A．弹簧振子的振幅为0.2 m B．弹簧振子的周期为1.25 s C.在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零 D．若另一弹簧振子B的位移x随时间变化的关系式为x＝0.2sin (2.5πt＋)，则B的振幅和周期是A的振幅和周期的2倍 C　解析：由振动方程为x＝0.1sin 2.5πt，可读出振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝0.8 s，A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1sin m＝0.1 m，振子的位移最大，速度最小，为零，C正确；由两表达式可知弹簧振子B的振幅是A的2倍，但周期相同，D错误。 4．如图所示，为一简谐运动的振动图像，由图可得(　　) A．该简谐振动的振幅为10 cm B．该简谐运动的表达式为x＝5sin t(cm) C．该质点在第10 s时的位移为5 cm D．该质点在前12 s内的路程为60 m B　解析：由题图可知，振幅A＝5 cm，周期T＝4 s，则有ω＝＝ rad/s，则该质点简谐运动的表达式为x＝5sin t(cm)，A错误，B正确；当t＝10 s时，位移为x＝5 sin (×10)cm＝0，C错误；1个周期内，路程为5×4 cm＝20 cm，前12 s是3个周期，则路程为s＝20×3 cm＝60 cm，D错误。 5．有一个小球的质量为0.4 kg的弹簧振子，让其在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为30 cm，振子在3 s内完成了12次全振动。求： (1)振子的振幅和周期； (2)若以弹簧振子运动到C点时刻为计时零点，水平向右为正方向，写出弹簧振子的振动方程。 答案：(1)15 cm　0.25 s　(2)x＝15cos (8πt)cm 解析：(1)振子的振幅A＝BC＝15 cm 周期T＝＝0.25 s。 (2)振子的圆频率ω＝＝8π rad/s 以弹簧振子运动到C点时刻为计时零点，初始时刻处于最大位移处，弹簧振子的振动方程为x＝A cos (ωt)＝15cos (8πt)cm。 [课时梯级训练(10)见P139] 学科网（北京）股份有限公司 $$