2.3.2 两条直线的交点坐标（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 C　解析：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1. 2．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) B　解析：直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2). 3．经过两点A(－2，5)、B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是(　　) A．(－，0) B．(－3，0) C．(，0) D．(3，0) A　解析：过点A(－2，5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点的坐标为(－，0). 4．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为(　　) A．－3，－4 B．3，4 C．4，3 D．－4，－3 B　解析：由得 由题意得得 5．(多选题)两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标就是方程组的实数解，下列说法正确的为(　　) A．若方程组无解，则两直线平行 B．若方程组只有一解，则两直线相交 C．若方程组有无数多解，则两直线重合 D．方程解的个数与直线位置无关 ABC　解析：A.若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行，正确；B.若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交，正确；C.若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合，正确；D.错误．故答案为ABC. 6．一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在直线的方程为________． x－2y＋7＝0　解析：取直线2x－y＋2＝0上一点A(0，2)，设点A(0，2)关于直线x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)， 则解得∴B(3，5). 解方程组得 ∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1，4)，∴反射光线在经过点B(3，5)和点P(1，4)的直线上，其直线方程为y－4＝(x－1)，整理得x－2y＋7＝0. 7．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点，则此定点坐标为________． (9，－4)　解析：l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为m(x＋2y－1)－x－y＋5＝0， 由得故定点坐标为(9，－4). 8．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为________． x－y＝0　解析：方法一　先解方程组得两直线的交点(－1，－1).又因为所求直线与x－y＋4＝0平行，故直线的斜率为1.于是由直线的点斜式方程求得y－(－1)＝x－(－1)，即x－y＝0. 方法二　因为所求直线与直线x－y＋4＝0平行，所以可设所求直线为x－y＋c＝0.又因为该直线过直线3x－2y＋1＝0与直线x＋3y＋4＝0的交点(－1，－1)，所以－1－(－1)＋c＝0，即c＝0，所以所求直线方程为x－y＝0. 方法三　因为所求直线经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，所以可设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0(λ∈R)，即(3＋λ)x－(2－3λ)y＋1＋4λ＝0.又因为所求直线与直线x－y＋4＝0平行，因此＝1，解得λ＝－，所以所求直线方程为3x－2y＋1－(x＋3y＋4)＝0，即x－y＝0. 9．(1)求经过直线l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程． (2)求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标． 解：(1)方法一　由得 ∴直线l1与l2的交点坐标为(0，1)，再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0， 把(0，1)代入所求的直线方程，得c＝－1，故所求的直线方程为2x＋y－1＝0. 方法二　设过直线l1，l2交点的直线方程为x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)， 即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，由题意可知，＝－2，解得λ＝， ∴所求直线方程为x＋y－＝0，即2x＋y－1＝0. (2)将已知方程以m为未知数，整理得(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0. 由于m取值的任意性，由 解得 ∴不论m取什么实数，所给的直线都经过一个定点(2，－3). 10．若点A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是(　　) A．2x－3y＋1＝0　　　　　 B．3x－2y＋1＝0 C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－1＝0 A　解析：∵A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点， ∴2a1－3b1＋1＝0，且2a2－3b2＋1＝0， ∴两点(a1，b1)和(a2，b2)都在同一条直线2x－3y＋1＝0上， 故点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是2x－3y＋1＝0. 11．已知0<k<4时，直线l：kx－2y－2k＋8＝0和直线m：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积取最小值时k的值为(　　) A．2 B． C． D． D　解析：如图所示： 直线l：kx－2y－2k＋8＝0，即k(x－2)－2y＋8＝0，过定点B(2，4)， 与y轴的交点C(0，4－k)，直线m：2x＋k2y－4k2－4＝0，即2x＋k2(y－4)－4＝0， 过定点(2，4)，与x轴的交点A(2k2＋2，0)， 由题意，过B点作BD⊥x轴于点D，则D(2，0)，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和， ∴所求四边形的面积为×4×(2k2＋2－2)＋×(4－k＋4)×2＝4k2－k＋8， ∴当k＝时，所求四边形的面积最小． 12．已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________________． 6x－y－6＝0　解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′， 所以解得 ∴M′(1，0). 又反射光线经过点N(2，6)， 所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0. 13．已知直线l1：ax＋by＋6＝0和直线l2：(a－1)x＋y＋2＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，0)，且直线l1和l2垂直； (2)直线l1和l2平行，且直线l1在y轴上的截距为－3； (3)直线l1和l2重合． 解：(1)由于直线l1和l2垂直，故a·(a－1)＋b·1＝0，又直线l1过点(－3，0)，故－3a＋6＝0， 联立两式，解得a＝2，b＝－2.故有a＝2，b＝－2. (2)由于直线l1和l2平行，故，直线l1在y轴上的截距为－3，则， 联立解得a＝2，b＝2. (3) 若直线l1和l2重合，故，解得a＝，b＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$