2.2.2 直线的两点式方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．过(1，2)，(5，3)两点的直线的方程是(　　) A．＝　　　　 B．＝ C．＝ D．＝ B　解析：直线过(1，2)，(5，3)两点， ∴由两点式直线的方程得＝. 2．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－3 C．－27 D．27 D　解析：经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线方程为＝，即＋＝1，所以此直线在x轴上的截距为27. 3．(多选题)下列语句中不正确的是(　　) A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过任意两个不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 D．经过定点的直线都可以用y＝kx＋b表示 ACD　解析：A不正确，该方程无法表示直线x＝x0；C不正确，该方程无法表示与坐标轴平行的直线；D不正确，该方程无法表示与x轴垂直的直线，B正确． 4．过点(2，2)，且在x轴上的截距是y上的截距的2倍的直线(　　) A．只有一条 B．有两条 C．有三条 D．有四条 B　解析：直线过原点时，可得直线方程为y＝x，即y＝x. 直线不过原点时，可设直线方程为＋y＝a，把点(2，2)代入，可得1＋2＝a，解得a＝3， ∴直线方程为＋y＝3. 综上，满足条件的直线有两条． 5．过点(－2，0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是(　　) A．＋y＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y＝1或＋＝1 D　解析：因为直线过点(－2，0)，所以在x轴上的截距为－2.又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5.所以直线方程为＋y＝1或＋＝1. 6．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线的方程为________． x＋13y＋5＝0　解析：BC的中点坐标为(，－)， ∴BC边上中线所在直线的方程为＝，即x＋13y＋5＝0. 7．过点(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________． x＋y－1＝0或3x＋2y＝0　解析：①当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距均为0，符合题意，此时直线方程为3x＋2y＝0. ②当直线不经过原点时，设直线的方程为＋＝1，将(－2，3)代入得a＝1，此时直线的方程为x＋y－1＝0.综上，符合题意的直线方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0. 8．在△ABC中，已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2). (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解：(1)BC边过B(5，－4)，C(0，－2)两点，由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5). (2)设BC的中点为M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以M(，－3).又BC边的中线过A(－3，2)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即10x＋11y＋8＝0. 即BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 9．两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是(　　) B　解析：直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号． 10．(多选题)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0 AC　解析：由题意设直线方程为＋＝1或＋＝1，把点(2，1)代入直线方程得＋＝1或＋＝1， 解得a＝3或a＝1，∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0. 11．已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为________． x＋2y－4＝0　解析：方法一　设直线l：＋＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时等号成立，此时a＝4，b＝2，故直线l：＋＝1，即x＋2y－4＝0. 方法二　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 则A(2－，0)，B(0，1－2k)， S△AOB＝(1－2k)(2－)＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 12．宜昌大剧院和宜昌奥体中心将是人们健康生活的最佳场所，若两处在同一平面直角坐标系中对应的点分别为A(1，2)，B(0，b)(b>0).假设至喜长江大桥所在的直线为l：y＝0. (1)若b＝4，现为方便大家出行，计划在至喜长江大桥上的点P处新增一出口通往两地，要使从P处到两地的总路程最短，求点P的坐标； (2)若BA的延长线交直线l于点E(a，0)(a>0)，求直线BE与两坐标轴围成的面积的最小值． 解：(1)如图， 点B(0，4)关于x轴的对称点为C(0，－4)，连接AC交x轴于P，此时从P处到两地的总路程最短，为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|＝|AC|，此时AC所在直线的方程为＝， 即6x－y－4＝0.取y＝0，得x＝，所以点P的坐标为(，0). (2)由题意知BE所在直线的方程为＋＝1， 因为点A在BE上，所以＋＝1，因为a>0，b>0，所以1＝＋≥2，所以ab≥8，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以(S△EOB)min＝×8＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $$