1.4 数学归纳法（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．用数学归纳法证明等式，1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是(　　) A．2k＋1 B．2k＋2 C．(2k＋1)＋(2k＋2) D．(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k C　解析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2). 2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(　　) A．　　　　B．π　　　　C．　　　　D．2π B　解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　) A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ C　解析：因式子右边各分数的分母是连续正整数， 则由Sk＝＋＋…＋，① 得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.② 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－，故Sk＋1＝Sk＋－. 4．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<n(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　 ) A．1项　　　B．k项　　　C．2k－1项　　　D．2k项 D　解析：由n＝k和n＝k＋1时对应的不等式左边的最后一项，再由变化规律可得增加的项数．当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为，并且不等式左边分式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1，所以增加了2k项． 5．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________． 2k＋2　解析：当n＝k时，左端＝(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端＝(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式为(2k＋2). 6．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________． an＝　解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝. 7．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N＋). 证明：①当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·. 则当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1)· ＝(－1)k·. 所以当n＝k＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n∈N＋等式成立． 8．已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分． 证明：(1)当n＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)＝k(k－1)＋2(部分)， 当n＝k＋1时，第k＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分， 故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)， 即当n＝k＋1时，命题也成立． 根据(1)(2)，知n个符合条件的平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分． 9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)，求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测数列{an}，{bn}的通项公式，证明你的结论． 解：由题意得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1， 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N＋. 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，由a1＝2，b1＝4可得结论成立． ②假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时，结论成立， 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么当n＝k＋1时， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2) ＝(k＋1)[(k＋1)＋1]， bk＋1＝＝＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2. 所以当n＝k＋1时，结论也成立． 由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切n∈N＋都成立． 10．用数学归纳法证明：f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时，f(k＋1)比f(k)共增加了(　　) A．1项 B．2k－1项 C．2k＋1项 D．2k项 D　解析：由题意，当n＝k时，最后一项为，当n＝k＋1时，最后一项为＝＝，所以由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加的项为＋＋…＋，增加了2k项． 11．(多选题)数列{an}满足an＋1＝－a＋an(n∈N＋)，a1∈(0，)，则以下说法正确的为(　　) A．0<an＋1<an B．a＋a＋a＋…＋a<a1 C．对任意正数b，都存在正整数m使得＋＋＋…＋>b成立 D．an> ABC　解析：an＋1＝－a＋an＝－(an－)2＋，若an∈(0，)，则an＋1∈(0，)，① ∵an＋1－an＝－a<0， ∴0<an＋1<an，A正确； ∵a＝an－an＋1， ∴a＋a＋…＋a＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)＝a1－an＋1<a1，B正确； 由a1∈(0，)及①得 <1－an<1，1<<2， ∴＋＋…＋>n，显然对任意的正数b，存在正整数m，使得m>b，此时＋＋＋…＋>b成立，C正确； (ⅰ)已知a1<成立， (ⅱ)假设an<，则an＋1＝－a＋an＝ －(an－)2＋<－()2＋， 又－＋－ ＝－<0， 即－＋<， ∴an＋1<，由数学归纳法得，D不正确． 12．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2，k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立． k＋2　解析：假设当n＝k(k≥2且k为偶数)时，命题成立， 即1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)成立． 由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立．所以应证明当n＝k＋2时，等式也成立． 13．用数学归纳法证明对一切n∈N＋，1＋＋＋…＋≥. 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，不等式成立． (2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋≥， 则当n＝k＋1时，要证1＋＋＋…＋＋≥， 只需证＋≥. 因为－ ＝－ ＝ ＝≤0， 所以＋≥， 即1＋＋＋…＋＋≥， 所以，当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)知，不等式对一切n∈N＋都成立． 14．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都满足(Sn－1)2＝anSn. (1)求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中猜想的Sn的表达式的正确性． (1)解：当n＝1时，(S1－1)2＝S，所以S1＝， 当n≥2时，(Sn－1)2＝(Sn－Sn－1)Sn， 所以Sn＝， 所以S2＝，S3＝，猜想Sn＝，n∈N＋. (2)证明： ①当n＝1时，S1＝，＝，猜想正确； ②假设当n＝k时，猜想正确，即Sk＝， 那么当n＝k＋1时，可得Sk＋1＝＝＝， 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 综上可知，对任意的正整数n，Sn＝都成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$