1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 B　解析：∵S2＝a1＋a2＝4，S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16， ∴(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d＝12.∴d＝3. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　解析：设等差数列{an}的公差为d，由7a5＋5a9＝0，得＝－.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝x2＋(a1－)x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6. 3．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　解析：依题意得， ＝＝， 又＝， 于是得＝＝＝ ＝2＋， 因此，要为整数，当且仅当是正整数，而n∈N＋，则n＋1是32的大于1的约数， 又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个， 所以使得为整数的正整数n的个数为5. 4．(多选题)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，且2a1＋2a3＝S5，下列结论中正确的是(　　) A．S7最小 B．S13＝0 C．S4＝S9 D．a7＝0 BCD　解析：设等差数列{an}的公差为d.由2a1＋2a3＝S5，有2a1＋2(a1＋2d)＝5a1＋d，即a1＋6d＝0，所以a7＝0，则选项D正确．S7＝7a1＋d＝7(a1＋3d)＝－21d，无法判断其是否有最小值，故A错误．S13＝×13＝13a7＝0，故B正确．S9－S4＝a9＋a8＋a7＋a6＋a5＝5a7＝0，所以S4＝S9，故C正确． 5．在等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________． S5　解析：∵ ∴∴Sn的最大值为S5. 6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________． 1　解析：由等差数列的前n项和公式可得： ＝＝＝×＝×＝1. 7．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16， 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 8．记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求使Sn>an成立的n的最小值． 解：(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3， 所以a3＝0， 设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d， 从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2， 数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6. (2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4， 则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n， 则不等式Sn>an，即n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0， 解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7. 9．数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3，a1＋a2＋…＋an＝100，则n的最大值为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 C　解析：若要使n尽可能的大，则a1递增幅度要尽可能小， 不妨设数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为Sn， 则an＝n＋2，S11＝×11＝88<100，S12＝×12＝102>100， 所以n的最大值为11. 10．(多选题)等差数列{an}的前n项和Sn，且Sn＝，Sm＝(m，n∈N＋，m≠n)，则下列各值中可以为Sm＋n的值的是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 CD　解析：因为等差数列{an}的前n项和Sn，所以可设Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)， 因为Sn＝，Sm＝(m，n∈N＋，m≠n)， 所以 即解得所以Sm＋n＝A(m＋n)2＝＝＋2≥＋2＝4，当且仅当m＝n时等号成立，又m≠n，所以等号不能取得，因此Sm＋n>4，故C、D正确，A、B错误． 11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________． 0　－10　解析：设数列{an}的公差为d. ∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10， ∴a1＝－4，d＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5. ∴a5＝a1＋4d＝0. 令an<0，得n<5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后的项为正． ∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10. 12．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________． 2　解析：由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6， 即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2. 13．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an>0，得n<，所以当n≤17，n∈N＋时，an>0；当n≥18，n∈N＋时，an<0.所以数列{an}前17项和最大． (2)当n≤17，n∈N＋时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N＋时， |a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2(－×172＋×17)－(－n2＋n) ＝n2－n＋884. 故Sn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$