模块复习课3 圆锥曲线与方程（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． [提醒]　应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． [训练1]　(1)一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为(　　) A．抛物线　　　　　　　 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．椭圆 (2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过点F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________． (1)C　(2)＋＝1　解析：(1)x2＋y2＝1是圆心为原点O，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3，0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，则⇒|PA|－|PO|＝1<|AO|＝3，符合双曲线的定义，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支． (2)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0). ∵AB过点F1且A，B在椭圆上，如图所示， △ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16， ∴a＝4. 又∵离心率e＝＝，∴c＝2， ∴b2＝a2－c2＝8， ∴椭圆C的方程为＋＝1. [训练2]　点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2，3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标． 解：抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4， 所以|PM|＋|PF|的最小值是4. 此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是(，3). 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置； (2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)； (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． [训练3]　已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________． x2－＝1　解析：由题意得解得 则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线方程为x2－＝1. [训练4]　已知双曲线与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x－y＝0，求双曲线的方程． 解：方法一　椭圆x2＋4y2＝64，即＋＝1，其焦点是(±4，0). 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y＝±x. ∵双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，∴＝. 又由a2＋b2＝c2＝48，解得a2＝36，b2＝12. 故所求双曲线方程为－＝1. 方法二　由双曲线与椭圆共焦点， 可设双曲线方程为－＝1(16<λ<64). ∵双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，即y＝， ∴＝，∴λ＝28， 故所求双曲线方程为－＝1. 1．圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、离心率和准线(抛物线). 2．椭圆的离心率，双曲线的离心率和渐近线，抛物线的焦点和准线，都是常考的性质，要熟练掌握． [训练5]　(1)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (1)A　(2)B　解析：(1)由椭圆的离心率e＝＝，可知＝＝，所以＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x. (2)由题意可得＝，即c＝a.又左焦点F(－c，0)，P(0，4)，则直线PF的方程为＝， 化简即得y＝x＋4. 结合已知条件和图象易知直线PF与y＝x平行， 则＝，即4a＝bc. 故 解得故双曲线方程为－＝1. [训练6]　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|.则双曲线的离心率为(　　) A．　　 　B． C．2　　 　D．3 A　解析：设双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为(c，0)， 则抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－c， 令x＝－c，则－＝1，解得y＝±， 所以|AB|＝， 又因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 所以|CD|＝， 所以＝，即c＝b，所以a2＝c2－b2＝c2，所以双曲线的离心率e＝＝. 求解直线与圆锥曲线相交时出现的弦长、中点弦问题的常用方法； (1)处理弦长问题，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立得方程组，化为一元二次方程后，利用根与系数的关系，代入弦长公式|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝ |y1－y2|，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与圆锥曲线的交点． (2)处理中点弦问题，一般有两种思路，思路一：联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求；思路二：利用“点差法”． [训练7]　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF2的面积． 解：(1)由题意知b＝1，＝，且c2＝a2－b2，解得a＝，c＝1.故椭圆方程为＋y2＝1. (2)∵F1(－1，0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2. 由得9x2＋16x＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0， ∴直线与椭圆有两个公共点， 设为C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. ∴|CD|＝|x1－x2| ＝ ＝×＝. 又点F2到直线BF1的距离d＝， 故S△CDF2＝|CD|·d＝. 求曲线方程的基本方法 (1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式． (2)代入法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点． (3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． (4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程． [训练8]　设点P是圆x2＋y2＝4上的任一点，定点D的坐标为(8，0)，若点M满足＝2.当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程． 解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， 由＝2得(x－x0，y－y0)＝2(8－x，－y)，即x0＝3x－16，y0＝3y， ∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴x＋y＝4，即(3x－16)2＋(3y)2＝4， 即(x－)2＋y2＝，这就是动点M的轨迹方程． [训练9]　在△ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于39，求△ABC的重心的轨迹方程． 解：取BC的中点O为坐标原点，如图，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系． 设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线， 由重心的性质知|BM|＝|BD|，|CM|＝|CE|， 于是|MB|＋|MC|＝|BD|＋|CE|＝(|BD|＋|CE|)＝×39＝26>24， 根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为焦点的椭圆， 所以2a＝|MB|＋|MC|＝26，解得a＝13， 又2c＝|BC|＝24，所以c＝12， 所以b2＝a2－c2＝132－122＝25， 故所求的椭圆方程为＋＝1(y≠0). 圆锥曲线在现实世界中有着广泛的应用，应用时应准确构建数学模型，与所学曲线对接．建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键，常以圆锥曲线的中心或顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程具有对称性，再结合实际问题求解． [训练10]　人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c.某同学根据所学知识，得到下列结论： ①卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]； ②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁； ③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间； ④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大． 其中正确的结论是(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ B　解析：如图所示， 对于①，卫星向径的最小值为|A1F|＝a－c，最大值为|A2F|＝a＋c，故①正确； 对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为＝1－＝1－， 越小，就越大，1－就越小，椭圆轨道越扁，故②错误； 对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故③正确； 对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故④错误， 综上，正确结论的序号是①③，共2个． [训练11]　早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________． (x－14)2＝－y　　解析：设桥拱所在抛物线方程x2＝－2py(p>0)，由图可知，曲线经过(20，－5)， 代入方程202＝－2p×(－5)，解得p＝40， 所以桥拱所在抛物线方程x2＝－80y. 四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看， 设第一个抛物线C1：(x－14)2＝－2p′y(p′>0)， 由图可知，抛物线C1经过点C(20，－5)，则(20－14)2＝－2p′×(－5)，解得p′＝， 所以溢流孔ABC所抛物线的方程C1：(x－14)2＝－y， 由图可知点A为桥拱所在抛物线x2＝－80y与C1：(x－14)2＝－y的交点坐标， 设A(x，y)，7<x<14， 由，解得x＝， 所以点A的横坐标为. 圆锥曲线中的定值、定点问题的求解策略 (1)定值问题的常见类型及解法 ①求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． ②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． ③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． (2)定点问题的两种解法 ①引进参数法：将动点的坐标与参数分离，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． ②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． [训练12]　在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点． (1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值； (2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点． (1)解：由题意，得抛物线焦点为(1，0). 设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)证明：设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4b＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，得b2－4b＋4＝0，∴b＝2. ∴直线l过定点(2，0). ∴若·＝－4，则直线l必过一定点(2，0). 圆锥曲线中最值、范围的求解方法 (1)代数法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用配方法、均值不等式法、单调性法、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用． (2)几何法：若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用几何图形性质来解决． [训练13]　已知椭圆E的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上． (1)求椭圆E的方程； (2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的B，C两点，当△ABC的面积为最大值时，求直线l的方程． 解：(1)由已知得抛物线的焦点为(0，－)， 故设椭圆方程为＋＝1(a2>2). 将点A(1，)代入方程，得＋＝1. 则a4－5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍去)， 故所求椭圆方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 将直线l方程代入椭圆方程并化简，得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，可得m2<8.(*) 又x1＋x2＝－m，x1x2＝， 故|BC|＝|x1－x2|＝. 又点A到BC的距离为d＝， 故S△ABC＝|BC|·d＝ ≤·＝， 当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时等号成立(满足(*)式)，△ABC的面积取得最大值， 此时直线l的方程为y＝x±2. 先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性．若证明某结论不存在，也可以采用反证法． [训练14]　已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1有共同的焦点，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的右顶点和上顶点分别为A和B，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆于P，Q两点，设PQ的中点为M，是否存在直线l使得∥(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为双曲线－y2＝1的焦点为(±，0)，所以椭圆＋＝1中c＝.又椭圆的离心率为，所以a＝2，b＝1， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)假设存在直线l.因为kAB＝－，∥， 所以kOM＝－，OM的方程为y＝－x. 联立 得(＋k2)x2＋2kmx＋m2－1＝0， Δ＝4k2m2－4(＋k2)(m2－1)>0. 设P，Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，所以xM＝－. 又由得xM＝－， 所以－＝－，解得k＝， 此时由Δ＝4k2m2－4(＋k2)(m2－1)＝m2－2(m2－1)＝2－m2>0，得－<m<. 所以当－<m<(m≠0)时，存在直线l满足题意，斜率为；当m≥或m≤－时，不存在直线l满足题意． 对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力． [训练15]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点M(t，8)到焦点F的距离是t. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，是否存在一个定圆与以AB为直径的圆内切？若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)由抛物线定义，得|MF|＝t＋. 又∵|MF|＝t，∴t＋＝t，即t＝2p， ∴M(2p，8). ∵M(2p，8)在抛物线y2＝2px上， ∴p2＝16， 解得p＝－4(舍去)或p＝4， ∴抛物线C的方程为y2＝8x. (2)存在一个定圆与以AB为直径的圆内切，理由如下： 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)，l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0， 显然Δ>0，x1＋x2＝. 设AB的中点为N， 则xN＝(x1＋x2)＝，yN＝k(xN－2)＝， |AB|＝x1＋x2＋p＝8＋， 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∵两圆内切， ∴(－a)2＋(－b)2＝(－r)2， ∴－＋(2－a)2＋b2＝＋(4－r)2， ∴解得 所以定圆的方程为(x－3)2＋y2＝9. 当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝16， 该圆也与定圆(x－3)2＋y2＝9内切． 综上，所求定圆的方程为(x－3)2＋y2＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $$