2.4 第1课时 两点间的距离（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2．4　点到直线的距离 第1课时　两点间的距离 课程内容标准 学科素养凝练 1.探索并理解平面上两点间的距离公式．2.能够灵活应用平面上两点间的距离公式． 通过两点间的距离公式的应用，增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．两点间的距离公式 平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 |AB|＝． 2．两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0，0)与任一点A(x，y)的距离|OA|＝． (2)当AB∥x轴(y1＝y2)时，|AB|＝|x2－x1|． (3)当AB∥y轴(x1＝x2)时，|AB|＝|y2－y1|． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)平面内两点间的距离公式不适用于坐标轴上的点．(　　) (2)当AB⊥x轴时，|AB|＝|y2－y1|.(　　) (3)原点O(0，0)与任一点A(x，y)的距离|OA|＝.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　) A．5　　　　　　　 B． C． D．4 答案：A　 3．已知A(2，－3)，B(1，1)，那么线段AB的长为(　　) A． B． C． D． 答案：D　 4．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________． 答案：　 在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2，0)的距离相等． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P. 第二步，精读题目挖已知条件：点P到两点A(1，－1)，B(2，0)的距离相等． 第三步，建立联系寻解题思路：思路一，设出P点坐标(x，y)，由点P在直线上和|PA|＝|PB|，根据两点间距离公式建立x，y的方程，解方程组得P点坐标． 思路二，由|PA|＝|PB|知P在A，B所连线段的中垂线上，再解中垂线方程和l组成的方程组求交点P的坐标． 第四步，书写过程养规范习惯． 解：方法一　设P点坐标为(x，y)， 由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组 解得∴P点坐标为(0，1). 方法二　设P(x，y).易求得两点A(1，－1)，B(2，0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0. 解方程组 得∴P点坐标为(0，1). [方法总结]　利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标． [训练1]　已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________． (－1，0)或(9，0)　解析：设点P的坐标为(x，0)， 由|PA|＝13，得＝13，解得x＝－1或x＝9. 所以点P的坐标为(－1，0)或(9，0). 如图，已知△ABC的三顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)， (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． 解：(1)方法一　∵|AB|＝＝， |AC|＝＝， 又|BC|＝＝， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，则kACkAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝， |AB|＝＝， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形． (2)S△ABC＝|AC|·|AB|＝()2＝26， ∴△ABC的面积为26. [方法总结] (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． (2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理． [训练2]　已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设P(x，0)，|PA|＝， |PB|＝ ， ∵|PA|＝|PB|，∴＝， 得x＝1，∴P(1，0)，∴|PA|＝＝2. 已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4). (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小，并求出这个最小值； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大，并求出这个最大值． 解：(1)设A(2，0)关于直线l的对称点为A′(m，n)，则解得故A′(－2，8). P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(－2，3)，最小值为|A′B|＝|8－(－4)|＝12. (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P就是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，解得故所求的点P的坐标为(12，10)，最大值为|AB|＝ ＝4. [方法总结]　利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上两个式子的和或差的最小值或最大值．先利用式子的几何意义和对称思想，转化为两点之间的距离，再利用两点间的距离公式求值． [训练3]　著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为________． 5　解析：∵f(x)＝＋＝＋，∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和．设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4). 要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值为5. 1．在直角坐标系中，已知点A(1，－2)，B(－2，2)，则A，B两点间的距离为(　　) A．　 　B．5　 　C．　 　D．25 B　解析：|AB|＝ ＝＝5. 2．在△ABC中，已知点A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　) A．2 B．3 C． D． C　解析：BC边的中点D(，6)，由两点之间的距离公式可得 |AD|＝ ＝. 3．已知点A(a，－2)与B(0，3)之间的距离是7，则a＝________． ±2　解析：∵|AB|＝ ＝7， ∴a2＝24，解得a＝±2. 4．在直线x－y＋4＝0上有一点P，它到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为________． (－，)　解析：设点P的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|， 即＝，解得a＝－.故P点的坐标是(－，). 学科网（北京）股份有限公司 $$