2.2.1 直线的点斜式方程（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.根据确定直线位置的几何要素，探索直线方程的点斜式． 2．掌握直线的点斜式和斜截式，并会熟练应用． 3．了解截距的概念，了解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 通过直线方程的点斜式和斜截式的应用，提高数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养． 给定直线的斜率和直线上一点，或者给定两点，都能唯一确定一条直线．用给定的条件，将直线上所有点的坐标(x，y)满足的共同关系表示出来，这就是直线方程． 1．点斜式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点斜式 l的斜率为k，且l过已知点P(x0，y0) y－y0＝k(x－x0) 斜率存在的直线 2.(1)如果直线过点P0(x0，y0)，且与x轴垂直，此时它的倾斜角为90°(直线与y轴平行或重合)，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为x＝x0，如图①. (2)如果直线过点P0(x0，y0)，且与y轴垂直，这时倾斜角为0°，tan 0°＝0，即k＝0，由点斜式，得直线方程为y＝y0，如图②. 　　　 　①　　　　　　　　　　　② 1．斜截式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 斜截式 直线l的斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 斜率存在的直线 2.直线在y轴上的截距 直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标称为直线l在y轴上的截距． 3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)，它的图象是一条直线，其中，参数k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距． 4．直线在x轴上的截距 直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线．(　　) (2)＝k与y－y0＝k(x－x0)都是直线的点斜式方程.(　　) (3) 直线的斜截式方程y＝kx＋b即为一次函数的解析式.(　　) (4) 直线的纵截距是直线与y轴交点的纵坐标．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．过点P(－2，0)，斜率为3的直线方程是(　　) A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2) 答案：D　 3．已知直线的点斜式方程为y－3＝(x－4)，则这条直线经过的定点、倾斜角分别是(　　) A．(4，3)，60° B．(－3，－4)，60° C．(4，3)，30° D．(－4，－3)，60° 答案：A　 4．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为________． 答案：b－2a　 [知能解读]　直线过点(x0，y0)，若直线的斜率存在，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)；若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝x0. 根据下列条件，求直线的方程： (1)经过点A(2，5)，斜率是4； (2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行； (4)经过点D(1，1)，与x轴垂直． 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y－5＝4(x－2). (2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2. (3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0， ∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1. (4)∵直线与x轴垂直，斜率不存在，∴不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x＝1. [方法总结]　求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标，均可求出直线的方程．特别注意：斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程x＝x0. [训练1]　求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． 解：(1)∵直线经过点P(3，4)，斜率k＝2， ∴直线方程为y－4＝2(x－3).如图①. (2)∵直线经过点P(3，4)，且与x轴平行，即斜率k＝0， ∴直线方程为y＝4.如图②. (3)∵直线经过点P(3，4)，且与x轴垂直， ∴直线方程为x＝3.如图③. 求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [分析]　根据条件确定直线的斜率及直线在y轴上的截距，代入斜截式即可． 解：(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得y＝2x－1. (2)∵y＝x＋1的斜率为， ∴其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°， ∴k＝tan 30°＝，又b＝－2， ∴所求直线方程为y＝x－2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝ tan 60°＝. ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. [方法总结] 1．截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零． 2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就知道了．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． [训练2]　(1)直线y＝2x＋1在x轴上的截距为(　　) A．－　 　B．　 　C．－1　 　D．1 A　解析：由直线y＝2x＋1，令y＝0，解得x＝－， ∴直线y＝2x＋1在x轴上的截距为－. (2)直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________． y＝－2x＋6　解析：由直线l1的方程可知它的斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x＋6. 直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：直线l的方程． 第二步，精读题目挖已知条件：过点P(1，4)的直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，且|OA|＋|OB|最小． 第三步，建立联系寻解题思路：设出直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，将|OA|＋|OB|用斜率k表示出来，运用基本不等式求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解：依题意，l的斜率存在，且斜率为负， 设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0). 令y＝0，可得A(1－，0)； 令x＝0，可得B(0，4－k). ∴|OA|＋|OB|＝(1－)＋(4－k) ＝5＋(－k＋)≥5＋2＝9， 当且仅当－k＝且k<0， 即k＝－2时，等号成立，即|OA|＋|OB|取最小值． 故l的方程为y＝－2x＋6. [方法总结]　求解与直线方程有关的最值问题，应先设出斜率，写出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． [训练3]　已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 解：由题意知，直线l的斜率k存在且k<0， 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)， 且有A(3－，0)，B(0，2－3k)， ∴S△ABO＝(2－3k)(3－) ＝ ≥ ＝×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k＝且k<0，即k＝－时，等号成立． 即△ABO的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0. 1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于(　　) A．2，3　　　　　　　 B．－3，－3 C．－3，2 D．2，－3 答案：D 2．直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则k，b满足的条件是(　　) A.k>0，b>0 B．k<0，b<0 C．k<0，b>0 D．k>0，b<0 B　解析：由图可知直线的倾斜角为钝角，且直线在y轴上的截距为负值，故k<0，b<0. 3．已知过点A(，1)的直线l的倾斜角为60°，则直线l的点斜式方程为________． y－1＝(x－)　解析：∵直线l的倾斜角为60°， ∴直线l的斜率k＝.又直线过点A(，1)，由直线方程的点斜式可得直线l的方程为y－1＝(x－). 4．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的斜截式方程为________． y＝x＋1或y＝x－1　解析：设直线l的方程为y＝x＋b(b≠0).当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x＝－6b.由题意可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，解得b＝±1.故直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$