1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2．理解等差数列前n项和的性质，会求等差数列前n项和的最值． 1.在利用等差数列前n项和性质解决有关问题的过程中，培养逻辑推理和数学抽象的核心素养． 2．在求等差数列前n项和最值过程中，达成逻辑推理和数学运算的核心素养． 探究一　与等差数列前n项和有关的性质问题 [知能解读]　与等差数列前n项和有关的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和．则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. (5)若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. (1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　) A．130　 　B．170　 　C．210　 　D．260 C　解析：利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，可得Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210. (2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________． 10　解析：因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10. (3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知＝，则＝________． 　解析：＝＝＝＝. [变式]　将本例(3)条件变为“an∶bn＝(2n＋1)∶(3n－2)”，则＝________． 　解析：∵{an}，{bn}均为等差数列， ∴＝＝＝. [方法总结]　等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解． [训练1]　等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________． 75　解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3.所以Sn＝＝n2＋2n.所以＝n＋2.所以是公差为1、首项为3的等差数列．所以的前10项和为3×10＋×1＝75. [知能解读] 1．等差数列前n项和公式的函数特征 Sn＝na1＋d＝dn2＋(a1－d)n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A≠0)； 当d＝0时，Sn＝na1，Sn是关于n的一次函数． 2．等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，将这些项相加即得Sn的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，将这些项相加即得Sn的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：求数列通项公式及前n项和的最小值问题． 第二步，精读题目挖已知条件：{an}是等差数列，且已知第10项及前5项和． 第三步，建立联系寻解题思路：(1)利用通项公式及其前n项和公式建立方程组求解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的增减性求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得 所以an＝3n－12. (2)方法一　Sn＝＝(3n2－21n)＝(n－)2－， 所以当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18. 方法二　设Sn最小，则 即解得3≤n≤4. 又n∈N＋，当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18. [变式]　将本例变为：在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大． 解：方法一　设等差数列{an}的公差为d， 由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d， 即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋(a1－)n＝－(n－7)2＋a1. 又a1>0，所以－<0. 故当n＝7时，Sn最大． 方法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称． 由方法一可知a＝－<0，故当n＝7时，Sn最大． [方法总结]　等差数列前n项和的最值问题的三种解法 (1)利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0时，前n项和有最小值，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值． (2)利用Sn：由Sn＝n2＋(a1－)n(d≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n的值． (3)利用二次函数的图象的对称性． 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝＋ ＝28＋＝2n2－15n＋56. ∴Tn＝ [方法总结]　求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题． [训练2]　已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式． 解：由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N＋). 验证a1＝9也符合上式．所以an＝11－2n，n∈N＋. 所以当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n； 当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50. 即Tn＝ 等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋. 解：∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2， ∴前n项和Sn＝na1＋d＝3n＋×2 ＝n2＋2n(n∈N＋)， ∴＝＝＝(－)， ∴＋＋…＋ ＝ ＝(1＋－－) ＝－. [方法总结]　裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n项和． [训练3]　设数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2an＋1an， (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 解：(1)由an－an＋1＝2an＋1an得－＝2，所以数列是公差为2、首项为＝1的等差数列，即＝＋2(n－1)＝2n－1.所以an＝. (2)设的前n项和为Sn，由(1)知 ＝＝(－)， Sn＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－)＝. 1．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． B　解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，前n项和为Sn，则S奇＝，S偶＝， ∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝. 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 B　解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，由等差数列的性质可知S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45. 3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________． 23或24　解析：由an≤0，即2n－48≤0得n≤24.所以所有负项的和最小，即n＝23或24. 学科网（北京）股份有限公司 $$