1.1 第1课时 数列的概念（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．1　数列的概念 第1课时　数列的概念 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过实例，了解数列的概念和表示方法． 2．理解数列的通项公式并能根据通项公式确定数列的某一项． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 1.通过数列基本概念的学习培养数学抽象的核心素养． 2．通过数列通项公式的概念培养逻辑推理的核心素养． 1．数列的有关概念 数列 按照一定顺序排成的一列数叫作数列 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项 首项 排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项 第n项 排在第n位的数叫作数列的第n项 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，…，an，…； (2)字母表示：上面数列简记为{an}． 3．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：通项公式、列表法、图象法． 4．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 有限多项的数列 1，2，3，4，…，n 无穷数列 无穷多项的数列 1，4，9，…，n2，… 1．如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式，从函数的观点看，数列的通项公式就是数列的解析表达式． 2．数列{an}可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，f(3)，…. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列1，2，3，5，7可表示为{1，2，3，5，7}．(　　) (2)数列的项不能相等．(　　) (3)数列1，2，3，4，…，n2是无穷数列．(　　) (4)数列的通项公式可能不唯一．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(　　) A.第9项　　　　　B．第10项 C.第11项 D．第12项 C　解析：由n2＋1＝122得n2＝121，所以n＝11. 3．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，则该数列的前4项依次为(　　) A.1，0，1，0 B．0，1，0，1 C.，0，，0 D．2，0，2，0 A　解析：当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0. 4．数列1，2，，，，…中的第26项为________． 2　解析：因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝， 所以an＝， 所以a26＝＝＝2. 5．在横线上填入适当的数：3，8，15，________，35，48. 24　解析：因为3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，35＝62－1，48＝72－1，所以在横线上应填入的数为52－1＝24. (1)(多选题)下列说法正确的是(　　) A.数列4，7，3，4的首项是4 B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C.数列1，2，3，…就是数列{n} D.数列中的项不能是三角形 ACD　解析：根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． (2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由． ①8，8，8，8； ②－3，－1，1，x，5，7，y，11； ③当n取1，2，3，4，…时，(－1)n的值排成的一列数． 解：①能构成数列，且构成的是有穷数列． ②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的． ③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1，1，－1，1，…. [方法总结]　数列及其分类的判定方法 (1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定顺序排列的数． (2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列． [训练1]　(多选题)下面四个结论正确的是(　　) A.数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B.数列可以看作是一个定义在正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数 C.数列{2n＋1}的第6项是13 D.数列的项数是无限的 BC　解析：对A，因为数列的项是有顺序的，所以两个数列是不同的数列，A错误；对B，由数列和函数的关系可知B正确；对C，由数列的表示可知C正确；对D，因为数列的项数可以是有限的也可以是无限的，所以D错误． [训练2]　下列各题哪些是数列？若是数列，则哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1){1，3，5，7，9}；(2)4，3，2，1，0； (3)1，2，3，4，…；(4)2，2，2，2，2. 解：(1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)是数列；(2)(4)是有穷数列，(3)是无穷数列． 写出下列数列的一个通项公式． (1)1，2，3，4，…； (2)11，102，1 003，10 004，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)，2，，8，，…. 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：由数列的前几项求通项公式． 第二步，精读题目挖已知条件：(1)每一项可以分成整数和分数两部分；(2)每一项可以分别写成10＋1，100＋2等；(3)每一项可以分别写成10－1，100－1等；(4)把2和8都改写成分母为2的分数． 第三步，建立联系寻解题思路：通过适当变形(如裂项)观察项的变化规律求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解：(1)这个数列各项的整数部分分别为1，2，3，4，…，恰好是序号n；分数部分分别为，，，，…，与序号n的关系是.所以这个数列的一个通项公式是an＝n＋＝. (2)这个数列可以改写为10＋1，100＋2，1 000＋3，10 000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n＋n. (3)这个数列可以改写为10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n－1. (4)将每一项都统一写成分母为2的分数，即，，，，，…，得到这个数列的一个通项公式是an＝. [方法总结]　由数列的前几项求通项公式的思路 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系． (2)如果关系不明显，那么可将各项同时加上或减去一个数，或通过分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式． (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系． [训练3]　写出下列数列的一个通项公式． (1)，，，，…； (2)－3，7，－15，31，…； (3)2，6，2，6，…. 解：(1)每一项均是分式，分子均为1，分母均是两个因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以an＝. (2)各项正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号．各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，所以an＝(－1)n(2n＋1－1). (3)此数列为摆动数列，一般求两数的平均数＝4， 而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示． 所以an＝4＋(－1)n·2或an＝ 数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋). (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解：(1)若0是{an}中的第n项，则＝0. 因为n∈N＋，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项． 若1是{an}中的第n项，则＝1， 所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0. 因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解， 所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等， 即am＝am＋1， 则＝， 解得m＝10. 所以数列{an}中存在连续的两项，即第10项与第11项相等． [变式]　本例的条件不变，求a3＋a4和a2n的值． 解：a3＋a4＝＋＝－61， a2n＝＝2n2－21n. [方法总结] (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项，需先假设它是数列中的项，然后列方程．若方程的解为正整数，则是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项． 1．下列有关数列的说法正确的是(　　) ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A.①②　　B．①③　　C．②③　　D．③ D　解析：①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1各项的顺序不同，表示不同的数列；③是正确的． 2．已知数列－1，，－，…，(－1)n·，…，则它的第6项的值为(　　) A. B．－ C．－ D． D　解析：由题设，数列的通项公式为(－1)n·， ∴当n＝6时，该项为(－1)6×＝. 3．数列，，，1，，，…的一个通项公式为________． an＝　解析：将原数列变形为，，，，，，…，所以an＝. 4．已知数列{an}的通项公式为an＝kn2－1，且a2＝3，则a8＝________． 63　解析：a2＝4k－1＝3，故k＝1，an＝n2－1.所以a8＝82－1＝63. 学科网（北京）股份有限公司 $$