2.3.2 两条直线的交点坐标（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第2章　平面解析几何初步 2.3　两条直线的位置关系 2.3.2　两条直线的交点坐标 课程内容标准 学科素养凝练 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 通过求两条直线的交点坐标，增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 栏目索引 课前·预习案 课堂·探究案 冲关·演练案 课前·预习案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步   一组解 无解 无数组解 直线l1和l2的公共点个数 一个 零个 无数个 直线l1和l2的位置关系 ______ ______ ______ 相交 平行 重合 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 A 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 D 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 课堂·探究案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 B 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 C 冲关·演练案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 D 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 课后巩固 谢谢观看！ 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如下表所示. 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)若由两直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两直线相交.(　　) (2)若两直线的斜率都存在且不等，则两直线相交.(　　) (3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2.直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(　　) A.(－1，1)　　　　　 B.(1，－1) C.(1，1) D.(－1，－1) 3.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0 4.不论a为何实数，直线l：(a＋2)x－(a＋1)y＝2－a恒过一定点，则此定点的坐标为________. 答案：(3，4)　 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解：(1)解方程组得因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). (2)方程组有无数组解，这表明直线l1和l2重合. (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. [方法总结]　方程组有唯一解，说明两直线相交；方程组无解，说明两直线没有公共点即两直线平行；方程组有无数个解，说明两直线重合. [训练1]　直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是(　　) A.　 　B.－　 　C.2　 　D.－2 解析：由 解得 则点(－1，－2)在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，得k＝－. [知能解读]　具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程体现出来，它们的变化存在于参数之中，常见的直线系有： (1)过已知点P(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数).(但不包含直线x＝x0) (2)斜率为k的平行直线系方程为y＝kx＋b(b为参数). (3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数). (4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数). (5)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数).(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0) 求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程. 解：方法一(直接法) 解方程组得P(0，2). 因为直线l3的斜率为，所以直线l的斜率为－. 所以直线l的方程为y＝－x＋2，即4x＋3y－6＝0. 方法二(待定系数法) 设直线l的方程为4x＋3y＋m＝0. 解方程组得P(0，2). 因为直线l过直线l1与l2的交点P(0，2)， 所以4×0＋3×2＋m＝0，解得m＝－6. 所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. [变式]　将本例中的“垂直”改为“平行”，其他条件不变，求直线l的方程. 解：方法一(直接法) 由本例可知P(0，2)，直线l的斜率为， 故直线l的方程为y－2＝x，即3x－4y＋8＝0. 方法二(待定系数法) 设直线l的方程为3x－4y＋n＝0. 由3×0－4×2＋n＝0，得n＝8. 所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0. [方法总结] (1)涉及两直线交点的问题，通常是先求交点坐标，再进一步解决问题. (2)如果利用平行直线系或垂直直线系求直线方程，就一定要注意系数及符号的变化规律. [训练2]　求证：不论m取何实数，直线(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0都过一个定点，并求这个定点的坐标. 证明：方法一　令m＝0，得x＋y－1＝0，① 令m＝1，得4x－y＋2＝0，② 将①②联立得解得 把x＝－，y＝代入(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0的左边，得(3m＋1)×(－)－(2m－1)＋3m－1＝0. ∴不论m为何实数，直线(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0均过定点(－，). 方法二　方程可化为(x＋y－1)＋m(3x－2y＋3)＝0. 由m的任意性可知 得 ∴不论m为何实数，直线都恒过定点(－，). 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程. 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：直线l2的方程. 第二步，精读题目挖已知条件：直线l2为直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线. 第三步，建立联系寻解题思路：思路一，直线l2过直线l1与直线l的交点，再在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点从而得解；思路二，设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l的对称点为N(x，y)，利用直线l垂直平分线段MN求解. 第四步，书写过程养规范习惯. 解：方法一　解方程组得直线l1与直线l的交点A(，). 在直线l1上取一点B(2，0)， 设点B关于直线l的对称点为C(x，y)， 则 解得即C(－2，4). 又直线l2过A(，)和C(－2，4)两点， 故由两点式得直线l2的方程为＝， 即x＋2y－6＝0. 方法二　设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l的对称点为N(x，y)，则线段MN的中点坐标为(，)，直线MN的斜率为. 由题意，得 解得 因为M(x0，y0)在直线l1上， 所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0， 所以直线l2的方程为x＋2y－6＝0. [方法总结]　解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点 P′(x′，y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ①点Q(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为Q′(m，n)， 则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. [训练3]　试求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：3x－y＋3＝0对称的直线l的方程. 解：设所求直线l上一点P(x，y)，则在直线l1上必存在一点Q(x0，y0)与点P关于直线l2对称. 由题设知PQ与直线l2垂直，且线段PQ的中点M(，)在直线l2上. ∴ 变形得 代入直线l1：x－y－2＝0， 得－－2＝0， 整理得7x＋y＋22＝0. ∴所求直线方程为7x＋y＋22＝0. 1.直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点坐标是(　　) A.(2，2)　　　　　　 B.(2，－2) C.(－2，2) D.(－2，－2) 解析：解方程组得∴交点坐标为(－2，2). 2.经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线方程为(　　) A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0 C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0 解析：联立直线l1，l2的方程解得即直线l1与l2的交点为(－，)， 故所求的直线方程为y＝－x，即3x＋19y＝0. 3.已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________. 1　 (3，3) 解析：∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0， 即a＝1，联立方程 易得x＝3，y＝3，∴P(3，3). 4.经过两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0平行的直线的一般式方程为___________. x－3y＝0 解析：两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以所求直线为y＋1＝(x＋3)，即x－3y＝0. $$