2.2.3 直线的一般式方程（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第2章　平面解析几何初步 2.2.3　直线的一般式方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握直线方程的一般式，并会熟练应用. 2.会选择适当的方程形式求直线方程. 3.掌握一般式与其他形式的互化. 通过直线方程的一般式的学习与应用，进一步加强数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 栏目索引 课前·预习案 课堂·探究案 冲关·演练案 课前·预习案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 B 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 课堂·探究案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 B 冲关·演练案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 A 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第2章　平面解析几何初步 课后巩固 谢谢观看！ (1)定义：关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把方程_____________(A，B不同时为0)称为直线的一般式方程，简称一般式. (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. Ax＋By＋C＝0 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线.(　　) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式.(　　) (3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C.∪(，π) D.∪ 3.如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A.第一象限　　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.过点A(－1，2)，斜率为2的直线的一般式方程为________. 答案：2x－y＋4＝0 根据下列条件写出直线方程，并化为一般形式： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 解：(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)， 整理得x－y＋3－5＝0. (2)由两点式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0. [方法总结]　利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程形式的适用范围，要注意对斜率是否存在，截距是否为0进行分类讨论，最后将方程形式转化为一般式. [训练1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4，2)，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4). 解：(1)由点斜式方程得y－(－2)＝－(x－8)，化成一般式得x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得y＝2，化为一般式得y－2＝0. (3)由截距式得＋＝1，化成一般式得2x－y－3＝0. (4)由两点式得＝，化成一般式方程为x＋y－1＝0. －2 (1)直线y＝kx＋3k＋1经过的定点为________. (2)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. ①若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________； ②若直线l的斜率为1，则m＝________. (－3，1) － 解析：(1)由题意，直线y＝kx＋3k＋1可化为 y－1＝k(x＋3)， 又由 解得x＝－3，y＝1，即直线过定点(－3，1). (2)①令y＝0，则x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去). ∴m＝－. 解析：②由直线l化为斜截式方程得 y＝x＋， 则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去). ∴m＝－2. [方法总结] (1)方程Ax＋By＋C＝0表示直线，需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.进一步可求斜率和在y轴上的截距. (3)利用参数的任意性可判定直线过定点或把含参数的一般方程化为点斜式方程可判断直线过定点. (4)解分式方程注意验根. [训练2]　(1)直线ax＋(a＋1)y＋a－1＝0过定点(　　) A.(2，1)　　　　　　　 B.(2，－3) C.(－2，1) D.(－2，3) 解析：直线方程可化为a(x＋y＋1)＋y－1＝0，由，解得 因此，直线ax＋(a＋1)y＋a－1＝0过定点(－2，1). (2)若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足________. a≠－2 解析：由 得a＝－2， ∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，∴a≠－2. 已知直线l的倾斜角的正弦值为，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程. [分析]　知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y轴上的截距b，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b.也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出|ab|＝6，再根据它的斜率已知，从而得到关于a，b的方程组，解之即可. 解：(解法一)设l的倾斜角为α，由sin α＝，得tan α＝±. 设l的方程为y＝±x＋b，令y＝0，得x＝±b. ∴直线l与x轴、y轴的交点分别为(±b，0)，(0，b). ∴S△＝·|b|＝b2＝6，即b2＝9，∴b＝±3. 故所求的直线方程分别为3x－4y±12＝0或3x＋4y±12＝0. (解法二)设直线l的方程为＋＝1，倾斜角为α， 由sin α＝，得tan α＝±. 故所求的直线方程为3x－4y±12＝0或3x＋4y±12＝0. [方法总结] (1)本例中，由于已知直线的倾斜角(与斜率有关)及直线与坐标轴围成的三角形的面积(与截距有关)，因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说. (2)在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决.例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式. 在求直线方程的过程中，确定方程的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏. [训练3]　经过点P(－2，3)，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线 的截距式方程为______________________________. ＋＝1或＋＝1 解析：设直线方程为＋＝1，因为直线过点P(－2，3)， 所以＋＝1，整理得a2－a－12＝0，解得a＝－3或a＝4. 于是所求直线方程的截距式为＋＝1或＋＝1. 1.直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　) A.30°　　　B.60°　　　C.150°　　　D.120° 解析：设直线的倾斜角为α，斜率为k， 化直线方程为y＝x＋a，∴k＝tan α＝. ∵0°≤α<180°，∴α＝60°. 2.直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　) A.ab>0，bc<0 B.ab>0，bc>0 C.ab<0，bc>0 D.ab<0，bc<0 解析：由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0. 3.若直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点，则此定点是________. (－2，1) 解析：由y＝mx＋2m＋1，得y－1＝m(x＋2)，所以直线恒过定点(－2，1). 4.直线＋＝1的一般式方程为_________________. 4x＋3y－12＝0 解析：由＋＝1得4x＋3y－12＝0，∴直线的一般式方程为4x＋3y－12＝0. $$