1.3.3 第1课时 等比数列的前n项和的公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第1章　数列 1.3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和的公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用. 2.理解等比数列前n项和的性质及应用. 3.会用错位相减法求数列的前n项和. 1.在推导等比数列前n项和公式的过程中，达成逻辑推理、数学抽象的核心素养. 2.在运用等比数列前n项和公式及性质的过程中，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 栏目索引 课前·预习案 课堂·探究案 冲关·演练案 课前·预习案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 D 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 A 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 课堂·探究案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 A 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 B 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 D 冲关·演练案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 210 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 课后巩固 谢谢观看！ 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 一般地，设公比为q的等比数列{an}的前n项和是 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，① 将①式两端同时乘以公比q，由an＝qan－1得 qSn＝a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1，② 由①－②得 (1－q)Sn＝a1－an＋1＝a1(1－qn)， 当q≠1时，Sn＝；当q＝1时，Sn＝na1. 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝来求.(　　) (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列.(　　) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　) A.210＋2　　　　　 B.29－2 C.210－2 D.211－2 3.在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A.4 B.－4 C.2 D.－2 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99＝________. 答案：12　 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：求a3和q. 第二步，精读题目挖已知条件：{an}为等比数列，且知道首项和前3项和. 第三步，建立联系寻解题思路：讨论公比q是否为1，利用前n项和公式，求出公比，进而求出a3. 第四步，书写过程养规范习惯. 解：由题意得，若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意.此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S3＝＝＝6，解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8. [方法总结]　使用等比数列求和公式时的注意事项 (1)一定不要忽略q＝1的情况. (2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝. (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn，知道其中任意三个，可求其余两个. [训练1]　在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 解析：在等式am＋n＝aman中，令m＝1，可得an＋1＝ana1＝2an，所以＝2. 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列， 即an＝2×2n－1＝2n. 所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1(210－1)＝25(210－1). 所以2k＋1＝25，即k＋1＝5，解得k＝4. [训练2]　在等比数列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解：方法一　∵an＝96，q＝2，∴a1·2n＝192.　① 又∵Sn＝＝189，即a1－a1·2n＝－189， ∴a1＝a1·2n－189＝192－189＝3，代入①式得n＝6. 方法二　由公式Sn＝及已知，得 189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A.28 B.32 C.21 D.28或－21 解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4为等比数列. ∴(S4－7)2＝7(91－S4)， 解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2， ∴S4＝28. (2)在等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________. 解析：设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2. 又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24，即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24. 24　 [方法总结]　结合等比数列前n项和的性质解题 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和性质是基础. (2)运用方程思想、整体化思想是解题的关键. [训练3]　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　) A.2 B. C. D.3 解析：由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，故＝. [训练4]　一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式. 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶， 由题意可知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶. 因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝. 又因为a1·a1q·a1q2＝64， 所以a·q3＝64，即a1＝12. 故所求通项公式为an＝12×()n－1＝4×()n－2. 已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12， (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和. 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和. 第二步，精读题目挖已知条件：(1){an}为等差数列，且知道首项和前3项和；(2)数列{bn}由等差数列与等比数列的乘积构成. 第三步，建立联系寻解题思路：(1)通过前3项和并结合首项求出公差，确定数列{an}的通项公式；(2)由数列{bn}的通项公式的结构形式，可考虑错位相减法求和. 第四步，书写过程养规范习惯. 解：(1)设数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12. ∵a1＝2，得d＝2，∴an＝2n. (2)由(1)知，bn＝an·3n＝2n·3n，则 Sn＝2×3＋4×32＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n，① 3Sn＝2×32＋4×33＋…＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1.② ①－②得－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1 ＝3(3n－1)－2n·3n＋1， ∴Sn＝＋n·3n＋1. [方法总结]　应用错位相减法的注意事项 (1)在写出Sn与qSn的表达式时，应使两式对齐，便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式. (2)要讨论公比q是否等于1的情况. [训练5]　设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项. (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2， 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.故{an}的公比为－2. (2)记Sn为{nan}的前n项和. 由(1)及题设可得an＝(－2)n－1， 所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n. 所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n. 所以Sn＝－. 1.正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，a2a4＝144，则S10＝(　　) A.511　　　　　　　 B.1 023 C.1 533 D.3 069 解析：因为a1＝3，a2a4＝aq4＝144，所以q＝2，S10＝＝3 069. 2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于(　　) A.2 B.4 C. D. 解析：方法一　由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，得＝＋1＋q＋q2＝. 方法二　∵S4＝，a2＝a1q，∴＝＝. 3.在等比数列{an}中，前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________. 解析：由等比数列的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列， 又S5＝10，S10－S5＝40，所以S15－S10＝160. 所以S15＝S5＋(S10－S5)＋(S15－S10)＝210. 4.求数列的前n项和. 解：设Sn＝＋＋＋…＋， 则有Sn＝＋＋…＋＋， 两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，即Sn＝ －＝1－－. 所以Sn＝2－－＝2－. $$