1.3.1 等比数列及其通项公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第1章　数列 1.3　等比数列 1.3.1　等比数列及其通项公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解等比数列的定义，掌握等比数列的判定方法. 2.掌握等比数列的通项公式及其应用. 3.理解等比中项及其应用. 4.理解等比数列的性质及应用. 1.通过等比数列概念、等比中项的学习培养数学抽象的核心素养. 2.借助于等比数列通项公式及其性质的学习提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 栏目索引 课前·预习案 课堂·探究案 冲关·演练案 一、等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第 ______项起，每一项与它的______一项之______都等于______常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的______，公比通常用字母q表示(q≠0). 二、等比数列的通项公式 一般地，如果数列{an}的首项为a1，公比是q，那么等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1. 课前·预习案 2 前 比 同一个 公比 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 ab 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比为常数，则该数列为等比数列.(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.(　　) (3)常数列一定为等比数列.(　　) (4)任何两个数都有等比中项.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 D 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 课堂·探究案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 D 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 B 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 D 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 B 冲关·演练案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 课后巩固 谢谢观看！ 在两个数a、b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则称G为a，b的等比中项. 表达式：G2＝______，即G＝±. 2.下列数列中，成等比数列的是(　　) ①－1，－2，－4，－8，…；②1，－，3，－3，…；③x，x，x，x，…；④，，，，…. A.①②③　　　　　 B.①② C.①②④ D.①②③④ 3.(教材习题改编)已知数列{an}为等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝(　　) A.　　B.± C.　　D.± 4.等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　　) A. B. C. D. 5.7＋3与7－3的等比中项是________. 答案：2或－2　 命题角度1　等比数列的判定 判断下列数列是否为等比数列. (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. 解：(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)，∴此数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1，＝2，∴≠.∴此数列不是等比数列. (3)当a＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 命题角度2　根据递推公式判定与证明等比数列 已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列. 解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2，n∈N＋). 当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列； 当a≠－1时，数列{an}不是等比数列. [变式]　将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”.求证数列{an}是等比数列. 证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0. 又由an＋1＝an知an≠0，∴＝， ∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列. [方法总结] 1.判定等比数列，要抓住三个要点 ①从第2项起；②要判定每一项，不能有例外；③每一项与它的前一项的比是同一个常数，且不能为0. 2.判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列. (2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝anan＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列. [训练1]　在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N＋).求证：数列{an＋3}是等比数列. 证明：方法一(定义法)∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴＝＝＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列. 方法二(等比中项法)∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9. ∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3) ＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2. 即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列， ∴数列{an＋3}是等比数列. [知能解读]　等比数列通项公式的应用技巧 (1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出. (2)等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个. (3)在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的思想. 在等比数列{an}中， (1)已知a2＝4，a5＝－，求an； (2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n. 解：(1)方法一　设等比数列的公比为q， 则解得 故an＝a1qn－1＝(－8)×(－)n－1＝(－)n－4. 方法二　设等比数列的公比为q，则＝q3， 即q3＝－，q＝－. 所以an＝a5qn－5＝(－)×(－)n－5＝(－)n－4. (2)方法一　设等比数列的公比为q，则 解得从而a1＝＝128. 由a1qn－1＝，即()n－1＝()8，得n＝9. 方法二　设等比数列{an}的公比为q. ∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q， ∴q＝＝. ∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18. ∴a4＝16，an＝a4qn－4＝16×()n－4. 由16×()n－4＝，得n－4＝5，∴n＝9. [方法总结]　等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. [训练2]　在等比数列{an}中. (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 解：(1)由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q，那么 解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. (1)设x，2x＋2，3x＋3成等比数列，则x＝________； (2)设a，b，c是实数，若a，b，c成等比数列，且，，成等差数列，则＋的值为________. －4 2 解析：(1)由题意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4. 当x＝－1时，2x＋2＝0，不符合题意，舍去，所以x＝－4. (2)由a，b，c成等比数列，，，成等差数列， 得 即＝(＋)2，故(a－c)2＝0，即a＝c.所以＋＝1＋1＝2. [方法总结]　应用等比中项解题的两个注意点 (1)要证实数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零. (2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会简化运算过程. [训练3]　(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是(　　) A.1或　　　　　 B.1或－ C.1或 D.1或－ (2)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________. 4×()n－1 解析：(1)由题意得a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2， 所以或 因此的值为1或－. (2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5， 所以a1＝4，a2＝6.所以公比q＝＝＝. 所以an＝4×()n－1. [知能解读]　等比数列的性质 (1)通项公式的推广 an＝amqn－m(m，n∈N＋). (2)等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，aman＝a. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积， 即a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1＝…. (1)在等比数列{an}中，an>0，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________； 128 解析：因为a3a5＝a＝4，又an>0，所以a4＝2，a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4 ＝a·a·a·a4＝a＝27＝128. (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝________. －(－2)n－1 解析：在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124， 解得a3＝－4，a8＝128或a3＝－128，a8＝4.因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2， 故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1. [变式]　将本例(2)中等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10. 解：因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2， 解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4. 当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7； 当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7.故a1＋a10＝－7. [方法总结]　等比数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，先确定a1，q，再求其他项. (2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m，n，k，l，s∈N＋)⇔am·an＝ak·al＝a. [训练4]　在等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为(　　) A.32　　 B.64　　 C.128　　 D.256 解析：由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且＝2＝q6，故a36＝a18·q18＝8×23＝64. [训练5]　已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　) A.4 B.6 C.7 D.5 解析：∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列. ∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10.又{an}各项均为正数，∴a4a5a6＝5. 1.若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 解析：因为×()n－1＝， 所以()n－1＝＝()3， 所以n＝4. 2.若数列{an}是等比数列，则下列式子一定成立的是(　　) A.a2＋a5＝a1＋a6 B.a1a9＝a10 C.a1a9＝a3a7 D.a1a2a7＝a4a6 解析：根据等比数列的性质，知a1a9＝a3a7. 3.已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于________. ±6 解析：由题意a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6. 4.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么 ②÷①，得q＝，将q＝代入①， 得a1＝.因此，a2＝a1q＝×＝8. 综上，数列的第1项与第2项分别是与8. $$