章末测试卷(2) 一元二次函数、方程和不等式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

章末测试卷(二)　一元二次函数、方程和不等式 (时间：120分钟　满分：150分) [对应学生用书P291] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若a＞b＞c，则下列不等式成立的是(　　) A．＞　　　 B．＜ C．ac＞bc D．ac＜bc B　[∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c>0.∴＜.] 2．若关于x的不等式mx－2>0的解集是{x|x>2}，则实数m等于(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 C　[由题意得不等式mx－2>0的解集是{x|x>2}， 所以方程mx－2＝0的解是2，则2m－2＝0，解得m＝1.] 3．不等式x2－ax－12a2＜0(其中a＜0)的解集为(　　) A．{x|－3a＜x＜4a} B．{x|4a＜x＜－3a} C．{x|－3＜x＜4} D．{x|2a＜x＜6a} B　[方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a，且4a＜－3a，∴4a＜x＜－3a. 即不等式的解集为{x|4a＜x＜－3a}．] 4．“a＞2”是“a2＞4”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[a2＞4解得a＞2或a＜－2， 所以“a＞2”⇒“a2＞4”，但“a2＞4”推不出“a＞2”， 所以“a＞2”是“a2＞4”的充分不必要条件．] 5．若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋＜m2－m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－2，1) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D　 [由两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，得＋＝2， 则x＋＝(＋)(x＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝2， 当且仅当＝，即y＝4，x＝1时取等号， 由不等式 x＋＜m2－m有解，得m2－m＞2，解得m＜－1或m＞2， 所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).] 6．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论中错误的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m>－ C．当m>0时，2<x1<x2<3 D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的图象与x轴交点的坐标为(2，0)和(3，0) C　[画出二次函数y＝(x－2)(x－3)的图象如下图所示，当m＝0时，x1＝2，x2＝3成立，故A选项结论正确．根据二次函数图象的对称性可知，当x＝2.5时，y取得最小值为－.要使y＝(x－2)(x－3)＝m有两个不相等的实数根，则需m>－，故B选项结论正确．当m>0时，根据图象可知x1<2，x2>3，故C选项结论错误．由(x－2)(x－3)＝m展开得x2－5x＋6－m＝0，根据韦达定理得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m.所以y＝(x－x1)(x－x2)＋m＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋m＝x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，故y＝(x－x1)(x－x2)＋m与x轴的交点坐标为(2，0)，(3，0).故D选项结论正确． ] 7．已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，5)，其中a，b，c为常数，则不等式cx2＋bx＋a≤0的解集是(　　) A．[－1，] B．[－，1] C．(－∞，－]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[，＋∞) A　 [因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，5)， 所以a＜0，且－1和5是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 所以，解得 所以不等式cx2＋bx＋a≤0可化为－5ax2－4ax＋a≤0，即5x2＋4x－1≤0， 解得－1≤x≤，则不等式cx2＋bx＋a≤0的解集是[－1，].] 8．已知x＞1，y＞1，且x＋y－xy＝，则2x＋y的最小值是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．4 C．4 D．5 D　[由x＋y－xy＝，得(x－1)(y－1)＝， 因为x＞1，y＞1，所以x－1＞0，y－1＞0， 则2x＋y＝2(x－1)＋(y－1)＋3≥2＋3＝5， 当且仅当2(x－1)＝y－1，即x＝，y＝2时，等号成立， 所以2x＋y的最小值是5.] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设a>0，b>0，给出下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1>a B．a2＋9>6a C．(a＋b)(＋)≥4 D．(a＋)(b＋)≥4 ACD　[由(a2＋1)－a＝(a－)2＋>0可得a2＋1>a，故A正确； 由(a2＋9)－6a＝(a－3)2≥0可得a2＋9≥6a，故B错误； 由(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，故C正确； 由(a＋)(b＋)＝(ab＋)＋(＋)≥2＋2＝4， 当且仅当，即a＝b＝1时取等号，故D正确．] 10．已知k∈Z，若关于x的不等式x2－x＜k(x－1)只有一个整数解，则k的可能取值有(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 AD　[关于x的不等式x2－x＜k(x－1)， 即x2－(k＋1)x＋k＜0， 即(x－1)(x－k)＜0， 当k＝1时，(x－1)(x－k)＜0即(x－1)2＜0，解集为空集，不合题意； 当k＞1时，(x－1)(x－k)＜0的解满足1＜x＜k， 要使得关于x的不等式x2－x＜k(x－1)只有一个整数解，需2＜k≤3， 由于k∈Z，故k＝3； 当k＜1时，(x－1)(x－k)＜0的解满足k＜x＜1， 要使得关于x的不等式x2－x＜k(x－1)只有一个整数解，需－1≤k＜0， 由于k∈Z，故k＝－1， 综合得k的可能取值有－1，3.] 11．已知x，y∈(0，＋∞)，设M＝2x＋y，N＝xy，则以下四个命题中正确的是(　　) A．若N＝1，则M有最小值 B．若M＋N＝6，则N有最大值2 C．若M＝1，则0＜N≤ D．若M＝N，则M有最大值8 BC　[由题意知，x，y∈(0，＋∞)，M＝2x＋y，N＝xy， 对于A：当N＝xy＝1时，M＝2x＋y≥2＝2，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时等号成立， 所以M的最小值为2，故A错误； 对于B：当M＋N＝2x＋y＋xy＝6 时，6＝2x＋y＋xy≥2＋xy，当且仅当2x＝y时等号成立， 令t＝，则t＞0，且t2＋2t－6≤0，解得0＜t≤，即0＜≤，解得0＜xy≤2， 所以0＜N≤2，即N有最大值2，当且仅当x＝1，y＝2时取等号，故B正确； 对于C：当M＝2x＋y＝1时，1＝2x＋y≥2，当且仅当2x＝y，即y＝，x＝时等号成立， 所以0＜≤，得0＜xy≤，所以0＜N≤，故C正确； 对于D：当2x＋y＝xy时，得＋＝1， 所以M＝2x＋y＝(2x＋y)(＋)＝＋＋4≥2＋4＝8， 当且仅当＝，即x＝2，y＝4时取等号，即M有最小值8，故D错误．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上． 12．若x＞1，则的最小值为___________． 9　[由题意得x＞1，得x－1＞0，于是＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝9， 当且仅当x－1＝，即x＝5时取等号， 所以的最小值为9.] 13．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是________． [0，4]　[①若a＝0，则1<0不成立，此时解集为空． ②若a≠0，则∴0<a≤4. 综上，实数a的取值范围是[0，4].] 14．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最大值是________． 　[因为a>0，b>0，且a＋b＝1， 所以a∈(0，1)，b∈(0，1)， ＝＝ ＝， 当a＝时，3a2－4a＋2取最小值，所以取最大值， 故的最大值是.] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}． (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0； (2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R. 解　(1)由题意知1－a＜0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两个根，∴解得a＝3. ∴不等式2x2＋(2－a)x－a＞0，即为2x2－x－3＞0， 解得x＜－1或x＞. ∴所求不等式的解集为. (2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0.∴当b∈[－6，6]时，不等式的解集为R. 16．(15分)已知函数y＝f(x)为二次函数，f(0)＝－3，且关于x的不等式f(x)<4的解集为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)当－1<x<1时，f(x)<a恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝－3，得c＝－3，则f(x)＝ax2＋bx－3， 又因为f(x)<4的解集为. 所以ax2＋bx－7＝0的两根为x1＝－1，x2＝， 故，解得a＝3，b＝－4， 所以f(x)＝3x2－4x－3. (2)由(1)得f(x)＝3x2－4x－3， 又因为－1<x<1，则－≤f(x)<4， 当－1<x<1时，f(x)<a恒成立 则实数a的取值范围为[4，＋∞). 17．(15分)已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋2a(a∈R). (1)求不等式f(x)<0的解集； (2)若当x∈R时，f(x)≥－4恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)不等式f(x)<0可化为：(x－2)(x－a)<0， ①当a＝2时，不等f(x)<0无解； ②当a>2时，不等式f(x)<0的解集为{x|2<x<a}； ③当a<2时，不等式f(x)<0的解集为{x|a<x<2}． (2)由f(x)≥－4恒成立可化为：x2－(a＋2)x＋2a＋4≥0恒成立， 必有：Δ＝(a＋2)2－4(2a＋4)≤0，化为a2－4a－12≤0， 解得：－2≤a≤6. 所以实数a的取值范围是[－2，6]. 18．(17分)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 解　(1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8，整理得t2－65t＋1 000≤0， 解得25≤t≤40. 因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于当x>25时，a≥＋x＋有解． 因为＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，所以a≥10.2. 因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元． 19．(17分)已知a＞0，b＞0，且＋＝，若a＋b的最小值为m. (1)求m的值； (2)若对∀x∈R，不等式tx2－2tx＋t＋m＞0恒成立，求实数t的取值范围． 解　(1)因为a＞0，b＞0，且＋＝， 则a＋b＝2(a＋b)(＋)＝[(a＋3b)＋(3a＋b)](＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝2， 当且仅当，即a＝b＝1时取等号， 故a＋b的最小值m＝2. (2)由(1)可得m＝2， 则tx2－2tx＋t＋2＞0， 当t＝0时，不等式为2＞0，显然成立； 当t≠0时，由条件可得解得0＜t＜2． 综上可知，实数t的取值范围为[0，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$