模块综合卷（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

模块综合卷 (时间：120分钟　满分：150分) [对应学生用书P315] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列集合与集合A＝{2，3}相等的是(　　) A．{(2, 3)} B．{(x, y)|x＝2, y＝3} C．{x|x2－5x＋6＝0} D．{x＝2, y＝3} C　[对选项A，集合中的元素代表点(2, 3)，与集合A不同．对选项B，集合中的元素代表点(2, 3)，与集合A不同．对选项C，x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3，与集合A的元素相同．对选项D，表示两个代数式的集合，与集合A不同．] 2．已知a∈R，则“a>2”是“<”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由a>2⇒<，而<推不出a>2， ∴“a>2”是“<”的充分不必要条件．] 3．若a＝e0.5，b＝ln 2，c＝log20.2，则有(　　) A．a>b>c　　　　 B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a A　[指数函数y＝ex为增函数，则a＝e0.5>e0＝1.对数函数y＝ln x为增函数，则ln 1＜ln 2＜ln e， 即0<b<1.对数函数y＝log2x为增函数，则c＝log20.2<log21＝0.因此，a＞b＞c.] 4．已知sin θ>0且cos θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[依据题设及三角函数的定义 可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 所以终边在第二象限．] 5．某班有男生28人，女生16人，用分层抽样的方式从中抽取容量为n的样本，若男生抽取了7人，则n的值为(　　) A．10 B．11 C．12 D．14 B　[根据题意可得＝，解得n＝11.] 6．函数f(x)＝－2sin2x＋2cosx的最小值和最大值分别是(　　) A．－2，2 B．－2， C．－，2 D．－，2 D　[f(x)＝－2sin2x＋2cosx ＝2cos2x＋2cosx－2 ＝2(cos x＋)2－. 因为－1≤cos x≤1，所以当cos x＝－时，f(x)min＝－，当cos x＝1时，f(x)max＝2.] 7．若不等式lg ≥(x－1)lg 3对任意的x∈(－∞，1]恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) B　[由lg ≥lg 3x－1，得≥3x－1，1＋2x＋(1－a)3x≥3x，1＋2x≥a·3x，即()x＋()x≥a对任意的x∈(－∞，1]恒成立．设f(x)＝()x＋()x，x∈(－∞，1]，则f(x)min＝f(1)＝＋＝1，∴a≤1.] 8．已知关于x的不等式logax>4x(a>0且a≠1)的解集为，则a＝(　　 ) A． B． C． D．2 A　[当a>1时，显然logax<4x恒成立，不符合题意；当0<a<1时，y＝logax是单调减函数，y＝4x是单调增函数，根据不等式的解集可知：loga＝4，解得a＝.] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac2>bc2 B．< C．a－c>b－c D．e－a<e－b CD　[对A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，故A错误；对B，当a＝－1，b＝－2时，<不成立，故B错误；对C，因为a>b，两边同时减去c有a－c>b－c成立，故C正确；对D，因为a>b⇒－a<－b，又y＝ex为增函数．故e－a<e－b成立．故D正确．] 10．有一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，其中x1是最小值，x7是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5，x6的众数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的众数 B. x2，x3，x4，x5，x6的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的中位数 C．x2，x3，x4，x5，x6的方差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差 D．x2，x3，x4，x5，x6的极差不小于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的极差 BC　[对于A：设这组数据为1，2，2，3，4，4，4，此时x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的众数为4，x2，x3，x4，x5，x6的众数为2和4，故A错误； 对于B：不妨假设x1≤x2≤x3≤…≤x7，此时x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的中位数为x4，x2，x3，x4，x5，x6的中位数为x4，故B正确； 对于C：因为x1是最小值，x7是最大值，所以x2，x3，x4，x5，x6的波动性不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的波动性，即s≤s，故C正确； 对于D：因为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的极差为x7－x1，而x2，x3，x4，x5，x6的极差为x6－x2，且x1≤x2，x6≤x7，所以x7－x6≥0≥x1－x2，所以x7－x1≥x6－x2，故D错误．] 11．已知函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象为C，则下列结论正确的有(　　) A．C关于直线x＝对称 B．C关于点(，0)对称 C．f(x)在(－，)上是增函数 D．由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C ACD　[函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象为C，当x＝时，f(x)＝－2，为最小值，C关于直线x＝对称，A正确． 当x＝时，f(x)＝2，为最大值，C不关于点(，0)对称，B错误． 在(－，)上，2x＋∈(－，)，sin (2x＋)单调递增，f(x)在(－，)上是增函数，C正确． 由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝2cos [2(x－)]＝2cos (2x－)＝2sin (＋2x－)＝2sin (2x＋)＝f(x)的图象，故D正确．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上． 12．函数y＝sin (x＋)(x∈[0，])的单调递增区间是________． [0，]　[y＝sin x＋cos x＝sin (x＋)， x∈[0，]的单调递增区间即为0≤x＋≤与x∈[0，]的交集，所以单调递增区间为[0，].] 13．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 10　[设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知＝7.(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20.由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6.综上，参加的人数分别为4，6，7，8，10，故最大值为10.] 14．设函数f(x)＝＋aex(a为常数).若f(x)为偶函数，则实数a＝______；若对∀x∈R，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是______________． 1　[，＋∞)　[由题意知，＋aex＝＋ae－x⇒＋aex＝ex＋⇒(a－1)(ex－)＝0. 故a＝1. 因为＋aex≥1恒成立，所以a≥－恒成立． 设t＝>0，则a≥t－t2在t>0时恒成立． 又y＝t－t2＝－(t－)2＋≤，故a≥.] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x的方程g(x)－m＝0在x∈[－，]上有两个不等实根x1，x2，求实数m的取值范围，并求g(x1＋x2)的值． 解　(1)由图可知，A＝2， ∵π－＝T, ∴T＝π，ω＝＝2， 又f()＝2, ∴2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z，由|φ|＜可得φ＝， ∴f(x)＝2sin (2x＋). (2)将f(x)向右平移个单位长度，得到y＝2sin [2(x－)＋]＝2sin (2x－)， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到g(x)＝2sin (4x－)， 令t＝4x－，则当x∈[－，]时，t∈[－，]. 易知函数y＝2sin t在[－，－]上单调递减，在[－，]上单调递增， 又2sin (－)＝－，2sin (－)＝－2，2sin ＝， ∴－2＜m≤－. 由对称性可知＝－， ∴t1＋t2＝4x1－＋4x2－＝－π， ∴x1＋x2＝－， ∴g(x1＋x2)＝2sin [4×(－)－]＝2sin (－)＝－. 16．(15分)已知偶函数f(x)＝log2(1＋ax)＋log2(1＋bx)(a>0)，且 f()＝－1. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝若g(x)的值域为R，求实数m的取值范围． 解　(1)函数f(x)的定义域为 对于ax＋1>0，因为a>0，所以x>－. 因为f(x)为偶函数，所以其定义域关于原点对称， 所以对于bx＋1>0，一定有b<0.所以x<－， 且有＝－，可得a＋b＝0. 所以f()＝log2(1＋a)＋log2(1－a) ＝log2(1－a2)＝－1， 解得1－a2＝，即a2＝1. 因为a>0，所以a＝1，从而b＝－1. (2)由(1)可知，g(x)＝ 当0≤x<1时，可得0<1－x2≤1， 所以log2(1－x2)≤0，即g(x)≤0； 当x≥1时，2x≥2，所以g(x)≥2＋m. 因为g(x)的值域为R，所以2＋m≤0， 所以m≤－2. 所以实数m的取值范围是(－∞，－2]. 17．(15分)设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M(－，0)对称． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间； (3)求不等式－1≤f(x)≤ 的解集． 解　(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，即＝. 因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan (2x＋φ). 因为函数y＝f(x)的图象关于点M(－，0)对称， 所以2×(－)＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan (2x＋). (2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ<2x<＋kπ，k∈Z， 即－＋<x<＋，k∈Z. 所以函数的单调递增区间为 (－＋，＋)，k∈Z， 函数无单调递减区间． (3)由(1)知，f(x)＝tan (2x＋). 由－1≤tan (2x＋)≤ ， 得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以不等式－1≤f(x)≤ 的解集为 . 18．(17分)某市在200万成年人中随机抽取了100名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图(如图)，将平均每天读书时长不低于1.5小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于2.5小时的市民称为“读书迷”． (1)试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人； (2)省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中55%的成年人平均每天读书时长不低于a小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？(精确到0.1) (3)该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过20万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数x(x＞1)，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少10ln x%，“读书迷”愿意加入的人数会减少%.问会费参数x至少定为多少时，才能使会员的人数不超过20万人？ 解　(1)样本中“阅读爱好者”出现频率为(0.16＋0.10＋0.06)×0.5×100%＝16%， “阅读爱好者”的人数为200×16%＝32(万)， “读书迷”人数为200×(0.06×0.5)＝6(万)， 所以32万“阅读爱好者”中，“读书迷”约有6万人． (2)由题意知至多有45%的成年人每天读书时长少于a， 即找到45%分位数， 又0.5×0.72＝0.36＜45%，0.5×(0.72＋0.44)＝0.58＞45%， 所以0.72×0.5＋0.44×(a－0.5)＝45%，可得a＝≈0.7， 即参考标准a不能高于0.7小时(42分钟). (3)“阅读爱好者”中非“读书迷”约有26(1－)万人愿意加入读书会， “读书迷”约有6(1－)万人愿意加入读书会， 令26(1－)＋6(1－)＝32－－≤20， 化简得：13(ln x)2＋113ln x－660≥0， 解得：ln x≤－或ln x≥4，所以x≥e4， 所以会费参数x至少定为e4时，才能使入会的人员不超过20万人． 19．(17分)已知函数f(x)＝，函数y＝g(x)为函数y＝f(x)的反函数． (1)求函数y＝g(x)的解析式； (2)若方程g(x)＝ln [(a－3)x＋2a－4]恰有一个实数根，求实数a的取值范围； (3)设a>0，若对任意b∈[，1]，当x1，x2∈[b，b＋1]时，满足|g(x1)－g(x2)|≤ln 4，求实数a的取值范围． 解　(1)因为y＝g(x)为函数y＝f(x)的反函数， 所以x＝，得y＝ln (＋a). 所以g(x)＝ln (＋a). (2)由ln (＋a)＝ln [(a－3)x＋2a－4]得 (a－3)x2＋(a－4)x－1＝0； 当a＝3时，x＝－1，经检验，满足题意； 当a＝2时，x1＝x2＝－1，经检验，满足题意； 当a≠2且a≠3时，x1＝，x2＝－1，x1≠x2， 若x1是原方程的解，则＋a>0，即a>； 若x2是原方程的解，则＋a>0，即a>1， 于是满足题意的a∈(1，]. 综上，实数a的取值范围是(1，]∪. (3)不妨令b≤x1<x2≤b＋1，则＋a>＋a，即g(x1)>g(x2)， 所以函数g(x)＝ln (＋a)在[b，b＋1]上为减函数， g(x)max＝ln (＋a)，g(x)min＝ln (＋a)， 因为当x1，x2∈[b，b＋1]时，满足|g(x1)－g(x2)|≤ln 4， 所以只需ln (＋a)－ln (＋a)≤ln 4， 即3ab2＋3(a＋1)b－1≥0对任意b∈[，1]恒成立． 因为a>0，所以函数y＝3ab2＋3(a＋1)b－1在b∈[，1]上单调递增．当b＝时，y有最小值 a＋(a＋1)－1＝－，由－≥0，得a≥，故实数a的取值范围是[，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$