6.4.2 用样本估计总体的离散程度（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P280] 1．以下是人数相同的四个班级某次考试成绩的频率分布直方图，其中方差最小的是(　　) B　[方差表示数据波动性的大小、稳定程度．由频率分布直方图可知：数据越靠近均值，方差越小，所以方差最小的是B选项．] 2．已知样本9，10，11，m，n的平均数是9，方差是2，则mn－m－n＝(　　) A．41　　　　　　　　　　 B．29 C．55 D．45 A　[由题意可得 ＝9，① ＝2，② 整理①式可得m＋n＝15，③ 整理②式可得(m－9)2＋(n－9)2＝5，④ 联立③④，可得mn＝56， 所以mn－m－n＝56－15＝41.] 3．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队的平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为(　　) ①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏． A．0 B．3 C．2 D．1 B　[∵甲队平均数大于乙队的平均数，∴甲队的技术比乙队好， 又∵甲队的标准差大于乙队的标准差，∴乙队发挥比甲队稳定，甲队的表现时好时坏，故①②③都正确．] 4．已知组数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为5，则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数与方差s2分别为(　　) A．＝4，s2＝10 B．＝5，s2＝11 C．＝5，s2＝20 D．＝5，s2＝21 C　[根据题意，数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为5， 则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数＝2×2＋1＝5，其方差s2＝22×5＝20.] 5．已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且x＋x＋…＋x＝2 020，平均数＝11，则该组数据的标准差为________． 9　[一组样本数据x1，x2，…，x10，且x＋x＋…＋x＝2 020，平均数＝11， 则该组数据的方差为[(x1－11)2＋(x2－11)2＋…＋(x10－11)2] ＝[(x＋x＋…＋x)＋10×121－22(x1＋x2＋…＋x10)] ＝(2 020＋1 210－22×110)＝81，∴该组数据的标准差为9.] 6．已知总体的各个个体的值由小到大依次为3，7，a，b，12，20，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a＝________． 12　[由中位数为12可得＝12，所以a＋b＝24，所以总体的平均数为＝11，要使该总体的标准差最小，需要(a－11)2＋(b－11)2最小，而(a－11)2＋(b－11)2＝(a－11)2＋(24－a－11)2＝2(a－12)2＋2，所以当a＝12时总体的标准差最小．] 7．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则·s2＝________． 7　[∵某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4， ∴此时这8个数的平均数为＝(4×7＋4)＝4， 方差为s2＝(7×2＋02)＝，则·s2＝4×＝7.] 8．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ 解　由题意可知，甲＝60，甲队队员体重在所有队员中所占比例为＝，乙＝70，乙队队员体重在所有队员中所占比例为＝，则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68 kg，甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝×[200＋(60－68)2]＋×[300＋(70－68)2]＝296.所以甲、乙两队全部队员的平均体重是68 kg，方差是296.] 9．已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2，则(　　) A．＝5，s2>3 B．＝5，s2<3 C．>5，s2<3 D．>5，s2>3 B　[因为某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5， 此时这9个数的平均数为，方差为s2， 则＝＝5，s2＝＝<3，故选B.] 10．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则(　　) A．甲<乙，σ甲<σ乙 B．甲<乙，σ甲>σ乙 C．甲>乙，σ甲<σ乙 D．甲>乙，σ甲>σ乙 C　[由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知甲>乙，题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙．故选C.] 11．为了调查公司员工的健康状况，用分层抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数是________． 200　[由题意得＝60，s2＝602，男＝70，s男＝50，女＝50，s女＝60. 设男、女员工的权重分别为W男，W女， 由题意可知s2＝W男[s＋(男－)2]＋W女[s＋(女－)2]， 即W男[502＋(70－60)2]＋(1－W男)[602＋(50－60)2]＝602，解得W男＝，W女＝，因为样本中有20名男员工，所以所有样本中女员工的人数为200.] 12．把某校三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 组别 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 求全班学生的平均成绩和标准差． 解　设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1，2，…，20)， 第二组20名学生的成绩为yi(i＝1，2，…，20)， 依题意有＝(x1＋x2＋…＋x20)＝90， ＝(y1＋y2＋…＋y20)＝80， 故全班平均成绩为 (x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20) ＝(90×20＋80×20)＝85； 又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则 s＝(x＋x＋…＋x－202)， s＝(y＋y＋…＋y－202)(此处，＝90，＝80)， 又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为(＝85)，故有 s2＝(x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y－402) ＝(20s＋202＋20s＋202－402) ＝(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.即s＝. 所以全班学生的平均成绩为85分，标准差为. 学科网（北京）股份有限公司 $$