6.4.2 用样本估计总体的离散程度 课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学课件聚焦用样本估计总体的离散程度，涵盖极差、方差、标准差核心知识点。通过收入调查情景导入，承接集中趋势知识，先分析极差的直观性与局限性，再结合射击运动员成绩案例引出方差，最后以机床零件质量问题深化标准差应用，构建递进式知识支架。 其亮点在于以实际问题（射击选拔、机床调试）驱动探究，通过数据计算、散点图分析培养数学思维，分层抽样方差公式推导（从两层到k层）渗透逻辑推理，帮助学生用数学语言描述数据波动规律，教师可借助案例与练习提升教学针对性，学生能增强数据分析与实际应用能力。

用样本估计总体 的离散程度 ——极差、方差、标难差 课堂任务 创设情景 归纳探索 例题讲解 课堂练习 课后延伸 目 录 C0NTENTS 4 2 3 6 5 1 课前任务 课 堂 任 务 能用样本数据估计总体极差、方差和标准差. 能够结合实际问题与数据做出合理判断. 创设情景 例如，某地随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入(单位：元)为 1080,750,1080,1080,850,960,2000,1250,1630, 思考，通过已有知识我们可以从那几个角度来分析这一地区的收入情况? 集中趋势和离散程度 归纳探索 1.极差 在统计学中，我们将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最 小值之差称为极 差，也称全距，用R表示. 1.极差 由定义不难看出极差反映了一组数据变化的幅度，是描述数据离散程度的最简单的代表值。并且计算 简单直观。 但是极差也有不足之处，在于它容易受极端值的影响，由于极差只利用了一组数据两端的信息， 一旦 出现极端的异常值，则不能客观的反映中间数据的离散状况。 统计上，常采用方差来刻画一组数据波动的大小：若设y₁,y2,…,yn是总体的 全部个体，μ是总体均值，则称 归 纳 探 索 2.方差 2.方差 学校从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加市中学生运动会，甲、乙 两人参加测试的成绩(单位：环)如下： 甲：7,8,8,9,7,8,8,9,7,9 乙：6,8,7,7,8,9,10,7,9,9 教练员该如何选出合适选手? (1) (2) 图6.4-2 容易计算得到甲乙的成绩均值都为8.也就是集中趋势基本相同 但是，从两人的成绩散点图上不难发现甲的成绩基本都集中在均值8附近，相对而言乙的成绩则较为分散， 成绩波动较大 甲射击成绩/环 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 射 击 次 数 2.方差 10 9 7 6 5 归纳探索 2.方差 由于S甲<S 乙，可以估计甲的射击成绩比乙更稳定，故可推荐甲参加运动会。 3.标准差 标准差是方差的算术平方根. 如果α²是总体方差，则称σ= √ 是总体标准差； 如果s²是样本方差，则称 s=√2 是样本标准差. 给定数据X₁,X₂,…,Xn 和均值X. 由方差计算公式知道，样本标准差s 可以用下面 的公式计算： 归纳探索 3.标准差 方差充分利用所有数据，并且仅用一个数值来刻画一组数据的离散程度。但方差也有局限性， 如方差的单位是观测数据的单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与观测数据 相同的单位。为了解决这一局限性的方法就是引入标准差。 例题讲解 例7 一台机床生产一种直径为40 mm的零件，在正常生产时，零件的直径的标 准差不应超过0.1.如果超过0.1,则机床应检修调整. 下表是某日8:30—9:30及10:00—11:00两个时段中各随机抽取10个零件量出 的直径的数值(单位： mm): 8:30—9:30 40 39.8 40.1 40.2 39.8 40.1 40.2 40.2 39.8 39.8 10:00—11:00 40 40 39.9 40 39. 9 40.2 40 40.1 40 39.9 试判断在这两个时段内机床生产是否正常. 解 设8:30—9:30为甲时段，10:00—11:00为乙时段. 用计算器计算可得 x甲 = 4 0 ,x乙 = 4 0 . S甲 ≈ 0 . 1 7 3 , sz≈0.089. 从样本均值看，两个时段生产的零件尺寸差异性不大；从样本标准差看， S甲>0 . 1, S乙<0.1,甲这说明甲时段(8:00-9:30)机床生产不正常，而经过调试，机床在乙时 段(10:00-11:00)生产正常.生产的零件稳定程度高，且在质量控制范围内 例6 某校高一年级有男生180人，女生120人.某统计小组为调查本年级学生身 高情况，采取分层抽样的方法从总体中随机抽取样本，其中男生抽取18人，女 生抽取12人.将男生组看作样本A₁ ,计算出样本A₁ 的平均身高为173.5 cm,方差为 17;将女生组看作样本A₂ , 计算出样本A2的平均身高为164.0 cm, 方差为30.试根据 以上数据计算由A₁,A₂组成的样本A的方差，并估计总体方差. 解 设从男生中抽出的样本个体为y₁,y₂,…,y18, 均值记为y, 方差记为s²; 从女生中抽取的样本个体为z1,22, …,212, 均值记为z, 方差记为s2. 先计算总样本均值x: =169.7(cm); (z₁—x)²+(z₂—x)²+…+(z12—x)²] 例题讲解 =43.86. 课堂练习 1.某公司准备盖大楼，有两块土地可供征用，但两块土地都崎岖不平，需要 平整.现对每块土地确定房基基准高度，然后在两块土地上分别适当地另取10点， 用水平仪测得各点对基准的相对标高(单位： cm)如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 -45 76 47 -26 135 84 -61 -38 76 92 乙 74 120 100 -70 -44 95 63 -50 57 -25 问：哪一块土地较容易平整? 4.为研究男女学生在生活费支出(单位：元)上的差异，某中学在高一年级400名 学生(其中男生220人，女生180人)中随机抽取22名男生与18名女生，统计他们 的生活费支出，得到下面的结果： 男生：x₁=520,s²=250; 女生：x₂=500 ,s2=280; 试根据以上数据估计该校高一学生生活费支出的总体均值、总体方差 2.某电池厂有A,B两条生产线制造同一型号可充电电池.A,B生产线的产量比为 4:5.现采用分层抽样的方法从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测 量产品可充电次数的均值及方差，结果如下： 项 目 抽取成品数 样本均值 样本方差 A生产线产品 16 215 8 B生产线产品 20 212 13 试根据以上数据计算由36个产品组成的样本的方差，并估计总体方差. 返回目录 归纳探索 如果将总体分为两层，第一 、二层的样本量分别为n₁,n₂, 样本分别为x1,x₂, 样本方差分别为s2,s2, 则全部样本的样本容量、样本均值和方差分别为： n=n₁+n₂ 课后延伸 如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1,xXj₂,……,xj n;,第j层的样本容量为n;, 样本均值为x,,样本方差为s²,j=1,2,…,k. 记 请你试着推导出全部样本的均值和方差. 课后延伸 返回目录 课后延伸 解 ： 感谢观看 $