2.3.2 一元二次不等式的应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P207] 1．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为(　　) A．10件 B．15件 C．20件 D．30件 B　[由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋675可知，当x＝15时，y取最大值．] 2．某生产厂家生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的解析式为y＝x2－85x，若每件产品售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为(　　) A．35 B．45 C．55 D．65 C　[生产x件时，所获利润f(x)＝25x－y＝－x2＋110x＝－(x－55)2＋3 025. 所以当x＝55时，f(x)取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55.] 3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 C　[由条件知y－25x＝(3 000＋20x－0.1x2)－25x＝－0.1x2－5x＋3 000. 若生产者不亏本，则需－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0. ∴(x＋200)(x－150)≥0. 解得x≥150或x≤－200(舍去). ∴生产者不亏本时的最低产量为150台．] 4．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，要使这种商品日销售金额不小于500元，则t的最小值是______，最大值是______． 10　15　[日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)， 依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，即t2－25t＋150≤0， 解得不等式的解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．] 5．某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P(元/件)与月销售量x(件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x.若每月获得的利润y不少于1 300元，则该厂的月销售量x的取值范围为________． [20，45]　[由题意，得：y＝Px－R＝x(160－2x)－(500＋30x) ∴y＝－2x2＋130x－500，令y≥1 300，得－2x2＋130x－500≥1 300， ∴x2－65x＋900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，∴20≤x≤45.] 6．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任． 解　由题意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01x >12， S乙＝0.05x乙＋0.005x>10. 分别求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40. 由于x>0，所以x甲>30 km/h，x乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 7．国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策．现在某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R元(叫做税率为R%)，则每年产销量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？ 解　设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x×R%万元，并且x＝100－10R，由题意，得70(100－10R)R%≥112， 即R2－10R＋16≤0，解得2≤R≤8， ∴税率定在2%～8%(包括2%和8%)时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元． 8．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表所示： x/元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 解　设y＝ax＋b(a≠0)，则∴， ∴y＝200－x. 当每件的销售价为x元时，每件的销售利润为(x－120)元，每天的销售利润为S.则S＝(200－x)(x－120)＝－x2＋320x－24 000，120<x<200. ∴当x＝160时，Smax＝1 600元． 所以每件产品的销售价为160元，每天的销售利润最大，为1 600元． 9．甲厂以x kg/h的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100元． (1)要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围； (2)要使生产900 kg该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润． 解　(1)由已知得，200≥3 000， 整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0. 又因为1≤x≤10，可解得3≤x≤10， 所以要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3, 10]. (2)设利润为y元， 则y＝×100 ＝9×104＝9×104. 所以当x＝6时，ymax＝457 500元， 即甲厂以6 kg/h的生产速度生产900 kg该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元． 10．某小型机械厂有工人共100名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产x台机器，除工人工资外，还需投入成本为C(x)(万元)，C(x)＝且每台机器售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x的函数解析式； (2)问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？ 解　(1)依题意有L(x)＝50x－400－C(x)＝. (2)当0<x<70时，L(x)＝－x2＋40x－400＝－(x－60)2＋800， 此时x＝60时，L(x)取得最大值800万元； 当70≤x≤150时，L(x)＝1 050－≤1 050－2＝850， 当且仅当x＝时，即x＝100时，L(x)取得最大值850万元． 综上可知当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元． 11．某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a 千瓦时. 本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时． (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (2)设k＝0.2a，电价最低定为多少，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? 解　(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至千瓦时，电力部门的收益为 y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75). (2)依题意，有 整理，得解此不等式，得0.60≤x≤0.75. ∴电价最低定为0.60元/千瓦时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%. 12．某热带风暴中心B位于A市东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km. 问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 解　如图，以A市为原点，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系． ∵AB＝400，∠BAx＝30°， ∴热带风暴中心B的坐标为(200，－200)， 设x h后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处． 由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350， 即(200)2＋(40x－200)2≤3502， 整理得16x2－160x＋375≤0，解得3.75≤x≤6.25， A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5. 故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h． 学科网（北京）股份有限公司 $$