模块复习课(5) 三角函数（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P173] [对应学生用书P173] 有关三角函数的概念主要有以下两个方面 1．任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． 2．任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． [训练1]　函数y＝lg (2sin x－1)＋的定义域为________． 　[要使函数有意义，必须有即 解得(k∈Z) ∴＋2kπ≤x<＋2kπ(k∈Z). 故所求函数的定义域为 .] [训练2]　已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ的值． 解　因为r＝，cos θ＝， 所以x＝＝.又x≠0，所以x＝±1. 又y＝3>0，所以θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3； 当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3. 正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式是三角函数的化简与求值的主要依据．利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换． [训练3]　化简下列各式： (1)＋ ； (2)＋－tan 36°tan 54°. 解　(1)原式＝＋ ＝－＋＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1. (2)原式＝＋－tan 36°tan 54° ＝－＋1－tan 36° ＝－ ＝ ＝＝－＝－. 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质． [训练4]　(2021·全国卷甲)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f＝________． －　[由题意可得T＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2. 当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－π(k∈Z). 令k＝1，则φ＝－，故f(x)＝2cos ，f＝2cos ＝－2cos ＝－.] 三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)及y＝A tan (ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧． [训练5]　已知函数f(x)＝2sin ＋a＋1(其中a为常数)． (1)求f(x)的单调区间； (2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3)求f(x)取最大值时x的取值集合． 解　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)， 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， ∴－≤sin ≤1， ∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1. (3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z， ∴2x＝＋2kπ，k∈Z，∴x＝＋kπ，k∈Z， ∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是. 学科网（北京）股份有限公司 $$