模块复习课(4) 第3课时 函数应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

第三课时　函数应用 [对应学生用书P170] 　函数的零点及判断个数的方法 (1)方程的解与函数的零点之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断，二是判断区间(a, b)上是否有零点，可应用f(a)·f(b)与0的关系判断． [提醒]　函数的零点是一个实数而非一个点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标． [训练1]　设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内(　　) A．可能有3个解　　　　 B．可能有2个解 C．有唯一解 D．没有解 C　[由于f(x)＝x3＋bx＋c是[－1, 1]上的增函数，且f·f<0，所以f(x)在上有唯一零点，即方程f(x)＝0在[－1，1]内有唯一解．] [训练2]　(多选题)设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m可能等于(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 BCD　[在同一平面直角坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示． 可知方程解的个数为0，2，3或4，不可能有1个解．] 1．二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，转化为求函数的零点． (2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1). (3)利用二分法求函数的零点． (4)归纳结论． 2．使用二分法的注意事项 (1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小． (2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求． (3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a, b)内有不变号零点时，不能用二分法求得． [训练3]　若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，f(1.438)＝0.165. 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精确度为0.1)(　　) A．1.2 B．1.35 C．1.43 D．1.5 C　[因为f(1.375)·f(1.438)<0，且|1.438－1.375|＝0.063<0.1，所以可把区间(1.375，1.438)内任一值作为方程的近似解，符合题意的为1.43.] [训练4]　利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 x 2.2 2.6 3.0 3.4 … y＝2x 4.595 6.063 8.0 10.556 … y＝x2 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的(　　) A.(0.6，1.0) B．(1.4，1.8) C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0) C　[设f(x)＝2x－x2，由f(0.6)＝1.516－0.36>0，f(1.0)＝2.0－1.0>0，故排除A；由f(1.4)＝2.639－1.96>0，f(1.8)＝3.482－3.24>0，故排除B；由f(1.8)＝3.482－3.24>0，f(2.2)＝4.595－4.84<0，故可确定方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8，2.2)内．] 不同函数模型的选取标准 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律． [训练5]　每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？ 解　方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米). 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)， 因为15.386>15，所以方案二较好． [训练6]　甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区，捐款方式如下：甲公司：在10天内，每天捐款5万元给灾区；乙公司：在10天内，第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元；丙公司：在10天内，第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番． 你觉得哪个公司捐款最多？ 解　三个公司在10天内捐款情况如下表所示． 公司捐款数量/万元时间 甲 乙 丙 第1天 5 1 0.1 第2天 5 2 0.2 第3天 5 3 0.4 第4天 5 4 0.8 第5天 5 5 1.6 第6天 5 6 3.2 第7天 5 7 6.4 第8天 5 8 12.8 第9天 5 9 25.6 第10天 5 10 51.2 总计 50 55 102.3 由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元． 1．建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 (1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示． (2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解． 2．建模的三个原则 (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果． (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题． [训练7]　某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元. 小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时． (1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40). 试求f(x)和g(x). (2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？ 解　(1)f(x)＝5x，15≤x≤40， g(x)＝ (2)由f(x)＝g(x)得，或 即x＝18或x＝10(舍去). 当15≤x<18时，f(x)－g(x)＝5x－90<0，所以f(x)<g(x)，即选甲家； 当x＝18时，f(x)＝g(x)，既可以选甲家，也可以选乙家； 当18<x≤30时，f(x)－g(x)＝5x－90>0， 所以f(x)>g(x)，即选乙家； 当30<x≤40时，f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30>0，所以f(x)>g(x)，即选乙家． 综上所述，当15≤x<18时，选甲家；当x＝18时，可以选甲家，也可以选乙家；当18<x≤40时，选乙家． [训练8]　有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝x，Q2＝.今年有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？ 解　设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，则Q1＝x，Q2＝.所以y＝x＋(0≤x≤3). 令t＝(0≤t≤)，则x＝3－t2， 所以y＝(3－t2)＋t＝－(t－)2＋. 当t＝时，ymax＝＝1.05(万元)，这时x＝＝0.75(万元)，所以3－x＝2.25(万元). 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$