4.1.1 4.1.2 有理数指数幂&无理数指数幂（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

4．1　实数指数幂和幂函数 4．1.1　有理数指数幂 4．1.2　无理数指数幂 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式运算． 2.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化． 3.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值． 4.掌握有理数指数幂基本不等式，了解无理数指数幂的概念． 1.通过n次方根及根式的学习，达成数学抽象、数学运算的核心素养． 2.通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养． 3.通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养． [对应学生用书P61] 1．a的n次方根的定义 若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就说x是a的 n次方根． (1)当n是奇数时，数a的n次方根记作. (2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作. (3)式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫做根指数，a叫作被开方数． 2．根式的性质 (1)当n为奇数时，＝a； (2)当n为偶数时，＝|a|． 1．当a>0，m，n∈N且n≥2时，规定＝a ，＝a－. 2．如果规定0的正分数指数幂为0，0没有负分数指数幂，那么，在a>0时，对于任意有理数r，s仍有公式： aras＝ar＋s，＝ar－s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，＝(b≠0). 有理数指数幂的基本不等式 (1)对任意的正有理数r和正数a，若a>1，则ar>1，若a<1，则ar<1． 对任意的负有理数r和正数a，若a>1，则ar<1，若a<1则ar>1． (2)对任意的正数a>1和两有理数r＞s，有 ＝ar－s＞1，即ar＞as. 对任意的正数a＜1和两有理数r＞s，有 ＝ar－s＜1，即ar＜as. 1．无理数指数幂的概念 给定任意正数a，对任意无理数u, a的u次幂为au.在幂的表达式中，a叫作底数，u叫作指数． 2．幂运算基本不等式 (1)对任意的正实数u和正实数a，若a>1，则au>1，若a<1，则au<1. 对任意的负实数u和正实数a，若a>1，则au<1，若a<1则au>1. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)实数a的奇次方根只有一个．(√) (2)当a＞0时，am＋n＝aman.(√) (3)(－2)－2＝－.(×) (4)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(×) (5)若x3＝4，则x＝2.(√) (6)若b2＝53，则b叫作5的次幂．(√) 2．下列说法正确的个数是(　　) ①64的6次方根是2；②的运算结果是±2；③负数没有偶次方根． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 B　[64的6次方根是±2；＝2；③正确．] 3．(多选题)下列运算结果中，一定正确的是(　　) A．a3·a4＝a7 B．(－a2)3＝a6 C．＝a D．＝－π AD　[a3·a4＝a3＋4＝a7，故A正确； 当a＝1时，显然不成立，故B不正确； ＝|a|，故C不正确；＝－π，D正确．] 4．计算 ＝________． 8　[＝[(24)3]＝23＝8.] [对应学生用书P62] 计算或化简下列各式． (1) ＋ ＋； (2) ； (3) (x＜π，n∈N＋). 解　(1)原式＝－6＋|－4|＋－4＝－6＋4－＋－4＝－6. (2)原式＝|a－b|＝ (3)∵x＜π，∴x－π＜0. 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上可知，＝ [方法总结] 借题发挥 对于， 当n为奇数时，无需考虑a的正负，恒有＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 可见n的奇偶性对的值会产生影响，为避免出错，当n为偶数时，去掉根号后应先加绝对值，然后根据绝对值的意义去绝对值号，对此应注意理解，并能熟练应用． [训练1]　(1)若＝1－2a，则a的取值范围是________． 　[＝＝|2a－1|＝1－2a. ∴2a－1≤0，得a≤.] (2)化简＋. 解　原式＝＋＝＋＝＋＝2π. (1)将各式化为根式：①x－；②a；③xy－. (2)将各式化为分数指数幂：①；②；③. 解　(1)①x－＝＝ . ②a＝. ③xy－＝＝ . (2)①＝＝a－. ②＝x＝x2. ③＝＝ab－. [方法总结]　根式与分数指数幂互化的关键与技巧 (1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a＝，a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1). (2)技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．[训练2]　将下列根式化成分数指数幂的形式． (1)·； (2)； (3)·； (4)()2·. 解　(1)原式＝aa＝a； (2)原式＝aaa＝a； (3)原式＝aa＝a； (4)原式＝(a)2ab＝aab＝ab. 计算下列各式． (1)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0； (2) －＋＋[(0.064)－2.5]－π0； (3)(2ab)(－6ab)÷(－3ab). 解　(1)原式＝(－1)－×＋－＋1 ＝＋(500)－10×(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. (2)原式＝ (3)原式＝4a＋－b＋－＝4ab0＝4a. [方法总结]　先把根式化为分数指数幂，然后根据指数幂的运算性质进行计算．进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用． [训练3]　计算下列各式： (1)(a)－3÷ ； (2)＋＋＋4×. 解　(1)原式＝(ab)－3÷[b－4(a－2)] ＝(a－b－2)÷(b－2a－) ＝a－＋b－2＋2 ＝a－1b0＝； (2)原式＝(2－2)－2＋(6－)－＋(3＋2)2－4××6＝24＋6＋5＋2×6－3×6＝21. (1)已知10a＝2，10b＝3，求1002a－b的值； (2)已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，求3x＋2y的值； (3)已知a＋a－1＝3，求a2＋a－2的值． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求代数式的值． 第二步，精读题目挖已知条件：(1)10a＝2，10b＝3； (2)2x＝8y＋1，9y＝3x－9；(3)a＋a－1＝3. 第三步，建立联系寻解题思路：(1)利用1002a－b＝104a－2b求解；(2)先利用条件，求出x，y的值，再求解；(3)把a＋a－1当成整体求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)1002a－b＝(102)2a－b＝104a×10－2b＝(10a)4×(10b)－2＝24×3－2＝. (2)由2x＝8y＋1＝23y＋3，知x＝3y＋3.① 由9y＝3x－9，知2y＝x－9.② 将①②联立得解得 ∴3x＋2y＝21×3＋6×2＝75. (3)a－2＋a2＝(a－1＋a)2－2＝9－2＝7. [方法总结] (1)若ar＝as，则r＝s. (2)对于给值求值的问题，要先弄清已知与未知的联系，再采用“整体代换”或求值代换的方法求解． [训练4]　(1)已知x＋x－＝3，计算：； (2)已知x＋x－1＝3，求的值． 解　(1)因为x＋x－＝3，所以x＋x－1＝7.所以x2＋x－2＝47. 所以原式＝＝4. (2)因为＝x＋x－1＋2＝5， 所以x ＋x－＝.因为(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9. 所以x2＋x－2＝7.所以＝. [对应学生用书P65] 1．下列各式正确的是(　　) A．＝a　　　　　　　 B．a0＝1 C．＝－4 D．＝－π D　[对于A，＝a，当a为负数时等式不成立，故A不正确；对于B，a0＝1，当a＝0时无意义，故B不正确；对于C，＝－4，左边为正，右边为负，故C不正确；对于D，＝－π，故D正确．] 2．(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A．－＝(－x) B．＝y(y<0) C．x－＝(x≠0) D． CD　[对于选项A，因为－＝－x(x≥0)，而(－x)＝(x≤0)，即A错误；对于选项B，因为＝－y(y<0)，即B错误；对于选项C，x－＝(x≠0)，即C正确；对于选项D，[]＝x2××＝x(x>0)，即D正确．] 3．求值： ＝________． 　[ ＝|－|＝.] 4．计算下列各式的值： (1)；(2)49－. 解　(1)＝＝＝8； (2)49－＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$