3.1.3 简单的分段函数（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

3．1.3　简单的分段函数 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解分段函数的概念及表示方法． 2.掌握分段函数求函数值． 3.能画出分段函数的图象，并会应用分段函数解决问题． 1.通过对分段函数概念的理解及分段函数求函数值提升数学抽象、数学运算的核心素养． 2.通过对分段函数的图象的运用强化直观想象的核心素养． [对应学生用书P49] 1．分段函数 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． 2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几段曲线组成，在同一个直角坐标系中根据每段的定义区间和表达式一次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)分段函数由几个函数构成．(×) (2)函数f(x)＝是分段函数．(√) (3)y＝是分段函数．(×) (4)函数y＝的值域是[0，＋∞).(√) 2．设f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．3　　　　　　　　　　　 B．1 C．0 D．－1 A　[f(x)＝∴f(f(－1))＝f(1)＝1＋2＝3.] 3．已知函数y＝，则使函数值为5的x的值是(　　) A．－2或2 B．2或－ C．－2 D．2或－2或－ C　[当x≤0时，令y＝5，得x2＋1＝5，解得x＝－2； 当x>0时，令y＝5，得－2x＝5，解得x＝－，不合乎题意，舍去． 综上所述，x＝－2.] 4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________． f(x)＝　[当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，又过点(1，2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上f(x)＝] [对应学生用书P50] 已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(－)，f的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值． 解　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2. ∵f＝－＋1＝－，而－2<－<2， ∴f＝f＝＋2×＝－3＝－. (2)当a≤－2时，a＋1＝3， 即a＝2>－2，不符合题意，舍去． 当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，∴a＝1符合题意． 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. [方法总结] 1．求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． [训练1]　函数f(x)＝则f(7)＝________． 8　[∵函数f(x)＝ ∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.] 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 解　如图所示，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，又BC＝7 cm， 所以AD＝GH＝3 cm. (1)当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2； (2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝×2＝2x－2； (3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD­SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10. 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 y＝ 由解析式得函数的定义域为[0，2]∪(2，5]∪(5，7]＝[2，7]. 当x∈[0，2]时，y∈[0，2]；当x∈(2，5]时，y∈(2，8]；当x∈(5，7]时，y∈(8，10]. 所以函数的值域为[0，10]. [方法总结] 1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系． 2．分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏． 3．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养． [训练2]　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 解　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20]. 由题意得函数的解析式如下： y＝ 由解析式得函数的值域为{2，3，4，5}． 已知函数f(x)＝3|x－1|－2. (1)把函数f(x)写成分段的形式； (2)画出函数f(x)的图象； (3)观察f(x)的图象，它是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？ (4)如何由函数g(x)＝3|x|的图象得到f(x)＝3|x－1|－2的图象？ 解　(1)f(x)＝ (2)分段画函数图象： (3)f(x)的图象是轴对称图形，其对称轴为直线x＝1. (4)把函数y＝3|x|的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到函数y＝3|x－1|－2的图象． [方法总结]　作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． [训练3]　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x， ∴f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3). [对应学生用书P51] 1．设f(x)＝，且f(x)＝10，则x＝(　　) A．－3或3　　　　　　　B．5 C．－3 D．－3或5 D　[当x≤0时，f(x)＝x2＋1＝10，解得x＝±3， 所以x＝－3符合， 当x>0时，f(x)＝2x＝10，解得x＝5符合， 综上可知：x的值为－3或5.] 2．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________． f(x)＝　[由题图可知，图象是由两条线段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，则∴即f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x. 综上，f(x)＝] 3．已知f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． 解　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0，1]. 4．已知f(x)＝ (1)画出该函数的图象； (2)根据所画图象，写出函数的定义域，值域． 解　(1)该函数的图象为， (2)定义域为(－∞，0]∪(0，4]∪(4，＋∞)＝R，值域为(－∞，4]∪[－1，8]∪(－∞，－2)＝(－∞，8]. 学科网（北京）股份有限公司 $$