3.1.2 表示函数的方法（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

3．1.2　表示函数的方法 课程内容标准 学科素养凝练 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2.理解函数图象的作用． 1.通过具体实例定义出函数的三种表示方法，提升数学抽象的核心素养． 2.通过待定系数法、换元法发展抽象思维，提升逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P45] 1．解析式 把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式(也叫作函数表达式或函数关系式) 2．函数的表示法 表示法 定义 解析法 用解析式来表示函数的方法 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法 3.作函数图象的三个步骤→列表、描点、连线． 表示法 优点 缺点 解析法 简洁明了，便于计算函数值和推导函数的性质． 不够形象、直观，并且不是每一个函数都有解析式． 图象法 直观形象，能形象直观地表示变量的变化情况． 不够精确，只能近似地求出函数值，且有时误差较大． 列表法 具体易用，不用计算可直接看出与自变量对应的函数值． 不够全面，仅能表示自变量取较少的有限值时的函数值． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)所有函数都能用三种表示法表示．(×) (2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示．(√) (3)若函数f(x)是反比例函数，则f(1)＝1.(×) (4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰.(√) 2．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　　) A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1，0) 答案　C 3．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　) A．y＝　　B．y＝－x　　C．y＝　　D．y＝ C　[设y＝(k≠0)，由题意得1＝，解得k＝2，所以y＝.] 4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________． x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 答案　1 [对应学生用书P46] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示． (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． [方法总结]　列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意： ①解析法必须注明函数的定义域； ②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； ③图象法中要注意是否连线． [训练1]　(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) D　[结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0.] (2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于(　　) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A.1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．5 B　[由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2.] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2). 解　(1)列表： x 0 1 －2 3 y 0 －1 2 －3 函数图象只是四个点(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域为{0，－1，2，－3}． (2)列表： x 2 3 4 5 … y 1 … 当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]. (3)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分． 由图可得函数的值域为[－1，8). [方法总结]　描点法作函数图象的三个关注点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈． [训练2]　作出下列各函数的图象： (1)y＝1－x，x∈Z； (2)y＝2x2－4x－3，0≤x<3； 解　(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上， ∵x∈Z，从而y∈Z，这些点称为整点(如图(1)). (2)∵0≤x<3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一部分(如图(2)). 求下列函数的解析式： (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x). 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求f(x)的解析式． 第二步，精读题目挖已知条件：函数的类型、适用范围、表述形式． 第三步，建立联系寻解题思路：选用合适的求解方法求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)(待定系数法)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b， ∴k2x＋kb＋b＝16x－25. ∴解得或 ∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋. (2)换元法(或配凑法) 方法一(换元法)：令t＝＋1，得x＝(t－1)2，t≥1， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 因为＋1≥1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). (3)(方程组法) ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x　①， ∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x　②. ∴由②×2－①得3f(x)＝x2－6x.∴f(x)＝x2－2x. [方法总结]　熟练掌握换元法、配凑法、方程组法求函数解析式的格式和步骤是解答的关键． [训练3]　(1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式． 解　方法一(换元法)：设x＋1＝t， 则x＝t－1，f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2. 所以所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. 方法二(配凑法)：f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，所以所求函数的解析式为f(x)＝x2＋2x－2. (2)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x). 解　2f(x)＋f＝3x①，将①中x换成， 得2f＋f(x)＝②， ①×2－②得3f(x)＝6x－， 所以f(x)＝2x－(x≠0). [对应学生用书P48] 1．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝3x－1　　　　　　B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x＋2 D．f(x)＝3x＋4 A　[令x＋1＝t，则x＝t－1. ∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.] 2．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(－1)＋f(0)＋f(1)等于(　　) A．2 B．－2 C．0 D．1 C　[由图知f(－1)＝－1，f(0)＝0，f(1)＝1， 所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＝－1＋0＋1＝0.] 3．已知函数y＝f(x)用列表法表示如下表，则f(f(2))＝________． x 0 1 2 f(x) 2 0 1 0　[根据表格中的数据有f(2)＝1，所以f(f(2))＝f(1)＝0.] 4．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解　(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$