2.3.2 一元二次不等式的应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

2．3.2　一元二次不等式的应用 课程内容标准 学科素养凝练 　　会建立实际情况中的一元二次不等式模型，并会利用此模型解决实际问题． 　　通过一元二次不等式模型的应用，提升数学建模与数学运算的核心素养． [对应学生用书P39] 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价). (1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式； (3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 解　(1)因为y＝29－25－x， 所以y＝－x＋4(0≤x≤4). (2)z＝y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4). (3)由(2)知z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)，故当x＝1.5时，zmax＝50. 所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元． [方法总结]　解实际应用问题的方法步骤 [训练1]　某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30 m，则宽为________m时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是________m2. 5　75　 [设长方形的宽为x m. 则每个长方形的长为 m，其中0<x<10. 所求居室面积S＝x(30－3x)＝3(10x－x2) ＝－3(x－5)2＋75(0<x<10)， 当x＝5时，Smax＝75 m2， 故当宽为5 m时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为75 m2.] 某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：投入成本增加的比例x应在什么范围内． 第二步，精读题目挖已知条件：投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x. 第三步，建立联系寻解题思路：年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量，列出式子求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 当且仅当 即 解不等式，得0＜x＜，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜. [方法总结]　用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤 (1)理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． [训练2]　某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元，求x的取值范围． 解　(1)依题意y＝100×100. 又售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得x≤2， ∴y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2). (2)由题意得，20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得：8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤. 又x∈[0，2]，∴x的取值范围为. [对应学生用书P41] 1．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为(　　) A．11元　　　　　　　　　 B．16元 C．12元到16元之间 D．13元到15元之间 C　[设销售价定为每件x元，利润为y元， 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 由题意可得：(x－8)[100－10(x－10)]>320， 即x2－28x＋192<0，所以(x－12)(x－16)<0， 解得12<x<16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．] 2．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________． [3，5]　[设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元， 则y＝2 400××t%＝60(8t－t2). 令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.] 3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，求其边长x(单位：m)的取值范围． 解　设矩形高为y m，由三角形相似得＝，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30. 即其边长x的取值范围是[10，30]. 学科网（北京）股份有限公司 $$