2.1.2 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

2．1.2　基本不等式 课程内容标准 学科素养凝练 1.探索并了解基本不等式的证明过程． 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小． 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式． 1.通过基本不等式的推导，增强逻辑推理的核心素养． 2.通过基本不等式的简单应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养． [对应学生用书P27] 1．定理 对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立． 2．推论 对任意正数a，b，必有≥，当且仅当a＝b时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数．把不等式≥(a＞b＞0)称为基本不等式． 3．基本不等式的解释 几何角度：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立.(×) (2)≥ .(√) (3)若a>0，b>0，则ab≤恒成立．(×) 2．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋≤－2 C　[∵a2＞0，∴a2＋≥2(当且仅当a2＝1即a＝±1时等号成立)成立．] 3．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是(　　) A．(a＋b)2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C．(a－b)2≤4ab D．(a＋b)2>(a－b)2 C　[由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和．即有(a＋b)2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为(a－b)2，结合图形可知(a＋b)2>(a－b)2，且当a＝b时A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定．因此C选项错误.] 4．设a>0，b>0，给出下列不等式； ①a2＋1>a；②≥4； ③(a＋b)≥4； ④a2＋9>6a；⑤a2＋1＋>2. 其中恒成立的是________． ①②③⑤　[∵a2＋1≥2＝2a，且a>0，∴2a>a，∴①正确； ∵a＋≥2＝2，b＋≥2＝2， ∴≥4，当且仅当a＝1，b＝1时等号成立，故②正确； ∵(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故③正确； ∵a2＋9≥2＝6a，当且仅当a＝3时等号成立，故当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不正确； ∵a2＋1＋≥2＝2， 当且仅当a＝0时等号成立，又a>0，所以等号不成立，故⑤正确．] [对应学生用书P28] (多选题)下列式子中正确的是(　　) A．a2＋1＞2a　　　　　 B．≥2 C．≥2 D．x2＋≥1 BD　[对于A，∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，A不正确．对于B，当x＞0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时等号成立)；当x＜0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时等号成立).∴B正确．对于C，当a＝b＝－1时，＝－2＜2，∴C不正确．对于D，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时等号成立)，∴D正确．] [方法总结]　对于基本不等式背景下的不等式恒成立问题，要判断不等式是否成立，关键是要把握运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件． [训练]　若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号) ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2. ①③　[对于①，∵ab≤＝1，∴①成立． 对于②，∵(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2>2， ∴＋>.∴②不成立． 对于③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab，由①知ab≤1， ∴2ab≤2.∴－2ab≥－2，即4－2ab≥2.∴③成立．] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9. 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：结合条件a＋b＝1将不等式左边进行适当变形． 第二步，精读题目挖已知条件：a>0，b>0，所以>0，>0. 第三步，建立联系寻解题思路：利用基本不等式进行证明． 第四步，书写过程养规范习惯． 证明　证法一　∵a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋. ∴ ＝＝4＋1＋2≥5＋4＝9， 当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立． 证法二　∵ ＝1＋＋＋＝1＋＋， 又a＋b＝1，∴＝1＋. 又ab≤＝， ∴≥4，1＋≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立). [变式1]　将例题中的条件由“a>0，b>0，a＋b＝1”改为“a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1”. 求证：＋＋≥9. 证明　＋＋ ＝＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． [变式2]　将例题中的条件由“a>0，b>0，a＋b＝1”改为“a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1”． 求证：≥8. 证明　 ∵a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥(当且仅当b＝c时等号成立). 同理－1≥(当且仅当a＝c时等号成立)，－1≥(当且仅当a＝b时等号成立). 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 ≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． [方法总结]　利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用． (3)特别提醒：在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性． [对应学生用书P29] 1．(多选题)当a，b∈R时，下列不等关系中不成立的是(　　) A．≥　　　　　　　 B．a－b≥2 C．a2＋b2≥2ab D．a2－b2≥2ab ABD　[根据≥ab，≥成立的条件判断，知选项ABD错误，只有选项C正确．] 2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－b<0 B．0<<1 C．< D．ab>a＋b C　[∵a>b>0，∴>.] 3．若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A．　　　B．a2＋b2 C．2ab　　　D．a B　[a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2＝. ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，∴a2＋b2>2ab. ∵0<a<b且a＋b＝1， ∴a<. ∴a2＋b2最大．] 4．已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 证明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$