1.2.2 充分条件和必要条件（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

1．2.2　充分条件和必要条件 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 　　通过对充分条件与必要条件的学习与运用，强化逻辑推理、数学抽象的核心素养． [对应学生用书P15] 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p⇒q p/⇒q p⇔q 条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 p是q的充分必要条件，简称充要条件 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)已知p⇒q，则“若p，则q”是真命题．(√) (2)已知p⇒q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q．(√) (3)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”，但即使q成立，p也未必会成立．(√) (4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(√) (5)若p是q的充要条件，则q成立当且仅当p成立．(√) (6)若p/⇒q和q/⇒p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(√) 2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件　　　　　　　 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 答案　A 3．使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4　　　B．x>0 C．x>2　　　D．x<2 A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.] 4．下列各题中，p是q的充要条件的为________．(填序号) ①p：x>0，y>0，q：xy>0； ②p：a>b，q：a＋c>b＋c. ②　[在①中，p⇒q，q/⇒p，所以①中p不是q的充要条件，在②中，p⇔q，所以②中p是q的充要条件．] [对应学生用书P16] 探究一　用充分条件、必要条件的语言描述命题 (1)将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述： ①平行四边形的对角线互相平分； ②菱形的对角线互相平分且垂直． 解　①“平行四边形的对角线互相平分”可表述为“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分”，所以“对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件； ②“菱形的对角线互相平分且垂直”可表述为“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相平分且垂直”，所以“对角线互相平分且垂直”是“四边形是菱形”的必要条件． (2)用充分条件的语言表述下面的命题： ①若两个三角形全等，则它们的面积相等； ②若点C是线段AB垂直平分线上的点，则AC＝BC. 解　①“两个三角形全等”是“它们的面积相等”的充分条件； ②“点C是线段AB垂直平分线上的点”是“AC＝BC”的充分条件． [方法总结]　解答此类问题的关键是弄清性质定理和判定定理中条件和结论的关系. 事实上，判定定理给出了结论成立的充分条件，而性质定理给出了结论成立的必要条件． [训练1]　用充分条件或必要条件的语言表述下面的命题： (1)若a>b，则a＋c>b＋c； (2)若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等； (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 解　(1)“a>b”是“a＋c>b＋c”的充分条件；“a＋c>b＋c”是“a>b”的必要条件． (2)“两个三角形的对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件；“这两个三角形全等”是“两个三角形的对应角相等”的充分条件． (3)“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可表述为“若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形”，所以“四边形的两组对边分别平行”是“这个四边形是平行四边形”的充分条件；“这个四边形是平行四边形”是“四边形的两组对边分别平行”的必要条件． 在下列各题中，判断p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除． (2)p：x>1，q：x2>1. (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形． (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 解　(1)∵p⇒q，q/⇒p，∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q/⇒p，∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p/⇒q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p/⇒q. 当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.，∴p是q的必要不充分条件． [方法总结]　充要条件的判断方法 (1)定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论． (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题． (3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度． [训练2]　下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：x为自然数，q：x为整数； (2)p：x>3，q：x>5； (3)p：a＝0，q：ab＝0； (4)p：四边形的一组对边相等，q：四边形为平行四边形； (5)p：四边形的对角线互相垂直，q：四边形为菱形． 解　(1)x为自然数，则x一定为整数，即p可以推出q，反过来，x为整数，则x不一定是自然数，例如x＝－1，即q不能推出p，故p是q的充分不必要条件； (2)x>3则x>5不一定成立，例如x＝4，即p不能推出q，反过来，x>5则x>3一定成立，即q可以推出p，故p是q的必要不充分条件； (3)a＝0则ab＝0一定成立，即p可以推出q，反过来，ab＝0则a＝0不一定成立，例如b＝0，a＝3，即q不能推出p，故p是q的充分不必要条件； (4)一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，反过来，平行四边形的一组对边相等成立，即p不能推出q，q可以推出p，故p是q的必要不充分条件； (5)对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，有可能为等腰梯形，反过来，菱形的对角线一定互相垂直，即p不能推出q，q可以推出p，故p是q的必要不充分条件． 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求实数m的取值范围． 第二步，精读题目挖已知条件：p是q的必要不充分条件． 第三步，建立联系寻解题思路：转化为p与q分别相对应的集合间的关系求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)， p是q的必要不充分条件， 所以{x|－2≤x≤10}{x|1－m≤x≤1＋m}． 所以或 解得m≤3.又m＞0， 所以实数m的取值范围为(0，3]. [变式]　将本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)， p是q的充分不必要条件， 所以{x|－2≤x≤10}{x|1－m≤x≤1＋m}． 所以或 解得m≥9， 所以实数m的取值范围是[9，＋∞). [方法总结]　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的包含关系，然后建立满足条件的有关参数的不等式(组)，再进行求解 求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实数根的充要条件． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求方程的充要条件． 第二步，精读题目挖已知条件：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实数根． 第三步，建立联系寻解题思路：分a＝0，a<0和a>0三种情况讨论． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　当a＝0时，方程为2x＋1＝0，∴x＝－.∴有一个负实数根． 当a<0时，∵Δ＝4－4a>0，且x1x2＝<0，x1＋x2＝－>0，∴有一个正实数根和一个负实数根． 当a>0时，得0<a≤1. 综上，a≤1，即方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实数根的充要条件是a≤1. [方法总结]　充要条件是一种等价转化，解决问题的关键是找清原问题的充要条件． [训练3]　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0　　　　　　　　 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 D　[若a2＋b2>0，则a，b不同时为零；若a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.] (2)“函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点”的充要条件是________． a<－1　[函数的图象与x轴没有交点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数的图象与x轴无交点．故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1.] [对应学生用书P18] 1．“x＝2”是“(x－2)(x＋6)＝0”的(　　) A．充分条件　　　　　　　　B．必要条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 A　[“x＝2”是“(x－2)(x＋6)＝0”的充分条件，反之不成立．] 2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件 A　[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．] 3．若“x＜m”是“x＞2或x＜1”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________． (－∞，1]　[由题意得{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，如图所示， 由图可得m≤1.] 4．设集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，则“A∪B＝R”是“a＝1”的什么条件？ 解　∵集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}， ∴当A∪B＝R时，a≤1. ∵a≤1不一定得到a＝1，当a＝1时一定可以得到a≤1, ∴“A∪B＝R”是“a＝1”的必要不充分条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$