1.1.2 子集和补集（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

1．1.2　子集和补集 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解子集、真子集、空集的概念． 2.能用符号和Venn图表示集合间的关系． 3.在具体情境中，了解全集的含义． 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 　　通过对子集，补集的学习，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P5] 一、子集 1．子集 (1)如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A.记作A⊆B(或B⊇A).读作“A包含于B”，(或“B包含A”). (2)若A包含于B，则称A是B的一个子集． 2．子集的性质 (1)每个集合都是它自己的子集． (2)空集合包含于任一集合，是任一集合的子集． 3．集合相等 如果A⊆B并且B⊆A就说两个集合相等，记作A＝B． 4．真子集 如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作AB，读作A真包含于B. 5．如图，大圆和小圆分别表示两个集合，小圆画在大圆里，表示前者是后者的真子集．这类表示集合间关系的示意图叫作韦恩图(即Venn图). 1．全集 如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定把集合U叫作全集(或基本集). 2．补集 若A是全集U的子集，U中所有不属于A的元素组成的集合叫作A的补集，记作∁UA. 即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，其韦恩图．表示如图 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)任何一个集合都有子集．(√) (2)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.(√) (3)空集是任何集合的真子集．(×) 2．(多选题)下列关系中正确的是(　　) A．1∈{0，1，2}　　　　　　　 B．{1}∈{0，1，2} C．{0，1，2}⊆{0，1，2} D．{0，1，2}＝{2，0，1} ACD　[选项B应该改为{1}{0，1，2}才正确．] 3．已知全集I＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，则∁IA＝(　　) A．{1，3，5} B．{2} C．{4} D．{2，4} D　[∁IA＝{2，4}．] 4．设a∈R，若集合{2, 9}＝{1－a, 9}，则a＝________． －1　[因为1－a＝2，所以a＝－1.] 5．集合A＝{0，1，2}的真子集个数是________． 7　[集合A＝{0，1，2}的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，共7个．] [对应学生用书P6] 探究一　集合间的包含关系 判断下列每组中两个集合的关系： (1)A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1<x<2}； (2)A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}； (3)A＝，B＝； (4)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}． 解　(1)将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA. (2)∵A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R， ∴AB. (3)在集合A中，x＝k＋＝，k∈Z. ∵当k∈Z时，2k＋1是奇数，∴集合A中的元素是所有的奇数除以2所得的数． 在集合B中，x＝2k＋＝，k∈Z. ∵当k∈Z时，4k＋1只表示了部分奇数，∴BA. (4)∵n∈Z，∴n＋1∈Z.∴B表示偶数集． ∵A也表示偶数集，∴A＝B. [方法总结]　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． [提醒]　若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系． [训练1]　判断下列每组中的两个集合的关系： (1)A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜1}； (2)A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{y|y＝4k±1，k∈Z}． 解　(1)将集合A与集合B在数轴上表示出来，如图所示，所以有BA. (2)当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1；当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1. 所以A＝B. 已知集合M＝{x|x＜2，且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2，且x∈Z}． (1)写出集合M的子集、真子集； (2)求集合N的子集个数、非空真子集个数． 解　M＝{x|x＜2，且x∈N}＝{0，1}，N＝{x|－2＜x＜2，且x∈Z}＝{－1，0，1}． (1)M的子集：∅，{0}，{1}，{0，1}；M的真子集：∅，{0}，{1}． (2)N的子集：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}．∴N的子集有23＝8(个)，N的非空真子集有23－2＝6(个). [方法总结]　求集合子集、真子集个数的三个步骤 [训练2]　已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 解　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， ∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． ∴A的子集：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}； A的真子集：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}． 设I＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，求∁IA、∁IB. 解　法一：在集合I中，∵x∈Z， 则x的值为－5，－4，－3，3，4，5， ∴I＝{－5，－4，－3，3，4，5}． 又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}， ∴∁IA＝{－5，－4，3，4}，∁IB＝{－5，－4，5}． 法二：可用Venn图表示 则∁IA＝{－5，－4，3，4}，∁IB＝{－5，－4，5}． [方法总结]　根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解． [训练3]　设全集U＝{x|x>－6}，A＝{x|0≤x≤6}，则∁UA等于(　　) A．{x|x<0或x>6}　　B．{x|－6<x<0或x>6} C．{x|0<x<6} D．{x|x≤0或x≥6} B　[由补集的定义，得∁UA＝{x|－6<x<0或x>6}．] 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求实数a的取值范围． 第二步，精读题目挖已知条件：已知两个集合A，B，且B⊆A. 第三步，建立联系寻解题思路：由B⊆A可知，集合B有可能是空集，需要分类讨论；当集合B不是空集时，利用数轴表达集合之间的包含关系，列不等式组． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或 解得a<－4或2<a≤3. 综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞). [训练4]　把本例改成：已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A⊆B，求实数a的取值范围． 解　∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}， A⊆B，如图， ∴解得－1≤a≤－. ∴实数a的取值范围为. [方法总结]　由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形； ②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． (2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答 [对应学生用书P8] 1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝[2，＋∞)，则下列结论中正确的是(　　) A．－3∈A　　　　　　　　 B．3∉B C．B⊆A D．A⊆B C 　[集合A＝{y|y≥－1}＝[－1，＋∞)，B＝[2，＋∞)， 所以B⊆A.] 2．集合{a，b}的子集有(　　) A．1个　　 　B．2个 C．3个　　 　D．4个 D　[当子集不含元素时，即为∅；当子集中含有一个元素时，其子集为{a}，{b}；当子集中含有两个元素时，其子集为{a，b}．所以子集有4个．] 3．已知全集I＝{x|－3<x≤3}，集合A＝{x|0≤x≤1}，集合B＝{x|－3<x<0}，则∁IA＝________，∁IB＝________． 答案　{x|－3<x<0或1<x≤3}　{x|0≤x≤3} 4．已知集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值范围． 解　因为A＝{x|x<－1或x>2}， B＝{x|4x＋a<0}＝{x|x<－}，B⊆A， 所以－≤－1，即a≥4. 所以实数a的取值范围是[4，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$