专题03 幂、指数与对数（考点清单+知识导图+ 8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

清单03 幂、指数与对数 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【清单02】分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【清单03】指数幂运算 ①（，） ②（，） ③（，） 【清单04】对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 【清单05】指数式与对数式的相互转化 当且， 【清单06】对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 【清单07】对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【清单08】对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【考点题型一】根式的化简求值 【例1】（24-25高一上·天津）化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的化简、求值、根式的化简求值 【分析】根据分数指数幂化简即可. 【详解】=,选C. 【点睛】本题考查分数指数幂运算,考查基本求解能力,属基础题. 【变式1-1】（2024高一·上海·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围. 【答案】[-3，3] 【知识点】根式的化简求值 【分析】由成立，即可得出，解得即可． 【详解】， 要使|成立， 需解得a∈[-3，3]． 【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【变式1-2】.（2024高一·上海·专题练习）化简： 【答案】a-2 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质进行运算即可． 【详解】依题意得a-1≥0，即a≥1. 所以原式=a-1+|1-a|+（-a）=a-1-1+a-a=a-2． 【点睛】本题考查了根式的性质，熟知根式的性质是解题的关键． 【考点题型二】指数幂的运算 【例2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【答案】 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】. 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】根据指数幂的运算法则计算化简即可. 【详解】, 故答案为： 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 【答案】a 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】根据根式与指数幂的互化与指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】因为， 故答案为：. 【考点题型三】分数指数幂与根式的互化 【例3】（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用指数幂的运算法则，结合根式与指数幂的转化即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】将根式用指数幂表示，再利用指数幂的运算法则即得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式3-2】（2024高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】将根式转化为分数指数幂结合指数的运算性质逐一计算即可. 【详解】（1）原式=. （2）原式=. （3）原式=. （4）原式=. （5）原式=. （6）原式====. 【考点题型四】指数幂的化简求值 【例4】（2024高一·上海·专题练习）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 【答案】(1)；(2)100；(3)3；(4)；(5). 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用根式与分数指数幂的互化，根式的性质，指数幂的运算性质计算求值. 【详解】(1)原式. (2)原式. (3)原式. (4)原式. (5)原式. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据立方和公式及完全平方公式化简求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一上·广东广州）化简下列各式 （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式. 【考点题型五】指数式与对数式互化 【例5】（24-25高一上·上海杨浦）设，满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值 【解析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值. 【详解】，令， 则 ， ， 当且仅当时等号成立. 故答案为:. 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题. 【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）方程的解是 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、简单的对数方程 【分析】利用对数式与指数式互化解题，． 【详解】且，且 ，即 解得（舍）， 即方程的解是3. 【点睛】解简单对数不等式，要善于运用对数式指数式互化． 【变式5-2】（23-24高一·江苏·假期作业）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】（1）根据指数式与对数式的关系化简可得； （2）根据指数式与对数式的关系化简可得； （3）根据对数式与指数式的关系化简可得； （4）根据对数式与指数式的关系化简可得. 【详解】（1）由，可得； （2）由，可得； （3）由，可得； （4）由，可得. 【考点题型六】对数的运算 【例6】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)32 (2) (3)16 【知识点】简单的对数方程、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】（1）（2）（3）根据对数式和指数式的互换，对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以 （2），所以. （3）因为，所以，即，所以. 【变式6-1】（24-25高三上·上海·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】由对数的运算性质可知，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)320 (2)6 (3)3 【知识点】对数的运算 【分析】由指数和对数运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 【考点题型七】对数运算性质与应用 【例7】（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、对数的运算性质的应用 【分析】，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 【变式7-1】（24-25高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【详解】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 【变式7-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 【考点题型八】换底公式 【例8】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 （结果用、表示）. 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】根据给定条件用常用对数表示，再利用换底公式及对数运算法则计算作答. 【详解】由，则， 又， 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 (用表示) 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】利用对数的换底公式及运算法则计算化简即可. 【详解】， 因为，代入上式，化为. 故答案为：. 【变式8-2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，则 . 【答案】2 【知识点】运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】利用对数式和指数式之间的转化和换底公式求解即可, 【详解】， ， ， 则. 故答案为：2 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【详解】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C 2．（24-25高一上·上海徐汇）（且），则的值为（    ） A． B．4 C．1 D．或1 【答案】A 【知识点】对数的运算 【分析】化简原式得，即，解出此式即可. 【详解】化为 可得，，或（舍去）. 故选:A. 3．（24-25高二上·黑龙江大庆）设，，都是正数，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】令，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公式及对数的运算法则计算可得. 【详解】解：由，，都是正数，令，则，，， 所以，，， 对于A：，故A错误； 对于B：，， 所以，故B正确； 对于C：， 所以，故C错误； 对于D：， 所以，故D错误； 故选：B． 4．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知且，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】令，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得，即得. 【详解】令， 则，，又， ∴，即， ∴. 故选：C. 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·期中）若实数，且，则 . 【答案】1 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式及对数式与指数式的转化即可得解. 【详解】因为，所以， 由， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以， 故答案为：1 6．（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 . 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】先由韦达定理得，然后化简求解即可. 【详解】由韦达定理可知 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列式子中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】④ 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】直接利用对数的运算以及对数真数大于零分别判断即可. 【详解】对于①，当为负数时没有意义，不成立，错误； 对于②，时，左边等于1，右边等于2，等式不成立，错误； 对于③，当为负数时没有意义，不成立，错误； 对于④，时，成立，正确. 故答案为：④. 8．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 【答案】/ 【知识点】运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合求出，即可得解. 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，，则 （用，表示） 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】先得到，利用换底公式、对数运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， ， 所以. 故答案为： 10．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，，则 .（用、表示） 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数运算的法则和换底公式求解即可. 【详解】因为，则，又， 所以. 故答案为： 11．（23-24高三上·上海闵行·期中）十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 【答案】2 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用指数与对数的关系、对数的运算性质、换底公式运算即可得解. 【详解】解：由题意，，时，， ∴，， ∴ . 故答案为：2. 12．（2024高一·上海·专题练习）正数 满足，则的值为 ． 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】利用对数的运算法则即可得解. 【详解】令， 则，，， 所以， 故答案为：． 13．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知，，当变化时，最小值为4，则 . 【答案】2 【知识点】运用换底公式化简计算、基本（均值）不等式的应用 【分析】利用换底公式结合基本不等式确定的最小值表达式，结合题意可得方程，即可求得答案. 【详解】由题意得，， ，当且仅当即时取等号， ∴，此时，适合题意， 故答案为：2 14．（23-24高一上·全国·课后作业），则的值为 ． 【答案】 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据真数大于零可求得的取值范围，再由解方程即可求得结果. 【详解】因为， 所以可得，即， 两边同时除以得，即 解得或（舍）； 所以 故答案为： 15．（2024·广东茂名）已知实数a，b满足，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、判别式法求最值 【分析】先判断出，且.令，利用判别式法求出的最小值. 【详解】因为实数a，b满足， 所以，且. 令，则，所以， 代入，则有， 所以关于b的一元二次方程有正根， 只需，解得：. 此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得. 综上所述：. 即的最小值是（此时，解得：）. 故答案为：. 三、解答题 16．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】对数的运算性质的应用、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用对数的运算性质，结合根式与指数幂的互化即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5） . 17．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】（1）借助对数运算可得，，结合对数的运算法则即可用a、b表示； （2）左右同取以为底的对数后结合对数的运算法则计算即可得. 【详解】（1）由，，则，， 则； （2）易得且，由，则， 即，即，即， 则. 18．（2024高一上·上海·专题练习）求值： 【答案】2 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据对数的运算性质计算. 【详解】 . 19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 【答案】（1）1; （2） 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）先把已知式子平方得出，再结合对数运算律求解即可； （2）先应用换底公式，再结合对数运算律即可表示. 【详解】（1）, . （2） . 20．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【答案】（1）；（2）或；（3）（4） 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】利用对数运算的法则和换底公式求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以； （2） ， 设则 则即或 即或 或. （3），则. ，， 则 （4）， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 幂、指数与对数 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【清单02】分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【清单03】指数幂运算 ①（，） ②（，） ③（，） 【清单04】对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 【清单05】指数式与对数式的相互转化 当且， 【清单06】对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 【清单07】对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【清单08】对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【考点题型一】根式的化简求值 【例1】（24-25高一上·天津）化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 【变式1-1】（2024高一·上海·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围. 【变式1-2】.（2024高一·上海·专题练习）化简： 【考点题型二】指数幂的运算 【例2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 【考点题型三】分数指数幂与根式的互化 【例3】（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3-2】（2024高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【考点题型四】指数幂的化简求值 【例4】（2024高一·上海·专题练习）计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【变式4-2】（24-25高一上·广东广州）化简下列各式 （1） （2） 【考点题型五】指数式与对数式互化 【例5】（24-25高一上·上海杨浦）设，满足，则的最小值为 . 【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）方程的解是 . 【变式5-2】（23-24高一·江苏·假期作业）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)； (2)； (3)； (4). 【考点题型六】对数的运算 【例6】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3). 【变式6-1】（24-25高三上·上海·期中）已知，则的最小值为 . 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【考点题型七】对数运算性质与应用 【例7】（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最小值为 . 【变式7-1】（24-25高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【变式7-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 【考点题型八】换底公式 【例8】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 （结果用、表示）. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 (用表示) 【变式8-2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，则 . 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 2．（24-25高一上·上海徐汇）（且），则的值为（    ） A． B．4 C．1 D．或1 3．（24-25高二上·黑龙江大庆）设，，都是正数，且，那么（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知且，则a的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·期中）若实数，且，则 . 6．（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 . 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列式子中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 8．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 9．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，，则 （用，表示） 10．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，，则 .（用、表示） 11．（23-24高三上·上海闵行·期中）十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ． 12．（2024高一·上海·专题练习）正数 满足，则的值为 ． 13．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知，，当变化时，最小值为4，则 . 14．（23-24高一上·全国·课后作业），则的值为 ． 15．（2024·广东茂名）已知实数a，b满足，则的最小值是 . 三、解答题 16．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 17．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 18．（2024高一上·上海·专题练习）求值： 19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 20．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$