专题02 等式与不等式（考点清单+知识导图+ 21个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

清单02 等式与不等式 （21个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 【清单02】一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【清单03】四个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【清单04】分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【清单05】绝对值不等式的解法 【清单06】基本不等式 1、基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） （注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱） 2、三角不等式定理：对任意的实数，有，且等号当且仅当时成立. 【考点题型一】等式的性质与方程的解 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ．（填序号） ①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故； ②解方程时，对比方程两边知，，故； ③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根． 【变式1-1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【变式1-2】（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 【变式1-3】（24-25高一上·上海·假期作业）设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，且，那么； (2)如果，且，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么，其中是正整数； (5)如果，那么； (6)如果，那么. 【考点题型二】解不含参数的一元一次不等式 【例2】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 【变式2-1】（24-25高一上·上海杨浦）已知的解集为，则不等式的解集为 . 【变式2-2】（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 【考点题型三】解含参数的一元一次不等式 【例3】（24-25高一上·上海杨浦）设，已知关于的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·上海徐汇）不等式的解为 ． 【变式3-2】（2024高一·上海·专题练习）解下列关于x的不等式： （1）ax+4<2x+a2，其中a>2； （2）mx+1>x+m3，其中m<1. 【考点题型四】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【例4】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）若是方程的两个根，则(    ) A． B．2 C．4 D．8 【变式4-2】（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 【变式4-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的一元二次方程. （1）证明：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的两个实数根，满足，求实数的值. 【考点题型五】作差法比较大小 【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 【变式5-1】（2024高一·上海·专题练习）比较下列各组中两数的大小： (1)已知为正数，且，比较与的大小； (2)已知，比较与的大小； (3)已知均为正数，设，，比较和的大小. 【变式5-2】（24-25高三·全国·）设实数，，满足①，②，试确定，，的大小关系． 【考点题型六】利用不等式求值或取值范围 【例6】（2024高三·全国·专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？ 【变式6-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若实数x、y满足，，则的取值范围是 ． 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【考点题型七】一元一次不等式 【例7】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 【变式7-1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）若不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 【变式7-2】（23-24高一·上海·课堂例题）设，解关于的不等式：． 【考点题型八】一元二次不等式的解（不含参） 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式8-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 【考点题型九】一元二次不等式的解（含参） 【例9-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的方程的解集； (3)当时，求不等式的解集. 【例9-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）求关于的不等式的解集：. 【变式9-1】（23-24高一·上海·课堂例题）求不等式的所有正整数解． 【变式9-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为-1和2，且该二次函数图像过点. (1)求二次函数的表达式; (2)已知，解关于的不等式. 【变式9-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围； （2）已知，解不等式． 【考点题型十】由一元二次不等式的解确定参数 【例10】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【变式10-1】（24-25高一上·上海·期中）已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【变式10-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）若不等式的解集是，则不等式的解集为 ． 【变式10-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的解集为 ． 【考点题型十一】一元二次方程的实根分布问题 【例11】（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【变式11-1】（24-25高二·全国）关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是 ． 【变式11-2】（2024高一·上海·专题练习）已知关于的方程，求： (1)方程有两个不同正根的充要条件； (2)方程至少有一正根的充要条件． 【变式11-3】（24-25高一上·上海宝山）已知关于的一元二次方程， (1)若，求证：； (2)若时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围. 【考点题型十二】分式不等式 【例12】（24-25高三上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 【变式12-1】（24-25高三上·上海·期中）不等式的解集为 . 【变式12-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为 【考点题型十三】绝对值不等式 【例13】（24-25高一上·上海·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高一上·上海·期中）若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式13-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）把不等式的解集用区间表示： . 【变式13-3】（24-25高三上·上海·期中）设，不等式的解集为 ． 【考点题型十四】不等式恒（能）成立问题 【例14】（24-25高二上·安徽阜阳）设，若恒成立，则k的最大值为 . 【变式14-1】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）若，，且，则恒成立的实数的取值范围是 ． 【变式14-2】（24-25高一上·湖南株洲）设函数. (1)解关于x的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 【考点题型十五】利用基本不等式求最值 【例15】（24-25高一上·上海徐汇）已知正实数满足， (1)求的最大值，并求取得最大值时的值； (2)求的最小值，并求取得最小值时的值． 【变式15-1】（24-25高一上·上海·课后作业）若，则的最大值是 【变式15-2】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）求下列最值： （1）当时，求函数的最大值； （2）设求函数的最大值. 【考点题型十六】基本不等式（凑项（系数）） 【例16】（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【变式16-1】（23-24高三下·上海·阶段练习）对于正实数，代数式的最小值为 ． 【变式16-2】.（23-24高一上·上海浦东新·期中）设实数，当代数式取最大值时，的值为 ． 【考点题型十七】基本不等式（常数代换法） 【例17】（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 【变式17-1】.（24-25高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 【变式17-2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知，且，则的最小值为 . 【考点题型十八】基本不等式（二次与二次（或一次）商式） 【例18】（2024·天津河西·模拟预测）函数的最小值为 . 【变式18-1】（24-25高二上·云南昆明·期末）函数的值域是 . 【变式18-2】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. 【考点题型十九】条件等式求最值 【例19】（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【变式19-1】（24-25高一上·山东·期中）已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【变式19-2】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）若都是正数，且，则的最小值为 ． 【变式19-4】（2023·广西南宁·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 【考点题型二十】基本不等式的实际应用 【例20】（24-25高一上·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 【变式20-1】（24-25高一上·上海·期中）某种型号的特殊运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，根据规定（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格为每升6元，送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.（x精确到0.1千米/小时，总费用精确到0.01元，） 【变式20-2】（24-25高一上·上海闵行·期中）如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过点C.已知长为4米，长为3米. (1)要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内? (2)当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值. 【考点题型二十一】三角不等式 【例21】（23-24高一下·上海·阶段练习）若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是 ； 【变式21-1】（24-25高三上·北京·开学考试）若函数的最小值3，则实数的值为 . 【变式21-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求证：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·期中）已知正数满足，且不等式对任意的正数恒成立.则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知，，，则的最小值为 5．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 6．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数 . 7．（24-25高一上·上海·期中）对于任意的，都存在b，，使得关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为 . 8．（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集是，则的值是________ 9．（24-25高三上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 10．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是 . 二、单选题 11．（24-25高一上·上海·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实数所在区间可以是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·上海·期中）已知， ①若，则的最小值为 ②若，则的最小值为 ③若，则的最小值为 ④的最大值为 上述列命题中，正确的命题是（    ） A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③ 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）已知关于x的不等式，下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集不可以是； B．不等式的解集可以是； C．不等式的解集可以是； D．不等式的解集可以是． 三、解答题 16．（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，设关于x的方程的两实根为，关于x的方程的两实根为． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 18．（24-25高一上·上海·期中）已知二次函数. (1)若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值； (2)若对任意都有成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·上海·期中）已知，，. (1)若，证明、、至少有一个不小于； (2)若，比较、、的值的大小. 20．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 等式与不等式 （21个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 【清单02】一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【清单03】四个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【清单04】分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【清单05】绝对值不等式的解法 【清单06】基本不等式 1、基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） （注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱） 2、三角不等式定理：对任意的实数，有，且等号当且仅当时成立. 【考点题型一】等式的性质与方程的解 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ．（填序号） ①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故； ②解方程时，对比方程两边知，，故； ③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根． 【答案】④ 【知识点】等式的性质与方程的解 【分析】①②③在解方程的过程中产生失根，所以判断它们是错误的；④根据二次方程的解法可判断. 【详解】①在解方程的过程中，两边同时除以，就产生失根：即，所以原方程的根为：或.故①错误； ②对方程，对比方程可知：或，可得或，故②错误； ③对方程，两边开平方，可得，解得或，故③错误； ④一元二次方程的常数项为0，则方程为或，可知必为方程的一个根，故④成立. 故答案为：④ 【变式1-1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】 【知识点】等式的性质与方程的解 【分析】结合已知等式进行变形，然后结合等式恒成立，对应项系数相等可建立关于，，的方程，从而可求． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】答案见解析 【知识点】等式的性质与方程的解 【分析】方程可化为，讨论与即可求解. 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 【变式1-3】（24-25高一上·上海·假期作业）设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，且，那么； (2)如果，且，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么，其中是正整数； (5)如果，那么； (6)如果，那么. 【答案】(1)真命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)真命题 (5)假命题 (6)真命题 【知识点】等式的性质与方程的解 【分析】根据等式的性质，逐一判断，即可得出结果. 【详解】（1）真命题，如果且，由等式的性质可加性得成立； （2）真命题，如果且，由等式的性质可乘性得成立； （3）真命题，如果，则倒数成立； （4）真命题，如果，其中是正整数，由等式的性质可乘方性得成立 （5）假命题，如果，那么若，则不能得出，即不成立； （6）真命题，如果，则，故成立. 【考点题型二】解不含参数的一元一次不等式 【例2】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】先由求出的值，再由不等式组有且只有一个实数解，可得或，从而可求出结果 【详解】由，得， ， 得或， 因为不等式组有且只有一个实数解， 所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 【变式2-1】（24-25高一上·上海杨浦）已知的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】分析可知是方程的解，且有，得出、的等量关系，化简不等式，即可得解. 【详解】因为的解集为，则， 所以，且，故， 不等式即为，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2-2】（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论. 【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为. 故原命题为假命题. 故答案为：假. 【考点题型三】解含参数的一元一次不等式 【例3】（24-25高一上·上海杨浦）设，已知关于的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】由题意可得的解集为，故有，从而求得的值． 【详解】关于，即的解集为， ，求得， 故选：． 【变式3-1】（24-25高一上·上海徐汇）不等式的解为 ． 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，所以原不等式的解为． 故答案为：． 【变式3-2】（2024高一·上海·专题练习）解下列关于x的不等式： （1）ax+4<2x+a2，其中a>2； （2）mx+1>x+m3，其中m<1. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】（1）由不等式性质，计算求解即可； （2）由不等式性质，计算求解即可. 【详解】（1）移项，得（a-2)x<a2-4 因为a>2时，a-2>0，则x<，解集为; （2）移项，得（m-1)x<m3-1 因为m<1时，m-1<0，则x<，解集为; 【考点题型四】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【例4】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用可得出，利用韦达定理可判断CD选项. 【详解】若取，则方程为，解得，，AB都错； 由题意可知，，则， 由韦达定理可得，， 所以，与的大小关系不确定，C错； ， 所以，，D对. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）若是方程的两个根，则(    ) A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解. 【详解】因为是方程的两个根， 所以由根与系数之间的关系，，， 故. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）根据题意可将原方程等价为，易知恒成立，经检验可知该方程有两个不同的实数解； （2）结合（1）中的结论以及二次函数图像性质可知，即可得. 【详解】（1）原方程可化为 即方程 因为 所以有两个不同的实数解 经检验 所以，，， 所以关于的方程有两个不同的实数解. （2）令， 而二次函数图象开口向上，故， 所以. 【变式4-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的一元二次方程. （1）证明：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的两个实数根，满足，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）或． 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）证明判别式恒大于0即可； （2）由韦达定理得，，结合已知可求得值． 【详解】（1）恒成立， 所以原方程始终有两个不相等的实根． （2）由题意， 又，所以，， 所以，解得或． 【考点题型五】作差法比较大小 【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】答案见解析 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法，再充分变形化简，结合条件，分类讨论，即可求出结果. 【详解】∵ 又，，∴． ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． 【变式5-1】（2024高一·上海·专题练习）比较下列各组中两数的大小： (1)已知为正数，且，比较与的大小； (2)已知，比较与的大小； (3)已知均为正数，设，，比较和的大小. 【答案】(1)； (2)； (3)（当时，等号成立）； 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用作差法，将式子整理变形并根据已知数据的范围即可判断出所得式子的符号，即可得出（1）（2）（3）中的结论. 【详解】（1）易知 ； 又因为为正数，且，所以； 即可得， 即； （2）易得 ； 又因为，所以，显然； 所以，即； （3）因为； 又均为正数，所以， 所以， 即，当且仅当时，等号成立； 【变式5-2】（24-25高三·全国·）设实数，，满足①，②，试确定，，的大小关系． 【答案】，当且仅当时． 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据作差法，结合完全平方公式判断大小. 【详解】因， 所以，当且仅当时，， ， 所以， ， 所以， 综上可知：，当且仅当时． 【考点题型六】利用不等式求值或取值范围 【例6】（2024高三·全国·专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？ 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】由不等式的基本性质求解即可. 【详解】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y）， 则，所以，即. 又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴，， ∴，即， ∴3x＋2y的取值范围为. 【变式6-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若实数x、y满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】方程组的解、不等式综合、利用不等式求值或取值范围 【分析】，通过题目给的式子整体代入即得到范围. 【详解】设,则解得所以,由得所以,即. 故的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 【考点题型七】一元一次不等式 【例7】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】不等式可化为，对分等于，大于，小于三种情况进行讨论即可. 【详解】由不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为，符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 综上，实数. 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）若不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】等式的性质与方程的解、解含参数的一元一次不等式 【分析】根据题意得到是方程的根，求得且，进而化简不等式，即可求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的根，且， 即，且，可得， 则不等式可化为， 因为，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 【变式7-2】（23-24高一·上海·课堂例题）设，解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】分类讨论的取值，结合不等式的性质求解即可． 【详解】整理得， 当时，不成立，； 当时，，故； 当时，，故． 【考点题型八】一元二次不等式的解（不含参） 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， ，解得或， 所以原不等式的解集为； （2）由，得， ，解得， 所以原不等式的解集为； （3）由，得， 方程的根为， 所以原不等式的解集为； （4）由，得， 方程的根为， 所以原不等式的解集为； （5）由，得， ，得， 所以原不等式的解集为 （6）由，得， 得恒成立， 所以原不等式的解集为. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】化简不等式为，结合一元二次不等式的解法和绝对值的定义，即可求解． 【详解】， 解得，所以或， 故答案为：或． 【考点题型九】一元二次不等式的解（含参） 【例9-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的方程的解集； (3)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、解含参数的一元一次不等式 【分析】（1）时不等式为，求解即可； （2）时方程为，讨论未知数的系数是否为0，求解即可； （3）讨论的取值范围，即可求出不等式的解集. 【详解】（1）时，不等式为，即， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）时，方程为，即， 当时，方程的解不存在，解集为； 当时，方程的解为，解集为； （3）当时，不等式可化为，即， 若，则不等式为，不等式的解集为； 若，则，解不等式得，不等式的解集为； 若，则，解不等式得，不等式的解集为. 【例9-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）求关于的不等式的解集：. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】将不等式变形为，然后根据与1的关系进行分类讨论，求解即可． 【详解】不等式，即， 当时，不等式为，解得，则不等式的解集； 当时，不等式变形为， 由于，解得或， 故此时不等式的解集为； 当时，不等式变形为， 由于，解得， 故此时不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【变式9-1】（23-24高一·上海·课堂例题）求不等式的所有正整数解． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意结合二次不等式运算求解. 【详解】因为，即， 解得，则或， 且，可得， 所以不等式的所有正整数解集为. 【变式9-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为-1和2，且该二次函数图像过点. (1)求二次函数的表达式; (2)已知，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求二次函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由题意可得，再根据函数图象过点可求解析式； （2）分，，三种情况求解即可. 【详解】（1）因为二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为-1和2， 所以二次函数， 又函数的图象过点， 所以，解得，所以. （2）由，结合（1）可得， 所以，所以， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式9-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围； （2）已知，解不等式． 【答案】（1）；（2） 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、方程与不等式 【分析】（1）若关于的二次方程无实数解，则函数的图象与轴无交点，，解得实数的取值范围； （2）令，解出方程的根且判断大小，根据开口向上即可取不等式的解集． 【详解】（1）关于的二次方程无实数解， 函数的图象与轴无交点， ， 解得：， 实数的取值范围为； （2）令， 当时，， 解得：， 所以不等式的解集是． 【考点题型十】由一元二次不等式的解确定参数 【例10】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由已知可得是方程的两根且，可求得，可求不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根且， 所以，所以， 由不等式，可得，因为， 所以，所以，解得或， 所以不等式解集为. 故答案为：. 【变式10-1】（24-25高一上·上海·期中）已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以①正确； 变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以②正确； 若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以③错误； 若不等式的解集为，即的解集为， 由韦达定理知：， 则，解得， 所以④正确. 综上，正确的为：①②④ 故选：C 【变式10-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）若不等式的解集是，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，求的关系，代入所求不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，，，， 则，即， 即，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式10-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意，得到和是方程的两个实数根，且，利用韦达定理列出方程，求得，把，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由关于的不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根，且， 则，解得， 所以不等式，即为，即， 则，记得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【考点题型十一】一元二次方程的实根分布问题 【例11】（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3 【变式11-1】（24-25高二·全国）关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】对于一元二次方程（），有，结合根与系数关系及根的分布列不等式组确定的取值范围. 【详解】对于方程有两个不同的根，所以. 展开得，则或. 由韦达定理可知，两根之和，两根之积. 因为两根为正，所以且. ，即，解得. ，即. 综上，，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式11-2】（2024高一·上海·专题练习）已知关于的方程，求： (1)方程有两个不同正根的充要条件； (2)方程至少有一正根的充要条件． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据充要条件求参数、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）（2）由根的分布，结合对应二次函数的性质列不等式组求充要条件即可. 【详解】（1）方程有两个不同正实根， 则，解得或， 方程有两个不同正根的充要条件为； （2）由（1）易知：或方程有两个正根（或两根相等），满足题设； 当时，方程化为 有一个正根，满足题设； 若方程有正、负根各一个，则，解得； 综上：方程至少有一正根的充要条件是． 【变式11-3】（24-25高一上·上海宝山）已知关于的一元二次方程， (1)若，求证：； (2)若时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】由不等式的性质证明不等式、解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）根据已知条件，结合不等式的性质，即可求证． （2）关于的方程有两个不相等的正实数根，则，且，即可求解的取值范围. 【详解】（1），， ，，． （2）关于的方程有两个不相等的正实数根， 则，且， ，， 解得：． 【考点题型十二】分式不等式 【例12】（24-25高三上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式12-1】（24-25高三上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解． 【详解】, 故答案为：． 【变式12-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为 【答案】或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、分式不等式 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，得到，再结合，从而得到，即可求解. 【详解】由，得到，等价于， 因为，则有，即，解得或， 故答案为：或. 【考点题型十三】绝对值不等式 【例13】（24-25高一上·上海·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值的性质可得，根据恒成立问题，运算求解即可. 【详解】对于，不等式恒成立， 等价于即可. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得：. 故选：D. 【变式13-1】（24-25高一上·上海·期中）若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】根据绝对值不等式的性质求参数的取值范围. 【详解】因为或， 即或. 故答案为： 【变式13-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）把不等式的解集用区间表示： . 【答案】． 【知识点】几何意义解绝对值不等式 【分析】由绝对值性质解出不等式，然后写出结果． 【详解】，解集为． 故答案为：． 【变式13-3】（24-25高三上·上海·期中）设，不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】由或即可求解. 【详解】由， 可得：或， 解得：或. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 【考点题型十四】不等式恒（能）成立问题 【例14】（24-25高二上·安徽阜阳）设，若恒成立，则k的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值即可得参数范围． 【详解】因为， 所以 当且仅当，即时等号成立． 所以． 故答案为：． 【变式14-1】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）若，，且，则恒成立的实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】利用分离参数法转化为，利用基本不等式求出，即可求出的取值范围. 【详解】要使恒成立，只需恒成立，只需. 因为，，且，所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即， 所以m的范围为. 故答案为： 【变式14-2】（24-25高一上·湖南株洲）设函数. (1)解关于x的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、基本不等式的恒成立问题 【分析】（1）对a分类讨论：当时；当时；当时.分别求出对应的解集； （2）利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范围. 【详解】（1） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2） 因为，所以由可化为：， 因为（当且仅当，即时等号成立）， 所以.所以a的取值范围为. 【考点题型十五】利用基本不等式求最值 【例15】（24-25高一上·上海徐汇）已知正实数满足， (1)求的最大值，并求取得最大值时的值； (2)求的最小值，并求取得最小值时的值． 【答案】(1)时，取得最大值． (2)，时，取得最小值． 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由基本不等式得出关于的不等式，解之可得． （2）由已知得，代入，然后凑配出积为定值，再用基本不等式得最小值． 【详解】（1）因为， 所以，当且仅当时等号成立， ，，， 所以， ，取等号时，（负的舍去）， 所以时，取得最大值． （2）由得， 所以， 取等号时，，（负数舍去），， 所以，时，取得最小值． 【变式15-1】（24-25高一上·上海·课后作业）若，则的最大值是 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】即可求得最值. 【详解】，故，则， 当且仅当即时取“=”， 故答案为：. 【变式15-2】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）求下列最值： （1）当时，求函数的最大值； （2）设求函数的最大值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案. （2）变换，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1），则， ， 当，即时等号成立. （2）， 当，即时等号成立. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的转化能力，合理变形是解题的关键. 【考点题型十六】基本不等式（凑项（系数）） 【例16】（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为： 【变式16-1】（23-24高三下·上海·阶段练习）对于正实数，代数式的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】通过变形得，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】， ， 当且仅当，即（负舍）时等号成立， 故答案为：5. 【变式16-2】.（23-24高一上·上海浦东新·期中）设实数，当代数式取最大值时，的值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式求最大值可得结论． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 【考点题型十七】基本不等式（常数代换法） 【例17】（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， 又， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【变式17-1】.（24-25高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 【答案】9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 【变式17-2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 【考点题型十八】基本不等式（二次与二次（或一次）商式） 【例18】（2024·天津河西·模拟预测）函数的最小值为 . 【答案】9 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 【变式18-1】（24-25高二上·云南昆明·期末）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【解析】将化简可得，然后讨论和时，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】， 当时， 当时， 所以， 所以函数的值域是， 故答案为： 【点睛】方法点睛：形如二次比一次的形式的函数，先对其化简整理，使之具备使用基本不等式的条件，再利用基本不等式求最值，可得值域. 【变式18-2】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. 【答案】(1)(2) 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式的恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 【考点题型十九】条件等式求最值 【例19】（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】25 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据基本不等式列不等关系，结合一元二次不等式求解即可得答案. 【详解】已知，，又，所以，且 因为，所以， 整理得，解得或（舍） 当且仅当，即时，的最小值为. 故答案为：. 【变式19-1】（24-25高一上·山东·期中）已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由条件等式结合基本不等式求出即可； 【详解】因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，所以， 故答案为：. 【变式19-2】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）若都是正数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】直接利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：. 【变式19-4】（2023·广西南宁·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【知识点】条件等式求最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由基本不等式以及一元二次不等式结合题目条件即可得解. 【详解】因为，，所以由基本不等式可得， 即，令，则不等式变为， 解得或（舍去），即， 所以，即的最小值为9. 故答案为：9. 【考点题型二十】基本不等式的实际应用 【例20】（24-25高一上·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 【答案】(1) (2)分米；平方分米 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据“正十字形”部分面积表达式可得，再由宽小于长限定出的取值范围即可； （2）求出圆形面积关于的表达式，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 由宽小于长可得，解得； 因此 （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）. 【变式20-1】（24-25高一上·上海·期中）某种型号的特殊运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，根据规定（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格为每升6元，送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.（x精确到0.1千米/小时，总费用精确到0.01元，） 【答案】(1)，. (2)当时，总费用最低，为元. 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式. （2）利用基本不等式求最值即得结果. 【详解】（1）卡车行驶的时间为：， 所以卡车这次行车的油费为：元，司机的工资为：元. 所以这次行车总费用为：， （2）因为（当且仅当即时取 “”）. 所以当时，总费用最低，为元. 【变式20-2】（24-25高一上·上海闵行·期中）如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过点C.已知长为4米，长为3米. (1)要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内? (2)当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值. 【答案】(1)或（单位：） (2)当时，矩形的面积最小，为. 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）设，表示出，再表示出矩形的面积，解不等式可求的取值范围. （2）利用基本（均值）不等式求最小值及对应的的长度. 【详解】（1）设，， 因为即. 所以矩形的面积为. 由，因为，所以，所以或. 即或（单位：）. （2）因为矩形的面积为. 所以，（当且仅当即时取“”）. 所以当时，矩形的面积最小，为. 【考点题型二十一】三角不等式 【例21】（23-24高一下·上海·阶段练习）若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是 ； 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】根据绝对值三角不等关系可得的最小值，即可根据有解转化成最值问题即可求解. 【详解】由于， 当时等号成立， 所以 故要使不等式在R上有解， 只需要，即. 故答案为：. 【变式21-1】（24-25高三上·北京·开学考试）若函数的最小值3，则实数的值为 . 【答案】或 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用含绝对值三角不等式，即可求解. 【详解】， 则， 即， 当时，等号成立， ，当为0时等号成立， 所以，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为，即， 所以或. 故答案为：或 【变式21-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求证：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围． 【答案】证明见解析， 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值三角不等式进行放缩，结合不等式恒成立问题求解． 【详解】证明：因为，由三角不等式，得， 所以，当且仅当时成立， ∴时等号成立． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·期中）已知正数满足，且不等式对任意的正数恒成立.则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可求出结果. 【详解】依题意，正数满足， 则，当且仅当时取等号， 由不等式对任意的正数恒成立，得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本（均值）不等式，先求的最小值，再求的最小值. 【详解】已知：正数、、满足，. 因为（当且仅当即时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】分离参数，结合基本（均值）不等式求的取值范围. 【详解】当时，恒成立， 所以，. 因为（当且仅当即时取“”）， 此时也取得最小值0. 所以. 故答案为： 4．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知，，，则的最小值为 【答案】9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将转化为，再由展开后利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为，，，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分类讨论，根据不等式恒成立建立不等式得解. 【详解】当时，或， 时不等式为，不满足题意；时不等式为，符合题意； 当时，即时，不等式恒成立需满足， 解得或； 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或 6．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数 . 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、解不含参数的一元一次不等式 【分析】根据根与系数的关系得解. 【详解】由，解得或， 由根与系数的关系可得， 所以， 解得或（舍去）， 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·期中）对于任意的，都存在b，，使得关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为 . 【答案】2 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据，结合三角不等式的关系即可求解. 【详解】令， 由于对任意的，都有， 故， ， 因此，故， 又，，故， 当，即可取到等号，此时, 满足在上恒成立，故最大值为2， 故答案为：2 8．（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集是，则的值是________ 【答案】0 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、高次不等式 【分析】根据分式不等式特点转化为一元二次不等式，然后根据解集求解系数； 【详解】等价于且， 又因为解集为， 所以是的根，解得， 故是方程的根， 根据韦达定理， 解得：. 故答案为：0. 9．（24-25高三上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用消元法结合基本不等式计算即可. 【详解】由，即， 所以， 当且仅当时取得最小值. 故答案为：2 10．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先由三人各自的论述入手分别化简求解的范围，再按范围分类判断即可得. 【详解】由题意，. 若甲正确，则且，即，则； 若乙正确，则且，即，则； 若丙正确，则由二次函数的对称轴为，得，所以. 若，则乙丙两人论述错误，不满足题意； 若，则甲乙两人论述错误； 若，则乙丙两人论述正确，只有甲一人论述错误，满足题意. 综上所述，，即a的取值范围是. 故答案为：. 二、单选题 11．（24-25高一上·上海·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本不等式的内容及辨析 【分析】将各选项中的代数式变形，利用三元均值不等式可判断各选项的正误. 【详解】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误； 因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误； 因为，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项正确. 故选：D 12．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实数所在区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】同时开方将不等式化为两绝对值函数的大小形式，数形结合计算即可. 【详解】原不等式等价于，不妨设不等式的解集为， 作出函数的图象如图所示， 易知当，此时不等式的解集不只有三个整数解， 要满足题意需， 又，所以， 则，， 此时还需，整理得， 此时C正确，其余选项错误. 故选：C. 13．（24-25高一上·上海·期中）已知， ①若，则的最小值为 ②若，则的最小值为 ③若，则的最小值为 ④的最大值为 上述列命题中，正确的命题是（    ） A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【知识点】基本（均值）不等式的应用、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用条件等式、“1”的代换及基本不等式求各项的最值，即可判断. 【详解】①由题设，当且仅当时取等号，错； ②由题意，则， 当且仅当时等号成立，对； ③由题意，故， 则（舍）或，当且仅当时取等号，对； ④由 ，当且仅当时等号成立，错. 综上，正确的有②③ 故选：D 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】解不等式组，分、、讨论，根据原不等式组仅有一个整数解可得答案. 【详解】由，得或， 由，得， 令，解得或， 当时，得原不等式组无解，不符合题意； 当时，由得， 若原不等式组仅有一个整数解，则， 解得，又，所以； 当时，由得， 若原不等式组仅有一个整数解，则， 解得，又，所以； 综上所述，实数的取值范围是，或. 故选：C. 15．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）已知关于x的不等式，下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集不可以是； B．不等式的解集可以是； C．不等式的解集可以是； D．不等式的解集可以是． 【答案】C 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】利用特殊值判断AB；利用假设成立法判断CD. 【详解】对于A，当时，不等式为恒成立， 则解集是，故A错误； 对于B，当时，不等式， 所以解集不可能为，故B错误； 对于C，假设不等式的解集可以是， 则，即，， 所以不等式的解集可以是，故C正确； 对于D，假设不等式的解集可以是， 则，无解，故D错误. 故选：C. 三、解答题 16．（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②时，取最小值. 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，，则，再利用①结论求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以， ， 因为、都是正实数，所以， 所以 当且仅当，解得或， 因为、都是正实数，所以， 所以当时，取得最小值. （2）①因为，所以 因为，，则有： ， 当且仅当且、同号时取等号，此时，、满足， 所以. ②令，，所以，， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： ， 当且仅当且，时，即取等号， 解得时，取最小值. 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，设关于x的方程的两实根为，关于x的方程的两实根为． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）利用一元二次方程的根与系数的关系，知道方程的解，求二次方程的系数. （2）结合一元二次方程根与系数的关系，可得满足的条件，再根据均为负整数，可确定的值. （3）利用一元二次方程根与系数的关系，可证所给的结论. 【详解】（1）的解集为， 所以是方程的两根. 所以. 所以为 所以. 所以所求不等式的解集为：. （2）因为的两根为. 所以，，且. 所以. 由得. 又因为均为负整数，所以，所以. 所以的值可能为或. 若则；若，则（舍去）. 故，为所求. 此时. （3）因为，所以；. 又因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：解一元二次不等式，要先解一元二次方程.根据一元二次不等式的解集，可确定一元二次方程的解. 18．（24-25高一上·上海·期中）已知二次函数. (1)若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值； (2)若对任意都有成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）利用一元二次方程的韦达定理及判别式计算即可； （2）分离参数利用换元法结合基本不等式计算即可； （3）分类讨论方程根的情况结合二次函数根的分布计算即可. 【详解】（1）由题意得，即或， 因为，所以， 解得或4（舍去），所以. （2）由题意得对恒成立， 则对恒成立， 即对恒成立， 令，则. 当且仅当即时等号成立， 所以即. （3）当即时，经检验满足题意； 当即或时， 由得即， 经检验不合题意； 综上的取值范围为 19．（24-25高一上·上海·期中）已知，，. (1)若，证明、、至少有一个不小于； (2)若，比较、、的值的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】作差法比较代数式的大小、反证法证明 【分析】（1）假设、、全部小于，则，再根据条件得到，从而得假设不成立，即结论成立，即可求解； （2）利用作差法，再通过配方和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）假设、、全部小于，则， 又，，，则与假设矛盾，即假设不成立， 故、、至少有一个不小于. （2）因为，，，且， 则，当且仅当时取等号，所以， 又，当且仅当时取等号，所以， 故，当且仅当时取等号. 20．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）分析可知，，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）由（1）可知，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为不等式的解集为， 则不等式对任意的实数恒成立， 当时，即当时，原不等式即为，解得，不合乎题意； 所以，，由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）解：因为不等式对一切实数恒成立， 由（1）可知，，则，解得， 所以，实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$