专题02 第二章 等式与不等式（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020）数学高一上期末考点大串讲 串讲02第二章 等式与不等式 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 【清单01】不等式的性质 【清单02】一元二次不等式的解法 【清单03】四个二次的关系 【清单04】分式不等式的解法 【清单05】绝对值不等式的解法 【清单06】基本不等式 考点一：等式的性质与方程的解 ④ 考点一：等式的性质与方程的解 考点二：解不含参数的一元一次不等式 考点三：解含参数的一元一次不等式 D 考点四：一元二次方程的解集及其根与系数的关系 D 考点五：作差法比较大小 考点五：作差法比较大小 考点六：利用不等式求值或取值范围 考点七：一元一次不等式 考点八：一元二次不等式的解（不含参） 考点九：一元二次不等式的解（含参） 考点九：一元二次不等式的解（含参） 考点十：由一元二次不等式的解确定参数 考点十一：一元二次方程的实根分布问题 考点十二：分式不等式 考点十三：绝对值不等式 D 考点十四：不等式恒（能）成立问题 考点十五：利用基本不等式求最值 考点十五：利用基本不等式求最值 考点十六：基本不等式（凑项（系数）） 考点十七：基本不等式（常数代换法） 考点十八：基本不等式（二次与二次（或一次）商式） 考点十九：条件等式求最值 考点二十：基本不等式的实际应用 考点二十：基本不等式的实际应用 考点二十一：三角不等式 9 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） （注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱） 2、三角不等式定理：对任意的实数，有，且等号当且仅当时成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ．（填序号） ①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故； ②解方程时，对比方程两边知，，故； ③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】①在解方程的过程中，两边同时除以，就产生失根：即，所以原方程的根为：或.故①错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②对方程，对比方程可知：或，可得或，故②错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ③对方程，两边开平方，可得，解得或，故③错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ④一元二次方程的常数项为0，则方程为或，可知必为方程的一个根，故④成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，得， ， 得或， 因为不等式组有且只有一个实数解， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高一上·上海杨浦）设，已知关于的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】关于，即的解集为， ，求得，故选：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】若取，则方程为，解得，，AB都错；由题意可知，，则， 由韦达定理可得，， 所以，与的大小关系不确定，C错； ， 所以，，D对. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题5】（2024高一·上海·专题练习）比较下列各组中两数的大小： (1)已知为正数，且，比较与的大小； (2)已知，比较与的大小； (3)已知均为正数，设，，比较和的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）易知 ； 又因为为正数，且，所以； 即可得，即； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）易得 ； 又因为，所以，显然； 所以，即； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）因为； 又均为正数，所以， 所以， 即，当且仅当时，等号成立； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（2024高三·全国·专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y）， 则，所以，即. 又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴，， ∴，即， ∴3x＋2y的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为，符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 综上，实数. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题8】（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 解得，所以或， 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的方程的解集； (3)当时，求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）时，不等式为，即， 解得或， 所以不等式的解集为或； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）时，方程为，即， 当时，方程的解不存在，解集为； 当时，方程的解为，解集为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的方程的解集； (3)当时，求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）当时，不等式可化为，即， 若，则不等式为，不等式的解集为； 若，则，解不等式得，不等式的解集为； 若，则，解不等式得，不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根且， 所以，所以， 由不等式，可得，因为， 所以，所以，解得或， 所以不等式解集为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题11】（24-25高二·全国）关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于方程有两个不同的根，所以. 展开得，则或. 由韦达定理可知，两根之和，两根之积. 因为两根为正，所以且. ，即，解得. ，即. 综上，，实数的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（24-25高三上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，得到， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（24-25高一上·上海·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于，不等式恒成立， 等价于即可. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得：. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（24-25高二上·安徽阜阳）设，若恒成立，则k的最大值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 所以 当且仅当，即时等号成立． 所以．故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（24-25高一上·上海徐汇）已知正实数满足， (1)求的最大值，并求取得最大值时的值； (2)求的最小值，并求取得最小值时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为， 所以，当且仅当时等号成立， ，，， 所以， ，取等号时，（负的舍去）， 所以时，取得最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（24-25高一上·上海徐汇）已知正实数满足， (1)求的最大值，并求取得最大值时的值； (2)求的最小值，并求取得最小值时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由得， 所以， 取等号时，，（负数舍去），， 所以，时，取得最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 又， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（2024·天津河西·模拟预测）函数的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】9 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】25 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】已知，，又，所以，且 因为，所以， 整理得，解得或（舍） 当且仅当，即时，的最小值为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（24-25高一上·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米； (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为，可得， 由宽小于长可得，解得； 因此 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（23-24高一下·上海·阶段练习）若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是 ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由于， 当时等号成立，所以 故要使不等式在R上有解， 只需要，即.故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高三上·上海·期中）已知正数满足，且不等式对任意的正数恒成立.则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意，正数满足， 则，当且仅当时取等号， 由不等式对任意的正数恒成立，得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，恒成立，所以，. 因为（当且仅当即时取“”）， 此时也取得最小值0. 所以.故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知，，，则的最小值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，，，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，或， 时不等式为，不满足题意；时不等式为，符合题意； 当时，即时，不等式恒成立需满足， 解得或； 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，设关于x的方程的两实根为，关于x的方程的两实根为． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）的解集为， 所以是方程的两根. 所以. 所以为 所以. 所以所求不等式的解集为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，设关于x的方程的两实根为，关于x的方程的两实根为． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为的两根为. 所以，，且. 所以. 由得. 又因为均为负整数，所以，所以. 所以的值可能为或. 若则；若，则（舍去）. 故，为所求. 此时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，设关于x的方程的两实根为，关于x的方程的两实根为． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）因为，所以；. 又因为， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 6．（24-25高一上·上海·期中）已知二次函数. (1)若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值； (2)若对任意都有成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意得，即或， 因为，所以， 解得或4（舍去），所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 6．（24-25高一上·上海·期中）已知二次函数. (1)若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值； (2)若对任意都有成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意得对恒成立， 则对恒成立， 即对恒成立， 令，则. 当且仅当即时等号成立， 所以即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 6．（24-25高一上·上海·期中）已知二次函数. (1)若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值； (2)若对任意都有成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）当即时，经检验满足题意； 当即或时， 由得即， 经检验不合题意； 综上的取值范围为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$