猜题01 直线与方程（考题猜想，易错必刷51题11种题型）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

猜题01 直线与方程（易错必刷51题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：斜率与倾斜角的关系 1．（2024·高二·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为 . 2．（2024·高二·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，经过两点，的直线倾斜角为45°，则实数m的值为 ． 3．（2024·高二·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为 ． 4．（2024·高二·重庆·期末）已知直线，则直线的倾斜角为 ． 题型二：直线与线段的相交关系求斜率范围 5．（2024·高二·天津北辰·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 6．（2024·高二·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 7．（2024·高二·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 题型三：直线方程的求法及应用 9．（2024·高二·贵州黔西·期中）根据下列条件，求直线方程： (1)过点，且与直线垂直； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 10．（2024·高二·上海奉贤·期中）已知直线， (1)求该直线的斜率； (2)若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程． 11．（2024·高二·重庆·期中）在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 12．（2024·高二·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 13．（2024·高二·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 题型四：两直线的平行与垂直 14．（2024·高二·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 15．（2024·高二·辽宁·期中）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 16．（2024·高二·四川南充·期末）已知直线． (1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程； (2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程． 17．（2024·高二·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 题型五：两直线的交点 18．（2024·高二·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 19．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 20．（2024·高二·江苏连云港·期中）若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 21．（2024·高二·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型六：两点距离、点到直线的距离、平行直线的距离问题 22．（2024·高二·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 23．（2024·高二·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 24．（2024·高二·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 25．（2024·高二·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 26．（2024·高二·甘肃兰州·期末）已知直线和直线. (1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； (2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 题型七：线段和差最值问题 27．（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 29．（2024·高二·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 30．（2024·高二·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 题型八：直线与坐标轴围成的面积问题 31．（2024·高二·贵州铜仁·期末）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 32．（2024·高二·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 33．（2024·高二·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 34．（2024·高二·陕西西安·期中）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 题型九：点线对称、线点对称、线线对称问题 35．（2024·高二·北京大兴·期末）直线关于y轴对称的直线的方程为 ． 36．（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·高二·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 38．（2024·高二·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 39．（2024·高二·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 40．（2024·高二·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 41．（多选题）（2024·高二·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 题型十：坐标法的应用 42．（2024·高二·辽宁营口·期末）若､､是三个雷达观察哨，在的正东，两地相距，在的北偏东30°，两地相距，在某一时刻，观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为，后､两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点的坐标 . 43．（2024·高二·四川自贡·期中）直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 44．（2024·高一·贵州铜仁·期末）已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 45．（2024·高一·江苏·期末）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内． （1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？ （2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度． 46．（2024·高二·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 题型十一：距离新定义 47．（2024·高二·上海·期末）在平面直角坐标系xOy中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知点，若动点P满足，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ． 48．（2024·高二·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”． ①若，则 ； ②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为 ． 49．（2024·高二·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为 ． 50．（2024·高二·重庆·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为. (1)已知，，求的值； (2)分别求，的取值范围； (3)若，，求“新椭圆”围成的面积. 51．（2024·高二·福建福州·期中）“曼哈顿距离”是一种度量距离的方式，定义如下：在平面直角坐标系内，任意两点，的曼哈顿距离为.对于动点，若存在定点使得（为大于的常数），则称动点的轨迹为“”曲线. (1)已知，若，求； (2)已知曲线是“”曲线（是原点），，点是上一点， （i）写出曲线的方程并画出图形，求的最大值； （ii）已知点在直线上，求的最小值. $$猜题01 直线与方程（易错必刷51题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：斜率与倾斜角的关系 1．（2024·高二·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为 . 【答案】 【解析】因为直线的斜率为，则倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 2．（2024·高二·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，经过两点，的直线倾斜角为45°，则实数m的值为 ． 【答案】4 【解析】设直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又，解得. 故答案为：4. 3．（2024·高二·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【解析】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 即直线的倾斜角为. 故答案为： 4．（2024·高二·重庆·期末）已知直线，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，， 由直线，可得：， 因为，因为，所以. 故答案为： 题型二：直线与线段的相交关系求斜率范围 5．（2024·高二·天津北辰·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】，， 数形结合知，直线的斜率需满足， 即. 故选：D 6．（2024·高二·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 【答案】D 【解析】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率， 因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4]. 故选：D． 7．（2024·高二·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 存在与线段相交的直线与轴垂直， 所以直线的斜率的范围是. 故选：B. 8．（2024·高二·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 题型三：直线方程的求法及应用 9．（2024·高二·贵州黔西·期中）根据下列条件，求直线方程： (1)过点，且与直线垂直； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 【解析】（1）直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线方程为， ②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 10．（2024·高二·上海奉贤·期中）已知直线， (1)求该直线的斜率； (2)若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程． 【解析】（1）当时，即当时，直线的方程为，此时，直线的斜率不存在； 当时，即当时，此时，直线的斜率为. 综上所述，当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率为. （2）过点且垂直于直线的直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程可得，解得， 因此，所求直线的方程为. 11．（2024·高二·重庆·期中）在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 【解析】（1）由题意，直线的中点为，则， 因为，则，即，解得. （2）由（1）知点，线段的中点为，所以，， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即. 12．（2024·高二·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【解析】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 13．（2024·高二·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【解析】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 题型四：两直线的平行与垂直 14．（2024·高二·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【解析】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 15．（2024·高二·辽宁·期中）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【解析】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题设； 当，，，符合题设； 综上， （2）由，则，即， 所以，即或. 16．（2024·高二·四川南充·期末）已知直线． (1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程； (2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程． 【解析】（1）由题意设直线的方程为:， 由直线经过得:，解得:， 直线的方程为:，即. （2）由题意设直线的方程为:， 令，则;令，则， 所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积， 解得:， 所以直线的一般式方程为. 17．（2024·高二·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 【解析】（1）因为直线与直线平行， 所以，解得， 经检验，当时，两直线重合， 所以； （2）因为直线与直线垂直， 所以，解得或. 题型五：两直线的交点 18．（2024·高二·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 19．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 20．（2024·高二·江苏连云港·期中）若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由题意得，， 又的中点是，则，故， 又在上，则，故， 又，故，于是， 根据斜率公式，. 故选：A 21．（2024·高二·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 题型六：两点距离、点到直线的距离、平行直线的距离问题 22．（2024·高二·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 【答案】 【解析】平行直线及之间的距离. 故答案为： 23．（2024·高二·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【解析】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 24．（2024·高二·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】由题意知，斜率为， 则直线方程为，即， 则坐标原点到直线的距离为. 故答案为：. 25．（2024·高二·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【解析】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 26．（2024·高二·甘肃兰州·期末）已知直线和直线. (1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； (2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 【解析】（1）因为，所以直线的斜率为， 又，若，则斜率必存在，所以且斜率为， 由，得到或， 当时，，，此时与重合，不合题意， 当时，，，此时，所以，能平行， 两平行线之间的距离为. （2）由，得到，所以直线过定点， 当时，原点到的距离最大， 此时直线的斜率为，直线的斜率不存在， 所以此时的直线的方程为. 题型七：线段和差最值问题 27．（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线l的对称点为， 则有，解之得，则， 则的最小值为 故选：B 28．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线,直线， 因为与垂直，所以，解得， ， 设点关于直线的对称点为， 则的中点在直线上，且， 所以，解得， 当且仅当三点共线时等号成立 的最大值为, 故选：D. 29．（2024·高二·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 30．（2024·高二·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：A. 题型八：直线与坐标轴围成的面积问题 31．（2024·高二·贵州铜仁·期末）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 【解析】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 32．（2024·高二·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【解析】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 33．（2024·高二·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【解析】（1）因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，， 所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 34．（2024·高二·陕西西安·期中）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【解析】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 题型九：点线对称、线点对称、线线对称问题 35．（2024·高二·北京大兴·期末）直线关于y轴对称的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设所求直线上任一点为 ，则关于轴的对称点为， 将代入直线得，， 即直线关于y轴对称的直线的方程为. 故答案为：. 36．（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 37．（2024·高二·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点坐标为， 可得，① 斜率，②． 由①②解得：． 则点关于直线的对称点坐标为． 故选：B． 38．（2024·高二·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【解析】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 39．（2024·高二·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【解析】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 40．（2024·高二·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 41．（多选题）（2024·高二·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 【答案】AC 【解析】由解得，所以交点坐标为，A选项正确. 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为， 所以B选项错误. 由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点， 所以直线关于原点O对称的直线方程为， 所以C选项正确. 点关于直线的对称点是； 点关于直线的对称点是， 所以直线关于直线对称的直线方程为， 即，所以D选项错误. 故选：AC 题型十：坐标法的应用 42．（2024·高二·辽宁营口·期末）若､､是三个雷达观察哨，在的正东，两地相距，在的北偏东30°，两地相距，在某一时刻，观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为，后､两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点的坐标 . 【答案】 【解析】由题意，点，，即， 则线段的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率， 所以线段的垂直平分线的方程为即， 设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，所以点在以､为焦点的双曲线的左支上， 该双曲线的方程为， 所以，解得. 所以点的坐标为. 故答案为：. 43．（2024·高二·四川自贡·期中）直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 【解析】设l与l1的交点坐标为，l与l2的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即，解得 则l的方程为，即. 44．（2024·高一·贵州铜仁·期末）已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 【解析】（1），， ， ，又，， 为直角三角形 （2）因为， 所以边上高线所在直线的斜率为, 直线的方程是，即 45．（2024·高一·江苏·期末）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内． （1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？ （2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度． 【解析】（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝x+14，…① 因为灯罩线AC与灯杆AB垂直， 可设的斜率为，则＝， 又C（6，0）， 所以直线AC的方程为：y＝（x﹣6），…② 由①②组成方程组，求得点A（，15）； 所以|AB|＝＝2， 即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线； （2）设警示牌为CM，且CM⊥OD， 则M（6，），A（，15）， 所以直线AM的方程为：y﹣15＝（x﹣）， 令yN＝0，解得xN＝7， 所以CN＝7﹣6＝. 所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为m． 46．（2024·高二·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 【解析】（1）过作轴，垂足为， 由可知，直线OC的斜率， 直线OC的方程为， 因为点C到OA的距离为20米，设，故，可得， 因为，则为的中点，， 则，所以， 所以点P到OC的距离； （2）因为，，得AC所在直线方程为， 设，因为点O与点B关于AC对称，故可得 得，，即， 所以所在直线方程为， ， 所以该口袋公园的总面积200平方米． 题型十一：距离新定义 47．（2024·高二·上海·期末）在平面直角坐标系xOy中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知点，若动点P满足，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ． 【答案】/0.5 【解析】设，， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 联立，解得，同理可得其他点的坐标， 故点的轨迹所围成图形为正方形， 则 故答案为： 48．（2024·高二·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”． ①若，则 ； ②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为 ． 【答案】 2 3 【解析】对于①若则； 对于②，设，则， 函数图象如下所示：则. 故答案为：2；3 49．（2024·高二·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【解析】 设，因为点在矩形内（含边界）， 则，， 因为点到点，的“折线距离”相等， 所以，即， 则， 当时，， 当时，， 设，，则点的轨迹为线段， 故点的轨迹长度为. 故答案为：. 50．（2024·高二·重庆·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为. (1)已知，，求的值； (2)分别求，的取值范围； (3)若，，求“新椭圆”围成的面积. 【解析】（1）因为，，所以. （2）设“新椭圆”上任意一点为， 根据“新椭圆”的定义，可得，即， 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 作出“新椭圆”的图象，如图所示， 结合图象可知：的取值范围为；的取值范围为. （3）设“新椭圆”的图象，围成的六边形为， 若，，由（2）可知：， 所以“新椭圆”围成的面积为. 51．（2024·高二·福建福州·期中）“曼哈顿距离”是一种度量距离的方式，定义如下：在平面直角坐标系内，任意两点，的曼哈顿距离为.对于动点，若存在定点使得（为大于的常数），则称动点的轨迹为“”曲线. (1)已知，若，求； (2)已知曲线是“”曲线（是原点），，点是上一点， （i）写出曲线的方程并画出图形，求的最大值； （ii）已知点在直线上，求的最小值. 【解析】（1）因为，则，解得或. （2）（i）因为曲线是“”曲线（是原点），设曲线上任意一点， 则，所以曲线的方程为， 当时，由，得到， 当时，由，得到， 当时，由，得到， 当时，由，得到，所以图象如图1， 因为，又易知， 所以， 令，则，由图1易知的最小值为，所以的最大值为. （ii）如图2，因为点在直线上，设，，则， 因为，当时，， 所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 当时，，所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 当时，由，得到， 所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 当时，由，得到， 所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 综上，的最小值为. $$