专题08 期末必刷解答题（五大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题08 期末必刷解答题（五大题型） 集合与逻辑 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 2．（23-24高一上·上海·期末）已知关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B. (1)若，求集合A； (2)若，求正数a的取值范围. 3．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)命题p:，命题q:，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 5．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，， (1)求集合、、； (2)求. 6．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 不等式、幂、指数与对数 7．（23-24高一上·上海松江·期末）解下列不等式： (1): (2). 8．（23-24高一上·上海·期末）解下列关于x的方程： (1)； (2)． 9．（21-22高一上·上海黄浦·期末）（1）化简：； （2）令，用a表示． 10．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知一元二次方程的两个实根为． (1)求，； (2)求证：． 11．（22-23高一上·上海奉贤·期末）（1）已知、，求证：，并写出等号成立的条件. （2）若正数、的算术平均值是2，求、的几何平均值的最大值. 12．（22-23高一上·上海徐汇·期末）解答下列问题： (1)用表示； (2)已知，且，求M的值． 本册函数综合—基础、重点 13．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是上的严格增函数，是上的严格减函数，判断函数的单调性，并利用定义证明． 14．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知a是实数，定义在上的函数是奇函数，其中. (1)求a的值； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论. 15．（23-24高一上·上海·期末）设常数，函数. (1)若函数是奇函数，求实数a的值； (2)当时，用定义证明在上是严格减函数. 16．（23-24高一上·上海·期末）设为实数，已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义法加以证明； 17．（23-24高一上·上海·期末）设，其中． (1)若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值； (2)若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数的表达式. (1)判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由 (2)是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由 20．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数的图象经过点，. (1)求实数，的值； (2)若不等式的解集记为，求时，函数的值域. 21．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且． (1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 22．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，其中是常数，． (1)判断函数的奇偶性，请说明理由； (2)若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值． 23．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的零点： (2)若函数为偶函数，求实数的值. 24．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数，其中. (1)当时，证明：函数在区间上是严格减函数. (2)讨论函数 的奇偶性，并说明理由. 25．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 26．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数，其中，记 ，且函数是偶函数. (1)求函数的表达式： (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 本册实际应用题 27．（2020·上海浦东新·二模）疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案． （1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围． 28．（22-23高一上·江西·阶段练习）某中学筹办年校庆，需为参加校庆的校友、嘉宾每人准备一份纪念品，共需要准备份纪念品，每份纪念品包含一支钢笔和一个保温杯，现需要将钢笔和保温杯装入精品礼盒.校庆筹备小组共有人，现将其分成两组，一组完成钢笔的装盒工作，另一组完成保温杯的装盒工作，据测算，人一天可完成支钢笔的装盒工作，人一天可完成个保温杯的装盒工作. (1)若安排人完成钢笔的装盒工作，则完成纪念品装盒工作的工期为多久? (2)如何安排两组的人数，才能使工期更短? 29．（2021·上海浦东新·二模）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元． （1）求的值； （2）求年利润的最大值（精确到万元），并求此时的年产量（精确到吨）． 30．（23-24高一上·上海·期末）学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. (1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； (2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 31．（23-24高三上·上海·期中）为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 32．（20-21高一上·山东青岛·期中）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展.更多新产品､新技术､新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金4000万元.现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求2022年企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； (2)2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额一成本） 33．（19-20高一上·山东济南·阶段练习）一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图像的一部分，当时，曲线是函数，且图像的一部分.根据研究，当注意力指数不小于80时听课效果最佳. (1)求的函数关系式； (2)有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由. 34．（10-11高三上·黑龙江牡丹江·期中）为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室． 35．（23-24高一上·上海松江·期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元/件）关于第天的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）关于第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 90 95 100 95 90 已知第10天的日销售收入为459元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型：①;② ；③ ；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式： (3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元），求该函数的最小值. 本册函数综合—提高 36．（21-22高一上·北京西城·期末）已知函数． (1)判断函数f (x)的单调性，并用定义给出证明； (2)解不等式：； (3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围． 37．（21-22高二下·陕西西安·阶段练习）已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)存在，使得成立，求实数m的取值范围． 38．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 39．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知定义在上的奇函数的表达式为(且). (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围； 40．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且图象如图所示.    (1)根据奇函数的对称性，在如图的坐标系中画出时图象； (2)①求当时，的解析式； ②说明当时，的单调性并用单调性定义证明. 41．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 期末必刷解答题（五大题型） 集合与逻辑 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由集合的交集运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得是的真子集。列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）因为，， 当时，则，所以. （2）因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，又，， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 2．（23-24高一上·上海·期末）已知关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B. (1)若，求集合A； (2)若，求正数a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，求解一元二次不等式即得. （2）求出集合，再利用并集的结果，借助集合的包含关系求解即得. 【解析】（1）当时，不等式，解得， 所以. （2）由，解不等式，得，即， 解不等式，得，即，则， 由，得，因此， 所以正数a的取值范围是. 3．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式求出集合，根据，解出集合，进行交集运算即可； （2）先解出，根据，先考虑是否可以为空集，再考虑非空时，进而解出的取值范围. 【解析】（1）因为，所以，解得，所以， 又因为，所以，解得，所以， 所以； （2）因为，所以，所以， 又因为，且，所以， 所以，所以， 所以实数a的取值范围是. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)命题p:，命题q:，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解法化简两个集合，结合交集概念求解答案； （2）将必要条件转化为集合包含关系，进而直接列式求解. 【解析】（1）由，得，则， 即， 比较的大小，由，则， 所以， 因为， 所以或， 所以或，即实数a的取值范围为 （2）因为命题p:，命题q:，若q是p的必要条件， 所以， 所以，解得或， 即实数a的取值范围为 5．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，， (1)求集合、、； (2)求. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，指数函数的单调性及分式不等式的解法分别计算即可； （2）根据交集补集和并集的定义即可得解. 【解析】（1）由，得，解得， 所以， 由，得，解得， 所以， 由，得， 所以，解得， 所以； （2）， 所以. 6．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【解析】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 不等式、幂、指数与对数 7．（23-24高一上·上海松江·期末）解下列不等式： (1): (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简后解不等式组即可得到答案； （2）根据绝对值分类讨论即可得到答案. 【解析】（1）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 （2）当，即时，，得， 此时，， 当，即时，，得， 此时，， 综上所述，，即不等式的解集为 8．（23-24高一上·上海·期末）解下列关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)答案见解析. 【分析】（1）由对数运算性质有，应用因式分解及对数函数性质求解即可； （2）由题设可得或，讨论、、，结合指对数函数性质求解. 【解析】（1）由题设且，又，即， 所以，可得或， 所以或. （2）由 所以或， 当，则无解，此时； 当，则或； 当，则无解，此时； 综上，时， 时或， 时. 9．（21-22高一上·上海黄浦·期末）（1）化简：； （2）令，用a表示． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解， （2）利用对数的运算性质求解 【解析】（1）原式， （2）因为， 所以， 10．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知一元二次方程的两个实根为． (1)求，； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接由题意结合一元二次方程的公式法结论验算即可求解. （2）由题意结合一元二次方程的公式法结论即可得证. 【解析】（1）由题意一元二次方程的两个实根为， 不失一般性不妨设， 则，. （2）由（1）不妨设， 则. 11．（22-23高一上·上海奉贤·期末）（1）已知、，求证：，并写出等号成立的条件. （2）若正数、的算术平均值是2，求、的几何平均值的最大值. 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）利用作差法，结合完全平方公式，可得答案； （2）由题意，整理等式可得和的定值，利用基本不等式，可得答案. 【解析】（1）因为， 当且仅当时，等号成立，所以. （2）由题意可得：，即， ，当且仅当，等号成立， 所以、的几何平均值的最大值为. 12．（22-23高一上·上海徐汇·期末）解答下列问题： (1)用表示； (2)已知，且，求M的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可； (2)由题意可得，再根据换底公式可得由，可得，代入计算即可. 【解析】（1）解：因为； （2）解：因为，所以， 所以 又因为， 即， 所以， 所以. 本册函数综合—基础、重点 13．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是上的严格增函数，是上的严格减函数，判断函数的单调性，并利用定义证明． 【答案】函数是上的单调递增函数；证明见解析 【分析】根据题意，结合函数的单调性的定义和判定方法，即可得证. 【解析】解：函数是上的单调递增函数. 证明如下：任取且， 因为函数 是上的严格增函数， 是上的严格减函数， 可得， 则， 即， 所以函数为上的严格增函数. 14．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知a是实数，定义在上的函数是奇函数，其中. (1)求a的值； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)函数在上的增函数，证明见解析 【分析】（1）利用，可求出a的值； （2）先判断出函数为增函数，再根据增函数的定义可证明结论. 【解析】（1）因为是上的奇函数，所以，解得. 所以， 则， 故满足函数是奇函数. 所以. （2）由（1）知，，所以函数在上的增函数， 证明：任取， 则， 因为，，，， 所以，所以， 所以函数在上的增函数. 15．（23-24高一上·上海·期末）设常数，函数. (1)若函数是奇函数，求实数a的值； (2)当时，用定义证明在上是严格减函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用奇函数的定义，即恒成立，求的值； （2）利用作差法直接证明即可． 【解析】（1）由题意知：函数的定义域为， 是奇函数，，即， 即，整理可得：，， （2）证明：由已知得， 任取①，则， 是增函数，， 即，， ，即在,上是严格单调减函数． 16．（23-24高一上·上海·期末）设为实数，已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义法加以证明； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数为偶函数，由求解； （2）利用函数的单调性定义证明. 【解析】（1）解：因为函数为偶函数， 所以，即， 即，化简得， 解得． （2）在区间上是增函数. 由（1）知， 任取，且， 则， ， 因为，所以， 又，则， 所以，即， 所以是区间上的增函数. 17．（23-24高一上·上海·期末）设，其中． (1)若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值； (2)若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数定义可知，由此可构造方程求得结果； （2）根据单调性定义可知对任意，恒成立，由此可整理得到，根据可求得的取值范围. 【解析】（1）由题意得为奇函数，， 又，，解得：. （2）设，在上为严格增函数，恒成立， 即， ，，即， ，，，即的取值范围为. 18．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程即可求解. （2）将问题转化为在上有实数解,求函数在上的值域即可. 【解析】（1）由题得即 故方程的解为. （2）由,得 易知在上是严格增函数, 且当时,当时, 故 19．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数的表达式. (1)判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由 (2)是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由 【答案】(1)在单调递减，理由见解析 (2)存在实数满足题意， 【分析】（1）利用定义法判断函数单调性即可； （2）根据奇函数定义直接求解即可. 【解析】（1）在单调递减，理由如下： 任取，且， 则， 因为，，所以， 所以，所以在单调递减 （2）存在实数，使得函数是奇函数，理由如下： 定义域关于原点对称， 由， 则， 则，即存在实数满足题意， 20．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数的图象经过点，. (1)求实数，的值； (2)若不等式的解集记为，求时，函数的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数过点，，把点代入方程，从而可求解. （2）求出集合，然后利用函数的单调性即可求解. 【解析】（1）由题知点，在函数上，所以，解得， 故，. （2）由得，则， 解得，即， 因为在上单调递增， 故当时， ， 当时，， 所以的值域为. 21．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且． (1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 【答案】(1)，在上的单调递增，证明见详解 (2) 【分析】（1）先由求出实数，再用定义法判断和证明函数的单调性； （2）利用函数的单调性和奇偶性得出关于的不等式，求出取值范围. 【解析】（1）由题知，则，所以. 在上的单调递增. 证明：对，且， 则 ， 因为， 所以，， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）知， 定义域为关于原点对称， 又， 所以为奇函数. 由， 得， 即， 又，， 由（1）知在上的单调递增， 所以， 所以. 22．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，其中是常数，． (1)判断函数的奇偶性，请说明理由； (2)若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用以及求得的值，从而得到函数为奇函数或偶函数时的取值； （2）先求出，把原不等式转化，然后对的值进行分类讨论，再分离参数，从而可确定实数的值. 【解析】（1）依题意，函数的定义域为，关于原点对称， 因为，， ， 由，得，即， 所以，解得； 由，得，即， 所以，解得； 所以当时，函数为奇函数；当时，函数为偶函数；当且时，函数为非奇非偶函数. （2）因为， 所以可转化为，即， 又因为，所以，则： 当时，，则由可得， 又因为当时，，所以，即； 当时，则由可得，故； 当时，，则由可得， 又因为当时，，所以，即； 综上所述，若对任意，均有，则满足条件的实数的值为. 23．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的零点： (2)若函数为偶函数，求实数的值. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）分与去绝对值讨论即可; （2）取特殊值，结合偶函数的定义，求出，验证即可. 【解析】（1）.当时，，无解: 当时，，解得， 故函数的零点为和. （2）若函数为偶函数，， 即，可得，解得. 当时，，定义域关于原点对称， ，故. 24．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数，其中. (1)当时，证明：函数在区间上是严格减函数. (2)讨论函数 的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数. 【分析】（1）由函数单调性的定义证明即可. （2）由函数奇偶性定义进行判断即可. 【解析】（1）由题， 设任意， 则 ， 因为， 所以，且， 则， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数. （2）因为，定义域为R， 则， 若为偶函数，则， 若为奇函数，则，无解， 所以时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数. 25．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意判断出即是方程的两根，即可求解； （2）设的值域为，的值域为，判断出，列不等式组，求出的范围. 【解析】（1）不等式，即， 因为不等式的解集为，即是方程的两根， 将代入方程得，解得， 再由韦达定理得，故. （2）因为存在，，使得成立， 设的值域为，的值域为，则， 的对称轴为，故在上单调递增， 则，即，所以， 当时，，不满足题意； 当时，在上单调递增， 则，即，所以， 由，得，解得； 当时，在上单调递减， 则，即，所以， 由，得，解得， 综上所述，. 26．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数，其中，记 ，且函数是偶函数. (1)求函数的表达式： (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性求出参数，即可求出函数解析式； （2）不等式在区间上恒成立，令，转化为在上恒成立，直接求在上的最大值即可. 【解析】（1）由题知， ， 因为是偶函数，只需，故， 所以. （2）因为，所以， 令，则在区间上恒成立， 看作在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 显然，所以在上恒成立， 因为，所以， 则在上的最大值为时，且为， 所以. 本册实际应用题 27．（2020·上海浦东新·二模）疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案． （1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围． 【答案】（1）当时不满足条件②，见解析（2） 【分析】（1）因为当时，，所以不满足条件② ； （2）求导得：，当时，满足条件①；当时，在上单调递增，所以.由条件②可知，，即，等价于在上恒成立，问题得解. 【解析】（1）因为当时，，所以当时不满足条件② . （2）由条件①可知，在上单调递增， 所以当时，满足条件； 当时，由可得 当时，单调递增， ，解得， 所以 由条件②可知，，即不等式在上恒成立， 等价于 当时，取最小值 综上，参数的取值范围是． 【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题. 28．（22-23高一上·江西·阶段练习）某中学筹办年校庆，需为参加校庆的校友、嘉宾每人准备一份纪念品，共需要准备份纪念品，每份纪念品包含一支钢笔和一个保温杯，现需要将钢笔和保温杯装入精品礼盒.校庆筹备小组共有人，现将其分成两组，一组完成钢笔的装盒工作，另一组完成保温杯的装盒工作，据测算，人一天可完成支钢笔的装盒工作，人一天可完成个保温杯的装盒工作. (1)若安排人完成钢笔的装盒工作，则完成纪念品装盒工作的工期为多久? (2)如何安排两组的人数，才能使工期更短? 【答案】(1)天 (2)安排人完成钢笔的装盒工作，人完成保温杯的装盒工作，可以使得工期最短． 【分析】（1）计算出人完成钢笔的装盒工作或完成保温怀的装盒工作的天数，比较大小后可得出结论； （2）完成纪念品装盒工作的工期的函数解析式，利用函数的单调性求出的最小值，即可得出结论. 【解析】（1）解：若安排人完成钢笔的装盒工作，则完成钢笔的装盒工作需要天， 完成保温怀的装盒工作需要天天． 则完成纪念品装盒工作的工期为天． （2）解：设安排人完成钢笔的装盒工作，则完成钢笔的装盒工作需要天， 完成保温怀的装盒工作需要天，其中． 因为函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增， 所以完成纪念品装盒工作的工期为， 由，即，得． 从而， 因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 计算可得，，且， 所以安排人完成钢笔的装盒工作，人完成保温杯的装盒工作，可以使得工期最短． 29．（2021·上海浦东新·二模）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元． （1）求的值； （2）求年利润的最大值（精确到万元），并求此时的年产量（精确到吨）． 【答案】（1）；（2）当年产量约为吨时，年利润最大约为万元． 【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为万元，列出方程，即可求解； （2）当时，得到，求得万元；当时，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解析】（1）由题意，当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元， 利润为，解得. （2）当时，利润为， 因为对称轴，在上为增函数， 所以当时，万元； 当时，， 当且仅当，即时取等号； 所以当年产量约为吨时，年利润最大约为万元． 30．（23-24高一上·上海·期末）学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. (1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； (2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，求出塑胶跑道面积表达式，并确定定义域； （2）根据已知条件写出运动场造价的表达式，判断函数的单调性，求最小值即可. 【解析】（1）塑胶跑道面积 因为所以，故定义域为 （2）设运动场造价为元； ，令， ，当时，解得， 所以在上恒成立，所以在上为减函数， 所以函数在上为减函数，因为， 所以当时，运动场造价最低为626510元. 31．（23-24高三上·上海·期中）为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】(1)车辆的平均速度为35千米/小时，最大车流量为12000辆/小时； (2). 【分析】（1）利用函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最大值即得. （2）利用给定条件，列出不等式并求解即得. 【解析】（1）当时，函数在上单调递增，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以车辆的平均速度为35千米/小时时，公路段的车流量最大，最大车流量为12000辆/小时. （2）当时，，整理得，解得，则， 当时，，不等式化为： ，整理得，解得或，则， 所以汽车的平均速度应在范围内. 32．（20-21高一上·山东青岛·期中）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展.更多新产品､新技术､新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金4000万元.现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求2022年企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； (2)2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额一成本） 【答案】(1)； (2)2022年产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）. 【分析】（1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式； （2）根据（1）中所求函数关系式，求函数的最大值即可. 【解析】（1）因为当生产10千台空调需另投入的资金4000万元，故，解得； 则， 即 （2）当时，， 当时，取得最大值为； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值为； 综上所述，当时，取得最大值， 即2022年产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）. 33．（19-20高一上·山东济南·阶段练习）一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图像的一部分，当时，曲线是函数，且图像的一部分.根据研究，当注意力指数不小于80时听课效果最佳. (1)求的函数关系式； (2)有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由. 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数求出t∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可. (2)对分段函数，分别解不等式，求出的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断. 【解析】（1）当时，设， 将点(14,81)代入得， ∴当时，； 当时，将点代入，得. 所以 （2）当时， ， 解得:， 所以； 当时，， 解得，所以， 综上时学生听课效果最佳. 此时. 所以，教师能够合理安排时间讲完题目. 故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完. 34．（10-11高三上·黑龙江牡丹江·期中）为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室． 【答案】(1) (2)0.6 【分析】（1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论； （2）利用指数函数的单调性解不等式． 【解析】（1）解：依题意，当时，可设，且， 解得 又由，解得， 所以； （2）解：令，即， 得，解得， 即至少需要经过后，学生才能回到教室． 35．（23-24高一上·上海松江·期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元/件）关于第天的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）关于第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 90 95 100 95 90 已知第10天的日销售收入为459元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型：①;② ；③ ；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式： (3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元），求该函数的最小值. 【答案】(1)1 (2)选择模型②， (3)441 【分析】（1）根据题意直接代入求值即可； （2）根据题中几个函数模型的相关概念直接选择合适的模型，通过代入求值即可得到函数表达式； （3）通过讨论和的最小值并比较即可. 【解析】（1）因为第10天的日销售收入为459元， 所以，解得 （2）由表可知，随的增加先增加后减小， 模型①③④均为单调函数，所以②模型符合题意， 所以代入，解得， 所以 （3）由（1）知，， 由（2）知，， 所以， 所以， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 当时，在单调递减， 所以， 因为，所以函数的最小值为441 本册函数综合—提高 36．（21-22高一上·北京西城·期末）已知函数． (1)判断函数f (x)的单调性，并用定义给出证明； (2)解不等式：； (3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)f (x)在R上单调递增；证明见解析； (2)； (3){－3} （1，+∞）. 【分析】（1）利用函数单调性的定义及指数函数的性质即得； （2）由题可得，然后利用函数单调性即得； （3）由题可得方程有且只有一个正数根，分m=1，m≠1讨论，利用二次函数的性质可得. 【解析】（1）f (x)在R上单调递增； 任取x1，x2∈R，且x1<x2，则 ∵ ∴， ∴． 即． ∴函数f (x)在R上单调递增． （2）∵， ∵，∴， 又∵函数f (x)在R上单调递增， ∴， ∴不等式的解集为． （3）由可得， ， 即，此方程有且只有一个实数解． 令，则t >0，问题转化为： 方程有且只有一个正数根． ①当m=1时，，不合题意， ②当m≠1时， （i）若△=0，则m=－3或， 若m =－3，则，符合题意； 若，则t = －2，不合题意， （ii）若△>0，则m<－3或， 由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得m>1． 综上，实数m的取值范围是{－3} （1，+∞）． 37．（21-22高二下·陕西西安·阶段练习）已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解. 【解析】（1）因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以， 又因为定义域关于原点对称，所以，即， 所以; （2）在上单调递增， 设任意，且, 则, 因为，所以， 又，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）因为，所以， 由存在，使得成立， 则，存在时成立， 令，， 则，存在时成立， 构造函数， 故， 而，当且仅当，即取等号， 对于单调递减，在单调递增， 所以，, 所以, ∴ 故的取值范围为. 38．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解. 【解析】（1）由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； （2）对任意的、，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在上单调递增， 则，， 所以， 由于在上单调递增， 所以， 要使对任意的、，总存在，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； （3）对任意的，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，， ，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 39．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知定义在上的奇函数的表达式为(且). (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围； 【答案】(1)3 (2)在单调递增；实数的取值范围为 (3) 【分析】（1）利用奇函数性质求出再检验即可； （2）利用定义法判断函数单调性，结合奇函数的性质和函数单调性解不等式，转化为函数最值问题再求解即可； （3）利用换元法转化为在有两个不相等的实根，结合二次函数相关知识求解即可. 【解析】（1）因为定义在上的奇函数的表达式为(且)， 所以，得， 此时， 则符合题意， 所以实数的值为3 （2）在单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以， 所以，所以在单调递增； 由，即， 因为是定义在上的奇函数，所以， 因为在单调递增，所以， 所以存在，使得成立， 因为对称轴为， 所以当时，取得最小值， 所以，即实数的取值范围为 （3）由题意得，令， 即， 令，则在有两个不相等的实根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为 40．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且图象如图所示.    (1)根据奇函数的对称性，在如图的坐标系中画出时图象； (2)①求当时，的解析式； ②说明当时，的单调性并用单调性定义证明. 【答案】(1)作图见解析； (2)①；②单调递减，证明见解析. 【分析】（1）利用奇函数图象关于原点对称作出时图象. （2）①利用奇函数的定义求出当时，的解析式；②单调递减，再利用单调性定义结合对数函数单调性推理即得. 【解析】（1）由于奇函数图象关于原点对称，因此作出函数在时的图象关于原点的对称图形， 即得函数在时的图象，如图：    （2）①当时，，由函数是奇函数得， 当时，，则， 所以当时，的解析式为：. ②当时，是单调递减函数，证明如下： ，且，， 由，得，而函数在上单调递减， 即，于是，即， 所以当时，是单调递减函数. 41．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)该函数的定义域为，奇函数 (2)单调递增，证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据对数的性质，结合函数奇偶性的定义进行求解即可； （2）根据对数的单调性，结合函数单调性的定义进行判断说明即可； （3）根据函数单调性的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【解析】（1）由，或， 因此该函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以该函数是奇函数； （2）函数在上单调递增，理由如下： 设，则有， 因为，所以， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以有， 因此函数在上单调递增； （3）， 由（2）可知函数当时单调递增， 而函数当时也单调递增， 所以函数当时也单调递增， 显然当时，函数有最小值， 最小值为， 因此要想对于任意，不等式恒成立， 只需，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：利用函数单调性的性质，结合任意性的定义是解题的关键. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$