清单14 导数的综合问题（考点清单，知识导图+1个考点清单+9题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单14 导数的综合问题（1个考点梳理+9题型解读+变式训练） 【清单01】导数的综合问题 1、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 2、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 3、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 5、利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 考点题型1：构造函数解不等式问题 【典例1-1】（2024·高二·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·安徽安庆·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点题型2：证明不等式 【典例2-1】（2024·高二·山东菏泽·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明：； (3)证明：. 【典例2-2】（2024·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)若，求在区间上的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 【变式2-1】（2024·高二·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)证明：当时，． 【变式2-2】（2024·高二·黑龙江·期末）已知，函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：，. 【变式2-3】（2024·高二·河南漯河·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)对任意的恒成立，求的值； (3)证明：. 【变式2-4】（2024·高二·吉林长春·期末）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)令，证明：当时，. 【变式2-5】（2024·高二·北京丰台·期末）已知函数（）． (1)若在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，求证：． 考点题型3：恒成立问题 【典例3-1】（2024·高二·北京海淀·期末）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的值. 【典例3-2】（2024·高二·黑龙江绥化·期末）已知函数，． (1)若在上有两个极值点，求a的取值范围； (2)证明：若在 上恒成立，则． 【变式3-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程； (2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 【变式3-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 考点题型4：能成立问题 【典例4-1】（2024·高二·四川绵阳·期末）已知函数. (1)若， 求曲线在点处的切线方程; (2)若无零点，求实数的取值范围; (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【典例4-2】（2024·高二·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【变式4-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【变式4-2】（2024·高二·江苏南京·期末）设 R，已知函数， (1)讨论函数 的单调性； (2)设 Z，若有解，求 的最小值. 【变式4-3】（2024·高二·黑龙江双鸭山·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)存在且，使成立，求的取值范围． 【变式4-4】（2024·高二·天津·期中）已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【变式4-5】（2024·高二·福建泉州·期中）已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围. 考点题型5：零点问题 【典例5-1】（2024·高二·河南洛阳·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间; (2)讨论函数在区间内的零点的个数. 【典例5-2】（2024·高二·河北邢台·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 【变式5-1】（2024·高二·湖南·期末）已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数. 注：若，当时，，当时，. 【变式5-2】（2024·高二·广东深圳·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在的切线方程； (2)设在区间上的最大值为，求，并判断函数的零点个数. 【变式5-3】（2024·高二·海南海口·期末）已知函数. (1)当时，求在区间上的极大值； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围. 考点题型6：方程的根问题 【典例6-1】（2024·高二·陕西汉中·期末）已知函数. (1)求的单调区间及极值点； (2)若方程有三个不同的根，求整数的值. 【典例6-2】（2024·高二·黑龙江·期末）已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 【变式6-1】（2024·高二·江西景德镇·期末）已知函数. (1)求的极值点； (2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由. 【变式6-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知函数，. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明. 【变式6-3】（2024·高二·北京房山·期中）设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若已知，且的图象与相切，求的值； (3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求的取值范围． 考点题型7：双变量问题问题 【典例7-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值. 【典例7-2】（2024·高二·陕西西安·期末）已知函数. (1)若 ，求 的单调区间； (2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 【变式7-1】（2024·高二·山东威海·期末）设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，若，证明：. 【变式7-2】（2024·高二·河北石家庄·期末）设函数． (1)讨论的单调性； (2)已知为的两个极值点，证明：． 【变式7-3】（2024·高二·西藏拉萨·期末）已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； (3)设是函数的两个极值点，证明： 【变式7-4】（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数存在两个不同的极值点. (1)求的取值范围； (2)设函数的极值点之和为，零点之和为，求证：. 考点题型8：实际应用问题 【典例8-1】（2024·高二·山东德州·期中）某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 【典例8-2】（2024·高二·广东清远·期中）已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 【变式8-1】（2024·高二·福建龙岩·期中）二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式8-2】（2024·高二·北京西城·期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数； (2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 【变式8-3】（2024·高二·重庆·期末）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元. (1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？ (2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？ 考点题型9：极值点偏移问题 【典例9-1】（2024·高二·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【典例9-2】（2024·高二·江苏扬州·期末）已知函数. (1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，求证：. 【变式9-1】（2024·高二·辽宁本溪·期末）已知函数的导函数为. (1)若，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【变式9-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，求证：. 【变式9-3】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【变式9-4】（2024·高二·江西上饶·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的最大值； (2)讨论的单调性； (3)若在上单调递增，存在且，使得，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单14 导数的综合问题（1个考点梳理+9题型解读+变式训练） 【清单01】导数的综合问题 1、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 2、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 3、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 5、利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 考点题型1：构造函数解不等式问题 【典例1-1】（2024·高二·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，， ，即函数在上单调递减， 等价于，解得. 即的解集为. 故选：D 【典例1-2】（2024·高二·安徽安庆·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以不等式等价转化为不等式，即， 构造函数，则， 由题意，，所以为上的增函数， 又，所以， 所以，解得，即， 所以. 故选：B 【变式1-1】（2024·高二·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 对任意实数x，有， 所以，则在上单调递减. 因为为奇函数，且的定义域为R， 所以，所以，所以. 因为，所以求不等式的解集， 即求的解集，即求的解集， 因为在上单调递减，所以的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：B 【变式1-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为：， 即，则有，即， 即，即， 解得. 故选：B. 【变式1-3】（2024·高二·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， 所以函数单调递增， ， 即，得，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 考点题型2：证明不等式 【典例2-1】（2024·高二·山东菏泽·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明：； (3)证明：. 【解析】（1）由， ①当时，，因此在上单调递增； ②当时，由， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在单调递减； ③当时，，因此在上单调递减. （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 又，所以，即，因此， 因此要证明 即证明， 只需证明， 即证：， ，即证 令， 则， 因此在上单调递增，，则， 即，得证. （3）由（2）知：，令，有 …… 累加得 即得：. 【典例2-2】（2024·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)若，求在区间上的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 【解析】（1）当时，，则， 1 0 单调递减 极小值 单调递增 在区间上有极小值，无极大值； （2）函数的定义域为， 当时，，从而，故函数在上单调递减； 当时， 若，则，从而； 若，则，从而， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3）当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，只需证明：， 即证成立， 设，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 可得，即，得证. 【变式2-1】（2024·高二·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)证明：当时，． 【解析】（1）当时，，则， 令，则恒成立， 在上单调递增，又因为， 则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）证明：， 所以，令， 则，所以在上单调递增， 当时，，又， 有，即单调递减；，即单调递增， 所以，而此时， 所以当时，成立； 当时，可得，所以，所以， 又，所以存在，使得，即， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，由可得， ， 下面证明， 令，所以， 所以在上单调递增，所以， 即得证，即成立， 综上，当时，成立． 【变式2-2】（2024·高二·黑龙江·期末）已知，函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：，. 【解析】（1）因为， 所以. 若，则在上恒成立. 若，则由，得，当时，， 当时，. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） . 令，则要证， 即证恒成立， 即证，即证，需证. 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则，即， 则， 则，当且仅当时，等号成立，从而，证毕. 【变式2-3】（2024·高二·河南漯河·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)对任意的恒成立，求的值； (3)证明：. 【解析】（1）的定义域为， 当时，令，得的单调递增区间为； 令，得的单调递减区间为. 当时，令，得的单调递增区间为； 令，得的单调递减区间为. （2）等价于， 令，则不等式等价于， ， 当，则在上单调递减，， 时不合题意； 当，令得，令得， 故的递增区间为，递减区间为， 若， ，则当时，，不合题意； 若，，适合题意； 若， ，则当时，，不合题意； 综上，. （3）由（2）知：当时，有，当且仅当时等号成立. 时，， ， ， ， ， ，即， . 【变式2-4】（2024·高二·吉林长春·期末）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)令，证明：当时，. 【解析】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在内单调递增； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，在内单调递增； 若，在内单调递减，在内单调递增. （2）若，则， 由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 所以，即当且仅当时，等号成立， 因为，则，即； 因为，则， 且，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可得，即； 所以. 【变式2-5】（2024·高二·北京丰台·期末）已知函数（）． (1)若在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，求证：． 【解析】（1）由已知得， 设，， 因为在区间上单调递减， 所以时，恒成立． 因为时，， 所以在区间上单调递减， 所以的最大值为，即． 当时，符合题意． 所以． （2）当时，，， 则． 设，则， 所以在区间上单调递减． 因为，， 所以，使得， 即． 当变化时，，，的变化如下表： ＋ 0 － ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 所以的最大值为 ． 因为，所以，， 所以，故． 考点题型3：恒成立问题 【典例3-1】（2024·高二·北京海淀·期末）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的值. 【解析】（1），由，函数定义域为. 则， ∵在处取得极值， ∴， 设，则在单调递减， 至多一个实数根，又， 方程有且仅有一个实数根. 当时，，其中. ， ， 当时，，则，在单调递增； 当时，，则，在单调递减； 所以在处取得极大值，极大值为. 故的增区间是，减区间是； （2）由（1）知，当时，在处取最大值，且最大值为， 即任意时，都有，满足题意. 由，得， 令，则，不等式转化为， 即在恒成立. 设，其中， ，其中， ①当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递减， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； ②当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递增， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； 综上所述，若对于任意，都有，则. 【典例3-2】（2024·高二·黑龙江绥化·期末）已知函数，． (1)若在上有两个极值点，求a的取值范围； (2)证明：若在 上恒成立，则． 【解析】（1）由题可得， 若在上有两个极值点，则关于x的方程有两个不同的正实根， 即方程有两个不同的正实根． 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，，当时，，所以，即， 所以a的取值范围为． （2）由题得在[0,)上恒成立， 即恒成立． 令， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，． 令（）， 则（）， 所以函数在[0,1)上单调递增， ，， 所以在区间上存在唯一零点，使得函数在上小于零，在上大于零， 即在区间上大于零，在区间上小于零， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又， 所以， 所以，原式得证． 【变式3-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程； (2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域，当时，， ，，， 所以过点的切线方程为，即； （2）由得，． 当时，，在上单调递减， 无极值，故舍去； 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以存在极小值，且． 令，， ，因为，所以， 所以在上单调递增， 且，由得， 所以． 【变式3-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 当时，，所以在单调递增. 当时，令，解得， 当当， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，， 故，即为， 令，，所以在上单调递增. 且，所以，故的取值范围为 （3）由，得， 令，所以， 由于均为上的单调递增函数，且值恒为正，又为单调递增函数， 故函数在上单调递增， 又， 故存在唯一的使得，当时，，当时，，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 由，则，所以， 设，， 所以在单调递增，，即，所以， 故 所以,即 所以的取值范围是 考点题型4：能成立问题 【典例4-1】（2024·高二·四川绵阳·期末）已知函数. (1)若， 求曲线在点处的切线方程; (2)若无零点，求实数的取值范围; (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，则，     ∴切线斜率为，又，     ∴所求切线方程为； （2）方法一：函数的定义域是， ∴，     ①若，则，在上单调递增， ，， ∵，，，则， 则仅有一个零点，且零点位于；     ②当，则当时，当时， 所以在上单调递减，在单调递增； 因为的最小值为， 若时，，此时无零点；     若时，，此时仅有一个零点；     若时，，，此时至少有一个零点； 综上所述，．     方法二：令，则，     设，则，     所以当时，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值为，且当趋于时趋于， 依题意与无交点，所以， ∴要使在定义域上无零点，则． （3）因为， 所以问题转化为在区间有解， 令，即， 则     ①当时，，∴时，，在上单调递减， 此时，，不符合题意；     ②当时， ∴时，，在上单调递减， ∴，即时，，符合题意；     ③当时， ∴时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， ∴，，符合题意； 综上所述，． 【典例4-2】（2024·高二·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【解析】（1）易知函数定义域为，因为 ， 令 ，得 令 ，得，令 ，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由 ，得 ， 因为，所以，， 当时，，符合题意； 设， 当时，则，所以在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，令，得 ， 令，得 ，所以 ， 则存在，使，满足题意， 综上，的取值范围是. 【变式4-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是奇函数，所以， 即，所以，所以． 由，得． 因为在上取得极大值， 所以，解得， 经检验，当时，在处取得极大值， 故． （2）由（1）可知，， 当时，， 当和时，， 即在上单调递增，在，上单调递减， 所以在取得极小值，在处取得极大值， 又因为，，，， 所以在上的最大值为，最小值为， 要使得有解，则，解得， 所以的取值范围为． 【变式4-2】（2024·高二·江苏南京·期末）设 R，已知函数， (1)讨论函数 的单调性； (2)设 Z，若有解，求 的最小值. 【解析】（1） ①当时，令 ，则 ，所以 当 时，在 上单调递减； 当 时，在 上单调递增. ②当时，，所以 当 时，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递减； 当 时，在 上单调递增. ③当 时，，则 在 上单调递增. ④当时，，所以 当 时，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递减； 当 时，在 上单调递增. 综上所述：当 时，在 上单调递减，上单调递增； 当时，在 上单调递增，上单调递减，上单调递增； 当 时，在 上单调递增；当时，在 上单调递增，上单调递减，上单调递增. （2）由可得，即， 记，则定义域为. 设，则恒成立，则在单调递增. 又 【理由：，而； 而】 所以存在唯一 ，使得 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增. 因为 ，所以，即 且. 所以 . 令，则 当恒成立， 所以 在 上单调递增，且 ， 所以 所以整数的最小值为 . 【变式4-3】（2024·高二·黑龙江双鸭山·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)存在且，使成立，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得，令得， 时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减； 综上，单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由题意存在且，不妨设， 由（1）知时，单调递减． 等价于， 即， 即存在且，使成立． 令，则在上存在减区间． 即在上有解集，即在上有解， 即，； 令，，， 时，，在上单调递增， 时，，在单调递减， ∴，∴． 【变式4-4】（2024·高二·天津·期中）已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1），， 令，解得， 当时，，当时，， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. （2），， 则， 因为在单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即， 设，， 所以在上单调递增， 所以， 所以，故的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 由（1）知在上单调递增， 所以当时，， ，， ， 当时，，单调递减， ， ， ， 的取值范围为. 【变式4-5】（2024·高二·福建泉州·期中）已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围. 【解析】（1）的定义域为， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得， 若，则，所以在上单调递增， 若，则，所以在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）在上有解在上有解， 在上有解， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 因为 所以， 所以， 故实数的取值范围是. 考点题型5：零点问题 【典例5-1】（2024·高二·河南洛阳·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间; (2)讨论函数在区间内的零点的个数. 【解析】（1）当时，， 令，得或； 令，得或; 令，得或; 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由，得 设函数， 讨论函数在区间内的零点个数等价于研究函数与直线在区间内的交点的个数， 由知， 当时，在上单调递减; 当时，在上单调递增. 当时，在区间内取最小值. 又，且当时，， 综上，当时，函数与直线在区间内无交点，函数在区间内无零点; 当或时，函数与直线在区间内有一个交点，函数在区间内有一个零点， 当时，函数函数与直线在区间内有2个交点. 【典例5-2】（2024·高二·河北邢台·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）的定义域为， . 若，则恒成立，在上单调递增； 若，则当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）， 则， 又因为函数单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当，即时，， ， 所以在和上各有一个零点. 当时，的最小值为，且， 所以在上至多只有一个零点. 综上，实数的取值范围是. 【变式5-1】（2024·高二·湖南·期末）已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数. 注：若，当时，，当时，. 【解析】（1）由函数，可得， 因为是的极大值点，则，解得， 当时，可得， 当时，，令，则， 所以在上单调递减，则，即， 此时在上单调递增； 当时，令，可得，则， 故即单调递减， 又因为，所以当时，单调递减， 所以，当时，是的极大值点，符合题意. （2）（I）由函数， 当时，，，此时无零点； （II）当时，可得， ①若，即时，， 此时不是的零点； ②若，即时，， 此时是的零点； （III）当时，，零点个数等于零点个数， 显然是的一个零点； 当时，可转化为， 令，则， 由（1）知，， 所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，， 可得，函数的图象所示： ①当或或时，有1个零点； ②当或时，有2个零点； ③当时，无零点. 综合（I）（II）（III）得： 当或时，有2个零点； 当或或时，有3个零点； 当或时，有4个零点. 【变式5-2】（2024·高二·广东深圳·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在的切线方程； (2)设在区间上的最大值为，求，并判断函数的零点个数. 【解析】（1）当时，，所以，所以， 所以切线方程为，即； （2）， 则， 当时，由，则，所以单调递减； 所以在区间上的最大值为， 当时，知时，单调递增，时，单调递减， 所以最大值为， 所以， 当时，，显然无零点； 当时，，则， 所以在时单调递增，又， ， 所以根据零点存在性定理知：在时只有唯一零点， 综上所述，只有一个零点。 【变式5-3】（2024·高二·海南海口·期末）已知函数. (1)当时，求在区间上的极大值； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，所以， 由三角函数性质可知时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 即是函数在区间上的极大值； （2）问题等价转化为在区间上有解， 令，，则， 令，所以单调递减， 则，即， 故在时单调递减，此时， 所以. 考点题型6：方程的根问题 【典例6-1】（2024·高二·陕西汉中·期末）已知函数. (1)求的单调区间及极值点； (2)若方程有三个不同的根，求整数的值. 【解析】（1）因为，所以. 令，得或，令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 故的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值点为1，极小值点为3. （2）由（1）知在，上单调递增，在上单调递减. 因为，， 当时，，当时，， 且方程有三个不同的根，所以 所以的取值范围是. 因为，所以，故整数的值为. 【典例6-2】（2024·高二·黑龙江·期末）已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 【解析】（1）由，得，则. 因为，， 所以的图象在点处的切线方程为. （2）显然不符合题意， 又， 当时，可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 且当时，， 当时，， 所以，化简可得， 因为在上单调递减，且， 所以不等式的解集为. 当时，可知当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则， 且当时，， 当时，， 所以关于x的方程不可能有两个不同的实数解. 综上，a的取值范围为. 【变式6-1】（2024·高二·江西景德镇·期末）已知函数. (1)求的极值点； (2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由. 【解析】（1）， 当时，；当时，， 在单调递增，单调递减， 的极大值点为1，无极小值点； （2）方程在区间上只有1个解，理由如下： 令， 则， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又， 在有一个零点，在无零点， 所以方程在区间上只有1个解. 【变式6-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知函数，. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明. 【解析】（1），则有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 则当时，恒成立， 故在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 即有，故； （2）当时，关于的方程有三个不同的实数根，证明如下： 当时，令，即， 令，则， 由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 故存在，，使， 由，故是方程的一个根， 则，，又时，， 故存在，使，即是方程的一个根， 存在，使，即是方程的一个根， 综上所述，当时，关于的方程有三个不同的实数根. 【变式6-3】（2024·高二·北京房山·期中）设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若已知，且的图象与相切，求的值； (3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 当或时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）因， 则， 设函数与直线相切的切点是， 因为，所以， 所以有， 可得， 又，相减得， 所以，所以， 解得：； （3）时，， 的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根， 设函数，则， 时，或时，， 在和上单调递增，在上单调递减， 时取极大值时取极小值， 所以的取值范围为． 考点题型7：双变量问题问题 【典例7-1】（2024·高二·江苏盐城·期末）设函数, (1)讨论函数的单调性； (2)若，是函数的两个零点，且，求的最小值. 【解析】（1）由已知， 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，得，函数单调递减； 令，得，函数单调递增； 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）得若，是函数的两个零点，则必有， 令，得， 令，则， 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 若有且仅有2个零点，则必有一个小于，一个大于， 所以，且， 两式相减可得，所以， 两式相加可得 设， 则，令， 则，令， 则，令， 则，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 即的最小值为. 【典例7-2】（2024·高二·陕西西安·期末）已知函数. (1)若 ，求 的单调区间； (2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 【解析】（1）若，， 令，得或， 当或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； （2）， 令，可得， 由题意可得，是关于方程的两个实根， 所以，， 由，有， 所以， 将代入上式，得， 同理可得， 所以， ，①， 令,①式化为， 设，即， ， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，在上单调递增，所以， 所以，在上单调递减， 又， ， 当时，的最小值为4，即的最小值为2， 因为在上单调递减，的最大值为， 所以的最大值为. 【变式7-1】（2024·高二·山东威海·期末）设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，若，证明：. 【解析】（1）设切点为，， 所以切线方程为， 因为直线是曲线的切线， 所以，即， 化简切线方程得， 所以，解得， 所以. （2）， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，令，解得， 所以在上单调递增， 令，解得， 所以在上单调递减， 综上可知，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意知，， 令， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得， 所以在上单调递减， 因为， 所以，中至少有一个大于（否则若，有，这与矛盾）， 不妨设，， 所以， 所以， 令 ， 因为，所以，即，又， 所以，即， 可得， 所以. 【变式7-2】（2024·高二·河北石家庄·期末）设函数． (1)讨论的单调性； (2)已知为的两个极值点，证明：． 【解析】（1）由，， 得， 令， ①当时，，则，所以在单调递增； ②当时，，令，则，解得或， i)当时，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ii)当时，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，当且时，有2个极值点，且， 则 ， 令，， 设，则， 则在单调递增，即在单调递增， 又， 所以当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以，所以当且时，， 所以，即． 【变式7-3】（2024·高二·西藏拉萨·期末）已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； (3)设是函数的两个极值点，证明： 【解析】（1）当时，，， 则，， 所以的图象在处的切线方程为：， 即； （2）定义域为， ， 因为函数存在单调递减区间，所以在上有解， 因为，设，则， 所以只需或， 解得或， 故实数的取值范围为； （3）由题意可知，， 因为有两个极值点， 所以是的两个正根，则且， 所以 ， 所以要证， 即证， 即证，即证，即证， 令，则证明， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 【变式7-4】（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数存在两个不同的极值点. (1)求的取值范围； (2)设函数的极值点之和为，零点之和为，求证：. 【解析】（1）由已知函数的定义域为， 当时，，函数在单调递增，无极值点， 当时，，， 又函数有两个不同的极值点，即在有两个解， 即方程有两个解， 可转化为函数，与直线有两个公共点， 又，令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值为， 做出函数，与图像如图所示， 所以，解得. （2）由（1）得有两个解，设为，，且， 则当时，，即，函数单调递减， 当时，，即，函数单调递增， 当时，，即，函数单调递减， 又， 所以函数至多有三个零点， 当时，令，即， 则， 即函数除以外的零点即为方程的解，且 设，则， 又函数，恒成立，单调递减，且当时，， 所以当时，，即，单调递增，且此时恒成立，又 当时，，即，单调递减，且此时恒成立，由， 所以又两个解，设为，，且， 又，， 所以， 所以函数的零点之和， 所以若证，可证， 即证， 由（1）可知， 则， 设，， 所以恒成立， 所以在上单调递减， 所以， 即， 即， 又由（1）得在上单调递减， 所以，即， 所以. 考点题型8：实际应用问题 【典例8-1】（2024·高二·山东德州·期中）某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 【解析】（1）由题意可知，销售收入为万元， 当产量不足万箱，即时， . 当产量不小于万箱，即时， . 综上可得. （2）设， 当时，， 则当时，当时， 可知在上单调递增，在上单调递减. 则， 当时，由基本不等式可知， 当且仅当，即时取等号. 又，所以当产量为万箱时，所获利润最大值为万元. 【典例8-2】（2024·高二·广东清远·期中）已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 【解析】（1）由题意当时，， 当时，， 综上可得. （2）①当时，， 则， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 所以当时，取最大值，且. ②当时，， 当且仅当，即时等号成立. 综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元. 【变式8-1】（2024·高二·福建龙岩·期中）二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【解析】（1）由题意，当时，， 当时，. 所以. （2）当时，，令，解得. 当，，当，； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时， 当时，，当且仅当，即时取等号. 综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 【变式8-2】（2024·高二·北京西城·期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数； (2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 【解析】（1）因为水池底面边长，所以长方体水池高为， 所以； （2）令，所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值， 所以为使水池的总造价最低，应确定水池底面的边长为. 【变式8-3】（2024·高二·重庆·期末）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元. (1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？ (2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？ 【解析】（1）由 有，令，得或（舍）， 当时，,单调递减， 当时，,单调递增， 所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低； （2）设司机的工资为元，则行车的总费用为 ，由题意知时，， 得，即司机每小时的工资为150元. 考点题型9：极值点偏移问题 【典例9-1】（2024·高二·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【解析】（1）由，可知， 因为在处的切线斜率为3， 所以. 所以. （2）证明：由（1）知， 不妨设，则. 令 因为， 所以在上单调递增，. 故， 所以在上单调递增，， 所以. （3）由（1）知， 不妨设，令 由即得，即. 即，则， 所以， 要证. 设，则. 则在上单调递减，，故成立. 【典例9-2】（2024·高二·江苏扬州·期末）已知函数. (1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，求证：. 【解析】（1）当时，. 设切点，则 消得，解得，代入得. （2）方法一：因为， 所以， 当时，设，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 又-axe，故恒成立，所以成立. 当时，， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 故，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为. 方法二：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 设，则. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 故的取值范围为. 方法三：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以. 令，则，则恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，所以，所以. 故的取值范围为. （3）方法一：因为有两个零点，不妨设， 则， 即，即， 令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即. 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则， 故在上单调递减， 又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：要证，即证，即证. 令，即证. 构造函数. 则， 故在内单调递减，则，即. 故. 思路三：因为，即， 令，则 即 要证，即证， 即证，即证， 下同思路一，略. 方法二：因为有两个零点，不妨设， 则， 即. 令，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则 ， 令，则， 所以当时，单调递减， 所以当时，，则，所以， 故在上单调递减，又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：因为，所以， 即， 令，要证，即证， 即证. 构造函数. 则， 故在上单调递减，则. 故. 注：要证明，即证，构造函数. 则， 故在上单调递减，则.故. 思路三：令，则即. 要证，即证，即证. 下同思路二，略. 思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 【变式9-1】（2024·高二·辽宁本溪·期末）已知函数的导函数为. (1)若，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【解析】（1）易知的定义域为， ， 由，得在上恒成立. 设， 则， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递 减，所以， 所以， 故的取值范围为. （2）证明：由题意可知有两个零点， 即， 不妨设，则， 要证，即证， 即证， 即证， 即证， 令，则，只需证. 设，则， 所以在上单调递增， 则，则， 故. 【变式9-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，求证：. 【解析】（1）当时，函数，求导得， 当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 所以函数的递减区间是，递增区间是. （2）不等式，令， 求导得，当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减，因此，则， 所以的取值范围是. （3）由，得，由（2）知，是直线与函数图象的两个交点的横坐标， 而，当时，恒成立，因此有两个零点时，， 由两边取对数得，于是， 则，整理得， 令，由，得，即有， 则，解得，由，得， 因此，令，求导得， 令，求导得，即在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递增，， 于是，所以. 【变式9-3】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【解析】（1），当时即解得 检验：当在递减；在递增 则是极小值点成立，所以. （2）由题意得函数的零点即方程的实根， ①（i）当时不成立. （ii）当时，令， 的减区间增区间. 当时..当时， 若有两个零点.即有两个实根， 则的取值范围. ②方法一： ， 令， 于是， ， 令，则， ， 则在单调递减，所以， ， 则在单调递减， 又因为， 方法二： ，令 ，令， 在单调递减，又因为，所以， 即，在单调递减， ， 又因为， 又因为在单调递增， 所以所以. 【变式9-4】（2024·高二·江西上饶·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的最大值； (2)讨论的单调性； (3)若在上单调递增，存在且，使得，证明：． 【解析】（1）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立． 因为，所以，即对恒成立． 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即实数的最大值是2． （2）． ①当时，，则在上单调递增； ②当时，，则在上单调递增； ③当时，令，得， ，解得或； ，解得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减． （3）证明：因为，所以， 因为在上单调递增，所以． 要证，即证． 因为在上单调递增，所以只需证． 又因为，所以只需证， 即证． 记， 则， 所以在上单调递增，所以， 故成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$