清单12 数列求和（考点清单，知识导图+1个考点清单+7题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单12 数列求和（1个考点梳理+7题型解读+变式训练） 【清单01】数列求和 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 三．常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 考点题型一：公式法 【典例1-1】（2024·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）设的公比为，因为， 所以，即， 解得或（舍去）， 故的通项公式为. （2）由（1）知，设的前项和为， 则. 【典例1-2】（2024·湖南·高二校联考期中）等差数列满足，，前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值. 【解析】（1）设首项为，公差为， 因为等差数列满足，， 所以，解得， 所以； （2）因为当时，，当时，， 所以的最大值为， 因为， 所以. 【变式1-1】（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）等差数列满足：首项为2，公差为是的前项和. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 【解析】（1）因为数列是首项为2公差为2的等差数列， 所以，即； （2）因为，所以， 所以是以2为首项2为公比的等比数列， 所以， 所以 考点题型2：错位相减法 【典例2-1】（2024·高二·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 【解析】（1）由时，，知数列是等差数列， 由得，知数列的公差为1， 则， ， 当时，，且也满足上式， ， ，由为定值，知数列是等比数列. （2）易得， 则 则 两式相减得， 化简得. 【典例2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【解析】（1）当时，，解得， 当时，由， 得， 作差得. 所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以，故 （2）令 所以， ， 两式作差得 所以 【变式2-1】（2024·高二·江西新余·期末）已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由， 则， 由①式平方除②式得：，得,或（舍） 故， 通项公式分别为. （2） ， 两式相减可得 . ， 数列为递增数列， 又，. 【变式2-2】（2024·高二·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 【解析】（1），， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； ， 当时，，即， 当时，，所以，即， 当时，，； （2）由（1）得 ， ， 作差可得， . 【变式2-3】（2024·高二·福建·期中）设数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解析】（1）依题意有， 所以，，，. 累加这个式子得，， 又，所以显然满足上式，所以. （2）由（1）知，所以， ， 两式相减得：， 所以， 整理得. 【变式2-4】（2024·高二·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列的公比为， 由题意，得，解得， ∴或 （2）∵，由（1）知，，， 令  ① 则      ② 得 即 所以. 考点题型3：分组求和法 【典例3-1】（2024·高二·山东青岛·期中）已知数列为等差数列，首项，公差，． (1)证明是等比数列； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）因为数列为等差数列，首项，公差，所以， 当时，，且， 所以数列是以3为首项，以9为公比的等比数列. （2）由（1）得：， 所以 . 【典例3-2】（2024·高二·福建莆田·期中）已知正项等差数列满足：且成等比数列. (1)求数列的通项公式： (2)若数列为递增数列，数列满足：，求数列的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由成等比数列可得， 解得或； 当时，可得， 当时，可得； 所以数列的通项公式为或. （2）由（1）可得，所以； 因此， 所以 即数列的前项和. 【变式3-1】（2024·高二·上海·期中）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【解析】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以. 【变式3-2】（2024·高二·湖南永州·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得， 所以数列的通项公式为：. （2）由（1）知，则 . 【变式3-3】（2024·高二·福建福州·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）当时，，则， 因为①， 所以时，②， 由①－②得，时，，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1），得， 所以， . 【变式3-4】（2024·高二·辽宁辽阳·期末）设依次是等比数列的前3项，其中为正数. (1)求； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）依题意可得， 整理得，解得或1. 因为为正数，所以， 所以的前3项依次是，所以. （2）由（1）知， 所以， 所以 . 考点题型4：裂项相消法 【典例4-1】（2024·高二·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 【典例4-2】（2024·高二·云南昆明·期末）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求． 【解析】（1）因为， ， 即， 数列是首项， 公差的等差数列， 故， （2）因为， =. 【变式4-1】（2024·高二·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 【解析】（1）因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； （2）由（1）知， 故， 因，，故得. 【变式4-2】（2024·高二·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 【解析】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 当时，，即，当时，，即， 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 所以. 【变式4-3】（2024·高二·江苏苏州·期中）已知数列和数列，为数列的前项和，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和 【解析】（1）已知①， 当时，，得， 当时，②， ①-②得：，即， 又，，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，则 因为，所以， 又由，得， 所以是首项为，公差为的等差数列，则，即 （2）由（1）得， 则 考点题型5：倒序相加法 【典例5-1】（2024·高二·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则， 故， 故选：B. 【典例5-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 . 【答案】 【解析】，① ，② 两式相加，又因为， 故，所以， 所以的前16项的和为 故答案为： 【变式5-1】（2024·高三·湖北鄂州·期末）设函数，定义，其中，，则 . 【答案】0 【解析】由题意， 所以 由    ① 则  ② 由①+②得 所以 故答案为：0 【变式5-2】（2024·高二·江苏无锡·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为 ； ②计算 . 【答案】 2023 【解析】①因为， 所以，所以， 由得，此时， 由题意可得，即为函数的对称中心； ②由①知，函数关于中心对称， 所以，即， 因此； 记， 则 ， 所以. 故答案为：；. 【变式5-3】（2024·高二·安徽六安·期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则 ． 【答案】/9.5 【解析】函数，当时，， 因数列是正项等比数列，且，则， ，同理， 令， 又， 则有，， 所以. 故答案为： 考点题型6：并项求和 【典例6-1】（2024·高二·广西南宁·期末）已知数列满足，则其前9项和 . 【答案】69 【解析】 . 故答案为：69. 【典例6-2】（2024·高二·河南南阳·期中）已知数列满足，且前12项和为134，则 ． 【答案】1 【解析】因为， 当n为奇数时，， 即， ， 可得； 当n为偶数， 即， 可得， 则前12项和为，解得． 故答案为：1 【变式6-1】（2024·高二·河南焦作·期末）已知数列满足，则的前100项和为（    ） A．2475 B．2500 C．2525 D．5050 【答案】A 【解析】由，可得， ， 所以， 令，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 由于， 所以的前100项和为2475， 故选：A 【变式6-2】（2024·高二·山东潍坊·期中）记数列的前n项和为，若，则（    ） A．301 B．101 C． D． 【答案】C 【解析】数列中，，则， 所以 故选：C 【变式6-3】（2024·高二·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解析】（1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 【变式6-4】（2024·高二·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【解析】（1）设的首项为，公差为d， 依题意，，解得或， 由恒成立，得， 又，而，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 所以. 【变式6-5】（2024·高二·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 考点题型7：数列奇偶项求和 【典例7-1】（2024·高二·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 【解析】（1）因为成等差数列，所以. 当时，，因为，所以， 当时，，两式相减得 ， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 因此. （2）由（1）可得 数列 的前 项和 . 【典例7-2】（2024·高二·云南保山·期末）已知的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【解析】（1）由①得，当时，②， 联立①②得， 所以有， 因为，所以． （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 由（1）知 则， ， 综上：． 【变式7-1】（2024·高二·江苏常州·期末）在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以， 又因为，则， 且，可知，可得， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得， 且，可知是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以，即. （2）由（1）可知， 可知的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列. 当为偶数，； 当为奇数，； 综上所述：. 【变式7-2】（2024·高二·湖南·期末）已知正项数列的前n项和为，且. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)求数列的最大项； (3)若数列满足，求数列的前30项和（，）. 【解析】（1）因为， 所以当时，解得， 当时，由，解得， 当时，， 则， 化简得，而，所以， 所以数列为等差数列，所以. （2）由（1）知，，则， 所以， 因为，当或时，取最大值， 所以数列的最大项为第项或第项，其值为. （3）由题可知，当时， ， 所以， 当时，， 所以， ， 相减得，， 所以， 所以 【变式7-3】（2024·高二·江苏盐城·期末）已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）由于等差数列的首项为1，公差 所以， 由数列为公比是2的等比数列且成等差数列， 知，解得， 所以. （2）由（1）知，， . 【变式7-4】（2024·高二·山东临沂·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，. (1)求的通项公式; (2)求. 【解析】（1）设等差数列的公差为， ， ， 整理得，解得 ； （2）当n为偶数时， ； 当为奇数时，， ， 当时，上式也成立； . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单12 数列求和（1个考点梳理+7题型解读+变式训练） 【清单01】数列求和 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 三．常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 考点题型一：公式法 【典例1-1】（2024·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【典例1-2】（2024·湖南·高二校联考期中）等差数列满足，，前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值. 【变式1-1】（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）等差数列满足：首项为2，公差为是的前项和. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 考点题型2：错位相减法 【典例2-1】（2024·高二·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 【典例2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【变式2-1】（2024·高二·江西新余·期末）已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 【变式2-2】（2024·高二·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 【变式2-3】（2024·高二·福建·期中）设数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式2-4】（2024·高二·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 考点题型3：分组求和法 【典例3-1】（2024·高二·山东青岛·期中）已知数列为等差数列，首项，公差，． (1)证明是等比数列； (2)求数列的前项和． 【典例3-2】（2024·高二·福建莆田·期中）已知正项等差数列满足：且成等比数列. (1)求数列的通项公式： (2)若数列为递增数列，数列满足：，求数列的前项和. 【变式3-1】（2024·高二·上海·期中）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式3-2】（2024·高二·湖南永州·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式3-3】（2024·高二·福建福州·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【变式3-4】（2024·高二·辽宁辽阳·期末）设依次是等比数列的前3项，其中为正数. (1)求； (2)求数列的前项和. 考点题型4：裂项相消法 【典例4-1】（2024·高二·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【典例4-2】（2024·高二·云南昆明·期末）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求． 【变式4-1】（2024·高二·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 【变式4-2】（2024·高二·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 【变式4-3】（2024·高二·江苏苏州·期中）已知数列和数列，为数列的前项和，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和 考点题型5：倒序相加法 【典例5-1】（2024·高二·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 . 【变式5-1】（2024·高三·湖北鄂州·期末）设函数，定义，其中，，则 . 【变式5-2】（2024·高二·江苏无锡·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为 ； ②计算 . 【变式5-3】（2024·高二·安徽六安·期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则 ． 考点题型6：并项求和 【典例6-1】（2024·高二·广西南宁·期末）已知数列满足，则其前9项和 . 【典例6-2】（2024·高二·河南南阳·期中）已知数列满足，且前12项和为134，则 ． 【变式6-1】（2024·高二·河南焦作·期末）已知数列满足，则的前100项和为（    ） A．2475 B．2500 C．2525 D．5050 【变式6-2】（2024·高二·山东潍坊·期中）记数列的前n项和为，若，则（    ） A．301 B．101 C． D． 【变式6-3】（2024·高二·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式6-4】（2024·高二·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【变式6-5】（2024·高二·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 考点题型7：数列奇偶项求和 【典例7-1】（2024·高二·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 【典例7-2】（2024·高二·云南保山·期末）已知的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【变式7-1】（2024·高二·江苏常州·期末）在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式7-2】（2024·高二·湖南·期末）已知正项数列的前n项和为，且. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)求数列的最大项； (3)若数列满足，求数列的前30项和（，）. 【变式7-3】（2024·高二·江苏盐城·期末）已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式7-4】（2024·高二·山东临沂·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，. (1)求的通项公式; (2)求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$