清单11 数列的通项公式（考点清单，知识导图+1个考点清单+10题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单11 数列的通项公式（1个考点梳理+10题型解读+变式训练） 【清单01】数列的通项公式 类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 考点题型1：观察法 【典例1-1】（2024·高二·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·广东佛山·期中）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（    ） A．22 B．30 C．37 D．46 【变式1-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知数列的前项依次为，则的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·福建福州·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 考点题型2：叠加法 【典例2-1】（2024·高二·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 【典例2-2】（2024·高二·湖南常德·开学考试）已知数列满足，，则 ． 【变式2-1】（2024·高二·福建漳州·期末）数列满足，且，则数列的通项公式 ． 【变式2-2】（2024·高二·山东滨州·期末）已知数列中，，则 . 【变式2-3】（2024·高二·广东深圳·期末）已知数列满足：，，则数列的通项公式为 . 考点题型3：叠乘法 【典例3-1】（2024·高二·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 . 【典例3-2】（2024·高二·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 【变式3-1】（2024·高三·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为 . 【变式3-2】（2024·高二·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【变式3-3】（2024·高二·北京·期中）数列中，若，，则 . 考点题型4：待定系数法 【典例4-1】（2024·高三·广东·阶段练习）在数列中，，且，则的通项公式为 ． 【典例4-2】（2024·高二·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ． 【变式4-1】（2024·高二·福建福州·期末）数列中，，，则此数列的通项公式 . 【变式4-2】（2024·高三·安徽合肥·阶段练习）已知数列中，（），则数列的通项公式 . 【变式4-3】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【变式4-4】（2024·高二·河北沧州·阶段练习）已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 【变式4-5】（2024·高二·宁夏中卫·阶段练习）数列满足且，则数列的通项公式是 ． 【变式4-6】（2024·高三·全国·对口高考）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为 ． 考点题型5：同除以指数 【典例5-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ． 【典例5-2】（2024·高二·山东淄博·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为 【变式5-1】（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【变式5-2】（2024·高二·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知正项数列中，，则数列的通项（　　） A． B． C． D． 考点题型6：取倒数法 【典例6-1】（2024·高二·陕西西安·期中）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【变式6-1】（2024·高二·湖北荆州·期末）已知数列，则数列的通项公式 ． 【变式6-2】（2024·高二·河南·期中）数列中，若，，则 ． 考点题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题 【典例7-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【典例7-2】（2024·高三·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【变式7-1】（2024·高二·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 . 【变式7-2】（2024·高二·山东青岛·期末）设数列 满足 ， 则 的通项公式 【变式7-3】（2024·高二·福建福州·期末）设数列的前项和为.已知，数列的通项公式 . 【变式7-4】（2024·高三·上海虹口·阶段练习）记为数列的前项和，且，则 . 【变式7-5】（2024·高二·新疆阿克苏·期末）已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 【变式7-6】（2024·高二·贵州遵义·期末）数列的前n项和记为，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 考点题型8：周期数列 【典例8-1】（2024·高二·江苏盐城·期中）若数列满足，若，则的值为 【典例8-2】（2024·高二·江苏·期中）已知数列满足，，，则 ． 【变式8-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知数列满足，若，则 ． 【变式8-2】（2024·高二·上海·期末）数列满足：，则 . 【变式8-3】（2024·高二·福建福州·期末）数列满足，则 ． 考点题型9：前n项积型 【典例9-1】（2024·高二·山西长治·期末）已知数列满足，则的通项公式 . 【典例9-2】（2024·高二·河南郑州·期末）设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【变式9-2】（2024·河南开封·三模）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式9-3】（2024·高二·山东威海·期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． (1)求，； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的通项公式． 【变式9-4】（2024·高二·湖南永州·期末）设数列的前项之积为，且满足． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，证明：． 考点题型10：因式分解型求通项 【典例10-1】（2024•安徽月考）已知正项数列满足：，，． （Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若，设．，求数列的前项和． 【典例10-2】（2024•怀化模拟）已知正项数列满足，设． （1）求，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）的通项公式，并求其前项和为． 【变式10-1】（2024•仓山区校级月考）已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单11 数列的通项公式（1个考点梳理+10题型解读+变式训练） 【清单01】数列的通项公式 类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 考点题型1：观察法 【典例1-1】（2024·高二·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 【典例1-2】（2024·高二·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题数列的前5项可改写为， 其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数， 故数列的通项公式为. 故选：D. 【变式1-1】（2024·高二·广东佛山·期中）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（    ） A．22 B．30 C．37 D．46 【答案】B 【解析】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为， 第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为， 则第个“拐角数”为． 对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意； 对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是， 则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意； 对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意． 故选：B. 【变式1-2】（2024·高二·福建福州·期中）已知数列的前项依次为，则的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列的前项依次为， 即， 所以的一个通项公式为．故B正确； 对A，代入，，故A错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误； 故选：B. 【变式1-3】（2024·高二·福建福州·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由数列，可得化为， 可得数列的一个通项公式为. 故选：C. 考点题型2：叠加法 【典例2-1】（2024·高二·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】5 【解析】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 【典例2-2】（2024·高二·湖南常德·开学考试）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】若，则，即，这与矛盾，所以， 由两边同时除以，得， 则，，，， 上面的式子相加可得：， 所以， 故答案为：. 【变式2-1】（2024·高二·福建漳州·期末）数列满足，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】 ，该通式对也适用， 所以答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·山东滨州·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【解析】由题意可知：，，，， 将上述个式子相加可得：，则，所以 故答案为： 【变式2-3】（2024·高二·广东深圳·期末）已知数列满足：，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】由题意知数列满足：，， 故 ，, 也适合该式，故， 故答案为： 考点题型3：叠乘法 【典例3-1】（2024·高二·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 . 【答案】 【解析】由可得， 由累乘可得. 故答案为： 【典例3-2】（2024·高二·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 【答案】 【解析】因，故有，即得， 所以． 故答案为：. 【变式3-1】（2024·高三·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以，，，……，，， 所以， 所以， 因为，所以符号该式， 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】当时，， 化简得，，利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 故答案为： 【变式3-3】（2024·高二·北京·期中）数列中，若，，则 . 【答案】 【解析】由题意，，可得，所以， 所以. 故答案为：. 考点题型4：待定系数法 【典例4-1】（2024·高三·广东·阶段练习）在数列中，，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为，设，其中、， 整理可得， 所以，，解得，所以，， 且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，，解得. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由可得：，又, ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式4-1】（2024·高二·福建福州·期末）数列中，，，则此数列的通项公式 . 【答案】 【解析】因为，所以，又， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. 故答案为： 【变式4-2】（2024·高三·安徽合肥·阶段练习）已知数列中，（），则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】因为，故可得， 故可得数列是首项为3公比为3的等比数列， 则，解得. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【答案】B 【解析】因为，所以. 因为，所以，故为常数列， 所以. 由，解得. 故选：B 【变式4-4】（2024·高二·河北沧州·阶段练习）已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则数列时以为首项 公比为的等比数列，故，所以. 【变式4-5】（2024·高二·宁夏中卫·阶段练习）数列满足且，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【解析】设，则， 又因为，所以，则， 所以， 因为，所以， 所以为常数， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式4-6】（2024·高三·全国·对口高考）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由，得，即 由所以， 于是数列是以首项为，公比为的等比数列， 因此，即， 当时，,此式满足， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 考点题型5：同除以指数 【典例5-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】∵， ∴， 即．又，， ∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴， ∴数列的通项公式． 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·山东淄博·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为 【答案】 【解析】由得， 故为等差数列，公差为1，首项为1， 所以 所以. 故答案为： 【变式5-1】（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【解析】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高二·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 【答案】 【解析】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则. 故答案为：. 【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知正项数列中，，则数列的通项（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①， 令，则①式变为，即， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为， 所以，即， 所以， 所以， 解法二：设，则， 与比较可得， 所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故选：D 考点题型6：取倒数法 【典例6-1】（2024·高二·陕西西安·期中）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即， 可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得， 即. 故选：D. 【典例6-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【答案】 【解析】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·高二·湖北荆州·期末）已知数列，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列， 得，即， 故答案为： 【变式6-2】（2024·高二·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【答案】19 【解析】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 考点题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题 【典例7-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【答案】 【解析】数列的前n项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【典例7-2】（2024·高三·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式7-1】（2024·高二·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 . 【答案】 【解析】数列的前项和，当时，， 整理得，即，显然当时，数列是常数列， 因此，所以. 故答案为： 【变式7-2】（2024·高二·山东青岛·期末）设数列 满足 ， 则 的通项公式 【答案】 【解析】数列 满足， 设， 当时，有，即， 当时，有，得， 不符合， 所以. 故答案为：. 【变式7-3】（2024·高二·福建福州·期末）设数列的前项和为.已知，数列的通项公式 . 【答案】 【解析】因为，则当时，， 两式相减得：，即， 而， 则数列是以1为首项，4为公比的等比数列， 所以数列的通项公式是. 故答案为：. 【变式7-4】（2024·高三·上海虹口·阶段练习）记为数列的前项和，且，则 . 【答案】 【解析】①，当时，，解得， 当时，②， ①-②得，， 即，所以， 是首项为-1，公比是2的等比数列，故. 故答案为： 【变式7-5】（2024·高二·新疆阿克苏·期末）已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 【解析】（1）当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． （2）， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 【变式7-6】（2024·高二·贵州遵义·期末）数列的前n项和记为，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 【解析】（1）①， 当时， ②， 得：， 即，即，且. 是公差为的等差数列. （2）由（1）知是公差为的等差数列， ， 又，，成等比数列， ， ，即， 故，解得. ， ， 二次函数的对称轴为， ，当或时取到最大值为. 故的最大值为. 考点题型8：周期数列 【典例8-1】（2024·高二·江苏盐城·期中）若数列满足，若，则的值为 【答案】 【解析】由已知，则，， 可得，进而可得，，， 即，， 所以， 故答案为：. 【典例8-2】（2024·高二·江苏·期中）已知数列满足，，，则 ． 【答案】 【解析】由已知，则， 且， 所以， 故答案为：. 【变式8-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知数列满足，若，则 ． 【答案】 【解析】因为的最小正周期为，且余， 由已知可得， 故答案为：. 【变式8-2】（2024·高二·上海·期末）数列满足：，则 . 【答案】/0.5 【解析】法一：依次代入的值，看看它们符合什么规律： .至此可以发现周期为3. （余数为2），. 故答案为：. 法二：该数列的周期为3，推理过程如下展示： 将换成，得，再将代入，得 ， 再将换成，得，继续将代入，得， ，以下同解法一. 故答案为：. 【变式8-3】（2024·高二·福建福州·期末）数列满足，则 ． 【答案】 【解析】， ， .至此可以发现该数列的周期为3. （余数为2），. 故答案为：. 考点题型9：前n项积型 【典例9-1】（2024·高二·山西长治·期末）已知数列满足，则的通项公式 . 【答案】 【解析】因为， 若，可得； 若，则， 可得； 且符合上式，可得，所以. 故答案为：. 【典例9-2】（2024·高二·河南郑州·期末）设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，解得：； 当时，由得：，即， ， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：，， 经检验：满足，， 故选：B. 【变式9-1】（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【解析】因为为数列的前n项积， 当时，，所以，∴， 当时，，所以， 化简可得：， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 所以. 故选：C. 【变式9-2】（2024·河南开封·三模）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由可得，， 故为公比为2的等比数列，故， 所以，故， 因此 故， 要使，则， 当时，，时，，且在时，随着正整数的增大而增大，故的最小值为6， 故选：B 【变式9-3】（2024·高二·山东威海·期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． (1)求，； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的通项公式． 【解析】（1）由，且， 当时，，得， 当时，，得； （2）对于①， 当时，②， ①②得， 即，， 又， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列； （3）由（2）得， ， 当时，， 又时，，不符合， . 【变式9-4】（2024·高二·湖南永州·期末）设数列的前项之积为，且满足． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，证明：． 【解析】（1）方法一：当，得， 当时，① ② 两式相除可得： 即，又， 故， 变形为：， 因为，所以是以为首项，1为公差的等比数列． 所以 化简可得 法二：因为，， 所以 即 令，则， 所以以3为首项，以2为公差的等差数列， 所以，即， 所以． 又因为满足上式， 所以， 所以，故， 故数列是等差数列． （2） 因为， 所以 考点题型10：因式分解型求通项 【典例10-1】（2024•安徽月考）已知正项数列满足：，，． （Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若，设．，求数列的前项和． 【解析】解：（Ⅰ），， 又数列为正项数列， ， ①当时，数列不是等比数列； ②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：， ， ． 【典例10-2】（2024•怀化模拟）已知正项数列满足，设． （1）求，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）的通项公式，并求其前项和为． 【解析】解：（1），，， 可得， 则， 数列为首项为1，公比为2的等比数列， 可得； ， ，； （2）数列为等差数列，理由：， 则数列为首项为0，公差为1的等差数列； （3）， 前项和为． 【变式10-1】（2024•仓山区校级月考）已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 【解析】证明：由， 变形得：， 由于为正项数列，， 利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：， 从而． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司5 学科网（北京）股份有限公司 $$