清单13 导数的基本问题：切线、单调、极值与最值（考点清单，知识导图+4个考点清单+5题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单13 导数的基本问题：切线、单调、极值与最值（4个考点梳理+5题型解读+变式训练） 【清单01】切线 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 【清单02】单调性 1、单调性基础问题 （1）函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． （2）已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 2、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 3、含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【清单03】极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 【清单04】最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 考点题型1：切线的综合问题 【典例1-1】（2024·高二·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-3】（2024·高二·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2024·高二·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 考点题型2：含参数单调区间与不含参数单调区间 【典例2-1】（2024·高二·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【典例2-2】（2024·高二·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【变式2-1】（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式2-2】（2024·高二·浙江·期中）已知． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间． 【变式2-3】（2024·高二·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【变式2-4】（2024·高二·广东清远·期末）函数的单调递减区间为 . 考点题型3：已知单调性求参数 【典例3-1】（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高二·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【变式3-1】（2024·高二·广西南宁·期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高二·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2024·高二·广东·期末）已知函数，若在上单调递减．则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点题型4：极值问题 【典例4-1】（2024·高二·天津滨海新·期末）若函数只有一个极值点，则的取值范围是 ． 【典例4-2】（2024·高二·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 【变式4-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数 ． 【变式4-2】（2024·高二·广西玉林·期末）已知函数，讨论的单调性，并求其极值． 【变式4-3】（2024·高二·福建厦门·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求b，k； (2)若的极大值为0，求的取值范围. 【变式4-4】（2024·高二·贵州黔西·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值且极小值不小于0，求实数的取值范围. 考点题型5：最值问题 【典例5-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【典例5-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最值． 【变式5-1】（2024·高二·山东青岛·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 【变式5-2】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期末）设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【变式5-3】（2024·高二·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【变式5-4】（2024·高二·辽宁本溪·期末）已知函数. (1)当时，的图像在处的切线与两坐标轴围成图形的面积为，求的值； (2)当时，在的最小值小于，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单13 导数的基本问题：切线、单调、极值与最值（4个考点梳理+5题型解读+变式训练） 【清单01】切线 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 【清单02】单调性 1、单调性基础问题 （1）函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． （2）已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 2、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 3、含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【清单03】极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 【清单04】最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 考点题型1：切线的综合问题 【典例1-1】（2024·高二·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 【典例1-2】（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，则，解得， 则， 所以，即切线经过点， 则该切线的方程为， 即. 故选：C. 【变式1-1】（2024·高二·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 【变式1-2】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】对曲线，在切点处切线的斜率， 所以切线方程为：， 对于曲线，设切点，则在点处切线的斜率， 依题意，即， 又点切点在曲线和切线上，即， 所以， 故选：B. 【变式1-3】（2024·高二·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【解析】因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 【变式1-5】（2024·高二·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【答案】A 【解析】若，则，且， 若，则，且， 又是、的公切线， 设切点分别为、，则， ，则，即. 故选：A 考点题型2：含参数单调区间与不含参数单调区间 【典例2-1】（2024·高二·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【答案】 【解析】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高二·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，， 即， 设， 则， 且定义域为， 故在时，恒成立，在上单调递增， 在时，恒成立，在上单调递减， 所以， 故只有一个解， 即方程只有一个解. （2）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减． 【变式2-1】（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 所以，切线方程为， 将代入得，解得或， 故过的切线方程为或. （2）. 当时，，恒有，函数单调递增， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式2-2】（2024·高二·浙江·期中）已知． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间． 【解析】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以所求的切线方程为，即. （2）由（1）可知：的定义域为，，且 令，解得或或（舍去）， 当，即时，则， 可知在内单调递增； 当，即时，则有： 若，则；若，则； 可知在内单调递增，在内单调递减； 当，即时，则有： 若，则；若，则； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减为； 当时，的单调递增区间为，单调递减为． 【变式2-3】（2024·高二·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）若，， 则，   所以函数在单调递增，   又，故有唯一的零点1. （2）因为， 令， ①当时，，在上，，所以单调递增． ②当时， 当时，， 在上恒成立，所以单调递增．   当或时，，令， 得， 当时，注意到， 所以当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．   当时， 注意到， 所以当或时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．    综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 【变式2-4】（2024·高二·广东清远·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为R，求导得， 由，得，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 考点题型3：已知单调性求参数 【典例3-1】（2024·高二·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 【典例3-2】（2024·高二·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 【变式3-1】（2024·高二·广西南宁·期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题可知，在上恒成立， 显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：D． 【变式3-2】（2024·高二·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数求导得由题意可知， 在内恒成立，即在内恒成立， 故，令， 令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 则函数在有最大值为， 故， 故选：B. 【变式3-3】（2024·高二·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为在区间上存在单调递减区间， 所以在区间上有解，即在区间上有解， 当显然不出来； 当时，，即， 故选:C． 【变式3-4】（2024·高二·广东·期末）已知函数，若在上单调递减．则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即，得在上恒成立， 令，易得在单调递增， 所以，即，所以． 故选：B. 考点题型4：极值问题 【典例4-1】（2024·高二·天津滨海新·期末）若函数只有一个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，则，故对有，对有. 所以在上递减，在上递增. 同时，有. 当时，根据的单调性，对有. 所以对有，对有. 从而在和上递减，在上递增. 即在上递减，在上递增，这表明恰有一个极值点，满足条件； 当时，根据的单调性，有 . 故，，. 结合，知方程在和上各有一个零点，分别记为. 结合的单调性，知对有，对有. 此时，我们又有. 所以当时，由知，再由知. 所以对有，对有. 从而在和上递减，在和上递增，这表明有三个不同的极值点，不满足条件； 当时，由及，知. 所以对有，对有. 从而在上递减，在和上递增. 此即在上递减，在上递增，这表明恰有一个极值点，满足条件； 当时，由知. 所以对有，对有. 从而在和上递减，在和上递增，这表明有三个不同的极值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【典例4-2】（2024·高二·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 【答案】 【解析】由，可得， 令，解得：，， 令，解得：或，所以在，上单调递增； 令，解得：，所以在上单调递减； 故函数的极大值点为； 故答案为： 【变式4-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数 ． 【答案】 【解析】由求导得，， 依题意，①，②， 联立① ，② ，解得：或. 当，时，， ，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去； 当，时，， ，当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高二·广西玉林·期末）已知函数，讨论的单调性，并求其极值． 【解析】的定义域为，， 令，解得， 所以当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，有极大值， 当时，有极小值. 【变式4-3】（2024·高二·福建厦门·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求b，k； (2)若的极大值为0，求的取值范围. 【解析】（1），切点为， 所以，所以，. （2）由（1）得，定义域为， . ①当时，，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增；所以有极小值，无极大值，不符合题意； ②当时，，令，得或. ⅰ）若，则，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以有极小值，极大值为，不符合题意； ⅱ）若，则，所以在上单调递减， 所以无极值，不符合题意； ⅲ）若，则，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以有极小值，极大值为，满足题意. 综上所述，. 【变式4-4】（2024·高二·贵州黔西·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值且极小值不小于0，求实数的取值范围. 【解析】（1），则，， 显然是增函数，又，所以， ， 切线方程为，即； （2）由已知，有极小值，则有解，由，得， 设的解为， 时，，递减，时，，递增， 因此为的极小值， 由得， 极小值， 记， 易知函数是减函数，， 当时，，当时，， 所以当时，， 当时，，当时，， 而的极小值不小于0， 所以的取值范围是. 考点题型5：最值问题 【典例5-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【解析】（1）由，得， 由题意可得，即，解得. （2）由（1）可得， ， 令，可得或，所以在区间上，随的变化情况如下表： 0 2 3 0 0 1 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 10 由上表可得在区间上的最大值为10，最小值. 【典例5-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最值． 【解析】（1），令，解得， 当时，，所以的增区间为， 当时，，所以的减区间为， 所以的增区间为，减区间为． （2）由（1）可知，在上的极小值， 又因为，， 故最大值为，最小值为． 【变式5-1】（2024·高二·山东青岛·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 【解析】（1）， 当时，，所以在上单调递增 当时，由得，由得 所以在区间单调递减，在区间单调递增 （2）由（1）知，当时，在区间单调递增，无最小值 当时，在区间单调递减，在区间单调递增 所以，所以 令，则， 由得，， 所以在区间单调递增，在区间单调递减，所以的最大值为 所以， 所以的值为1. 【变式5-2】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期末）设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【解析】（1）已知的定义域为，所以， 当时，解得，当时，解得， 所以，的递增区间为，递减区间为. （2）由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值， 所以，解得. 【变式5-3】（2024·高二·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【解析】（1）由题意得：定义域为， 若，则， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，函数的最大值为，无最小值. （2）由题意得：定义域为，， 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； ①当，即时，在上单调递减，则； ②当，即时，在上单调递增，则； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则. 因为，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述：当时，；当时，. 【变式5-4】（2024·高二·辽宁本溪·期末）已知函数. (1)当时，的图像在处的切线与两坐标轴围成图形的面积为，求的值； (2)当时，在的最小值小于，求的取值范围. 【解析】（1）易知， 又， 所以， 所以的图像在处的切线方程为， 令，得， 由切线与两坐标轴围成图形的面积为， 得， 解得或. （2）当时，， 则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以在的最小值为， 由题意得，即， 又，所以. 设， 则， 所以在上单调递减， 又，所以解不等式得， 故的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$