专题06抛物线及其性质（5基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（新疆专用）

专题06 抛物线及其性质 根据抛物线方程求焦点及准线方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的焦点到准线的距离为 A． B． C．8 D．2 2．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的焦点坐标是 A．（，） B．（） C．（） D．（） 5．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·新疆·期末）若抛物线的焦点坐标为，则准线方程为 . 抛物线定义及其应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）若点为抛物线上一点，为焦点，且，则点到轴的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（21-22高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ． 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于 ． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的焦点为F，在C上有一点P，，则的中点M到y轴的距离为 ． 6．（22-23高二上·新疆·期末）写出抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标： 7．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（    ） A． B． C． D． 求抛物线的标准方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）经过点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（ ） A． B． C． D． 抛物线的中点弦问题 1．（22-23高二上·新疆·期末）已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线与抛物线相交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是 ． 3．（23-24高二上·新疆·期末）一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． (1)求抛物线的方程； (2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 抛物线弦长问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）设F为抛物线C：的焦点，过F作倾斜角为的直线交曲线C于A，B，则　　 A．8 B． C．16 D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线，其焦点F到其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点， (1)求抛物线C的方程及其焦点坐标； (2)求． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的焦点为. (1)求； (2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线C的顶点为，焦点为． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的面积． 5．（23-24高二上·新疆·期末）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 抛物线的几何性质 1．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点，点在上，，且的面积为1，则的准线方程为 ． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F,则该双曲线的离心率 . 抛物线最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．5 3．（23-24高二上·新疆·期末）如图，地在高压线（不计高度）的东侧0.50km处，地在地东北方向1.00km处，公路沿线上任意一点到地与高压线的距离相等．现要在公路旁建一配电房向、两地降压供电（分别向两地进线）．经协商，架设低压线路部分的费用由、两地用户分摊, 为了使分摊费用总和最小，配电房应距高压线（    ） A．1.21km B．0.50km C．0.75km D．0.96km 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的准线方程为，为抛物线的焦点． （I）求抛物线的方程； （II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2），求的最小值． 综合应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．面积的最小值为8 C．以焦半径为直径的圆与直线相切 D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线C上的两点，的中点M在C的准线上的投影为N，则（    ） A．曲线C的准线方程为 B．若，则的面积为 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知抛物线，点在上，过点的直线与相交于两点，直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 4．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，准线与x轴的交于点D，下列结论正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．存在直线l，使得A，B两点关于直线对称 D．若直线l经过点D，且B点在线段AD上，不存在直线l，使得 直线与抛物线韦达定理的应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的A、两点． (1)求抛物线的方程； (2)如果，证明直线过定点，并求定点坐标. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线：的焦点到顶点的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值. 5．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 抛物线及其性质 根据抛物线方程求焦点及准线方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的焦点到准线的距离为 A． B． C．8 D．2 【答案】D 【分析】根据抛物线性质, 由抛物线方程y=4x, 可知焦点为 (1, 0), 准线为x=-1;再求出点 (1, 0) 到直线x=-1的距离, 即可解答. 【详解】解：由题可知抛物线的焦点为 (1, 0), 准线为 x=-1, 所以焦点到准线的距离为2. 故选D. 【点睛】本题是一道求抛物线焦点到准线距离的题目,解题关键在于掌握抛物线的性质求解. 2．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由抛物线的标准方程可知： 抛物线的开口向左，焦点在轴负半轴上， 且，所以，， 所以焦点坐标为. 故选：C 3．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于抛物线的准线方程为，抛物线的准线方程即可求解. 【详解】由于抛物线的准线方程为， 则的准线方程为：. 故选：B 4．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的焦点坐标是 A．（，） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【详解】试题分析：抛物线的标准形式，所以焦点坐标是，故选B. 5．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的几何性质可得选项. 【详解】由得，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离为1， 故选：B. 6．（23-24高二上·新疆·期末）若抛物线的焦点坐标为，则准线方程为 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程、焦点坐标以及准线方程三者之间的关系分析求解. 【详解】由抛物线的方程可知抛物线的焦点为，准线为， 而焦点的坐标为，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 抛物线定义及其应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）若点为抛物线上一点，为焦点，且，则点到轴的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义可求出结果. 【详解】由抛物线方程为，可知准线方程为， 因为，所以由抛物线的定义可知点到准线的距离为3， 设，所以，解得,从而可知点到轴的距离为2． 故选：A． 2．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即可求出线段中点的横坐标，即得到答案. 【详解】由已知可得抛物线的准线方程为， 设点的坐标分别为和， 由抛物线的定义得，即， 线段中点的横坐标为， 故线段的中点到轴的距离是. 故选：. 3．（21-22高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ． 【答案】或. 【分析】设点，根据抛物线的定义，得到，求得，代入抛物线方程，求得，即可求解. 【详解】设抛物线上与焦点的距离等于6的点为，即， 由抛物线，可得焦点，准线方程为， 根据抛物线的定义，可得，即，解得， 将代入抛物线方程，可得，解得， 所以点的坐标为或. 故答案为：或. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于 ． 【答案】4 【详解】抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，焦点F到抛物线准线的距离等于4. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的焦点为F，在C上有一点P，，则的中点M到y轴的距离为 ． 【答案】 【分析】根据焦半径公式可求出点的坐标，再得到的中点M坐标，从而解出． 【详解】设，，所以，解得，所以的中点M横坐标为，即的中点M到y轴的距离为． 故答案为：． 6．（22-23高二上·新疆·期末）写出抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标： 【答案】或 【分析】利用抛物线焦半径公式可构造方程求得结果. 【详解】设与焦点的距离等于的点为， 由抛物线方程知：准线为，，解得：， ，解得：， 与焦点的距离等于的点的坐标为或. 故答案为：或. 7．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得. 【详解】如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，    由抛物线定义知，，又F为PB.中点， 则，， 则，，， 则 故选：D 求抛物线的标准方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）经过点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】把点代入选项，逐项检验即可求解. 【详解】因为抛物线过点， 所以代入，满足，，不符合. 故选：AD 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程. 【详解】由题意知，则准线为， 点到焦点的距离等于其到准线的距离， 即，∴，则 故选：B. 抛物线的中点弦问题 1．（22-23高二上·新疆·期末）已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【详解】设， 由得：， 线段的中点为，，， ，即直线的斜率为， 直线的方程为：，即. 故选：A. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线与抛物线相交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是 ． 【答案】（4，2） 【详解】设，由得到也就是，所以 ，故，因此中点坐标为. 点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，通常联立方程，通过韦达定理去处理与两根之和、两根之积相关的代数式或相关问题. 3．（23-24高二上·新疆·期末）一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据抛物线的定义和标准方程可以确定曲线C的方程. （2）利用点差法结合中点坐标公式和斜率公式求解. 【详解】（1）依题意得该动圆的圆心到点的距离到直线的距离相等． 又点不在直线上， 所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线，所以曲线C的方程为． （2）设，，则， 两式相减得，即． 因为线段AB的中点坐标为，所以， 则，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即， 经检验，直线与曲线相交，满足题意， 所以直线l的方程为. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． (1)求抛物线的方程； (2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意得到，，两点的横坐标为，可得求解； （2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解. 【详解】（1）由题意得， 当轴时，，两点的横坐标为， 当时，，解得， ，解得， 故抛物线的方程为； （2）由（1）得，且直线的斜率存在， 设，，且， 则，， ，即， 线段的中点的纵坐标为， ，即， ，即直线的斜率， 直线的方程为，即． 抛物线弦长问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）设F为抛物线C：的焦点，过F作倾斜角为的直线交曲线C于A，B，则　　 A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】首先写出抛物线的焦点，再写出直线的方程，代入抛物线运用韦达定理， ，代入即可求得答案. 【详解】解：抛物线C：的焦点，设，， 且倾斜角为的直线， ，整理得， 由韦达定理可知， 由抛物线的定义可知：， 故选D． 【点睛】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得，由抛物线的性质可知，解得可得所求值． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线，其焦点F到其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点， (1)求抛物线C的方程及其焦点坐标； (2)求． 【答案】(1)抛物线C的方程为．焦点坐标为． (2)8 【分析】（1）根据焦点F到其准线的距离求出，即可求出抛物线C的方程及其焦点坐标. （2）根据直线l过焦点F且倾斜角为45°，得出直线l的方程，让直线l与抛物线方程联立，消去y，设出A，B两点坐标，根据抛物线的定义即可求出. 【详解】（1）由题意在抛物线中，焦点F到其准线的距离为2， ∴， ∴抛物线C的方程为，焦点坐标为． （2）由题意及（1）得 在抛物线中，过焦点F且倾斜角为45°的直线l的方程为， ∴联立方程组消去y可得， 设，，则， ∴根据抛物线的定义，． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的焦点为. (1)求； (2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标可直接求得的值； （2）将直线方程与抛物线方程联立可得，进而得到，利用抛物线焦点弦长公式可求得结果. 【详解】（1）为抛物线的焦点，，解得：. （2）由（1）知：抛物线； 直线， 由得：， 设，，则， ，. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线C的顶点为，焦点为． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线的顶点和焦点坐标求出抛物线C的标准方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出，即可求出的面积． 【详解】（1）抛物线C的顶点为，焦点为， 所以抛物线C的标准方程为：. （2）由消去y得，设， 则，， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 5．（2018·全国·高考真题）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）方法一：根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程； （2）方法一：先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程. 【详解】（1）［方法一］：【通性通法】焦点弦的弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，由得． ，故． 所以． 由题设知，解得（舍去）或．因此l的方程为． ［方法二］：弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，则由得． ，由，解得（舍去）或．因此直线l的方程为． ［方法三］：【最优解】焦点弦的弦长公式的应用 设直线l的倾斜角为，则焦点弦，解得，即．因为斜率，所以． 而抛物线焦点为，故直线l的方程为． ［方法四］：直线参数方程中的弦长公式应用 由题意知，可设直线l的参数方程为（t为参数）． 代入整理得． 设两根为，则． 由，解得． 因为，所以，因此直线l的参数方程为 故直线l的普通方程为． ［方法五］：【最优解】极坐标方程的应用 以点F为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，此时抛物线的极坐标方程为． 设，由题意得，解得，即． 所以直线l的方程为． （2）［方法一］：【最优解】利用圆的几何性质求方程 由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为 ，即． 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或， 因此所求圆的方程为或． ［方法二］：硬算求解 由题意可知，抛物线C的准线为，所求圆与准线相切． 设圆心为，则所求圆的半径为． 由得． 所以， 解得或， 所以，所求圆的方程为或． 【整体点评】（1）方法一：根据弦过焦点，选择焦点弦长公式运算，属于通性通法； 方法二：直接根据一般的弦长公式硬算，是解决弦长问题的一般解法； 方法三：根据弦过焦点，选择含直线倾斜角的焦点弦长公式，计算简单，属于最优解； 方法四：根据直线参数方程中的弦长公式，利用参数的几何意义运算； 方法五：根据抛物线的极坐标方程，利用极径的意义求解，计算简单，也是该题的最优解． （2）方法一：根据圆的几何性质确定圆心位置，再根据直线与圆的位置关系算出，是求圆的方程的最优解； 方法二：直接根据圆经过两点，硬算，思想简单，运算相对复杂． 抛物线的几何性质 1．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先求出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】抛物线的焦点为， 则点到直线的距离，解得. 故选：C. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点，点在上，，且的面积为1，则的准线方程为 ． 【答案】 【分析】 根据抛物线的定义结合几何关系确定出的大小，然后根据的面积列出关于的方程，由此求解出的值，则准线方程可知. 【详解】 解法一  由题知的准线过点，如图，过点作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，则由可知， 所以在中，，得， 由的面积为1，得，则，则， 所以，得，所以的准线方程为， 故答案为：； 解法二  由题知的准线过点，如图，过点作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，由可知， 所以在中，， 在中，由正弦定理得， 所以，所以，（另解：也可以通过证明得到） 则为等腰直角三角形，所以， 又的面积为1，所以的面积为2， 则，得，所以的准线方程为， 故答案为：. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F,则该双曲线的离心率 . 【答案】 【详解】试题分析：由题意焦点，交点，代入双曲线的方程得，又 ，化简得，， ，故答案是. 考点：1、抛物线的应用；2、抛物线的性质. 抛物线最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由题意，的最小值为，的最小值为，可求的最小值. 【详解】圆：，圆心坐标，半径为1， 抛物线：的焦点为，准线方程，如图所示， 点到直线的距离比点到准线的距离大2，即， 的最小值为，当三点共线时的最小值为， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答. 【详解】抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为， 由消去y并整理得：，设，，则， 弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图， 令交抛物线于点P，在抛物线上任取点，过作于点，连接， 即有，， 当且仅当点与P重合时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 3．（23-24高二上·新疆·期末）如图，地在高压线（不计高度）的东侧0.50km处，地在地东北方向1.00km处，公路沿线上任意一点到地与高压线的距离相等．现要在公路旁建一配电房向、两地降压供电（分别向两地进线）．经协商，架设低压线路部分的费用由、两地用户分摊, 为了使分摊费用总和最小，配电房应距高压线（    ） A．1.21km B．0.50km C．0.75km D．0.96km 【答案】C 【分析】由已知得，公路沿线是以A为焦点，高压线为准线的抛物线一段，再建立坐标系求出抛物线的方程，结合抛物线的定义分析最值即可 【详解】由已知得，公路沿线是以A为焦点，高压线为准线的抛物线一段，其中配电房为H， 建立如图所示的坐标系，则抛物线方程为， 为了使分摊费用总和最小，只需H点到A,B作两点距离之和最小， 过点B作，由已知得B的纵坐标为，故， 所以配电房应距高压线距离为． 故选：C 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的准线方程为，为抛物线的焦点． （I）求抛物线的方程； （II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2），求的最小值． 【答案】(I) (II)4 【分析】（Ⅰ）运用抛物线的准线方程，可得p＝1，进而得到抛物线方程； （Ⅱ）过A作AB⊥准线l，垂足为B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值； 【详解】(I)∵准线方程x=-,得=1， ∴抛物线C的方程为 (II)过点P作准线的垂线，垂足为B，则= 要使+的最小，则P，A，B三点共线 此时+=+=4· 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线取得最小值，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题． 综合应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．面积的最小值为8 C．以焦半径为直径的圆与直线相切 D． 【答案】BC 【分析】求抛物线的焦点和准线，设直线为，联立方程结合韦达定理可得，，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为， 显然直线的斜率不为0，且可以不存在，此时直线与抛物线必相交， 设直线为， 联立方程，消去x得， 则，， 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：， 原点到直线的距离， 所以面积， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为8，故B正确； 对于选项C：由题意可知：线段的中点， 则到y轴的距离为， 所以以焦半径为直径的圆与直线相切，故C正确； 对于选项D：因为 ， 即，故D错误； 故选：BC. 2．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线C上的两点，的中点M在C的准线上的投影为N，则（    ） A．曲线C的准线方程为 B．若，则的面积为 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据抛物线的标准方程，求出准线方程判断A；求出点A的纵坐标计算判断B；设出点A，B的坐标，结合向量垂直的坐标表示及均值不等式求解判断C；利用抛物线定义结合余弦定理、均值不等式推理判断D作答. 【详解】抛物线的焦点，准线，设，有，，，曲线C的准线方程为，A不正确； ，而，则，即有，的面积，B正确； 由得：，显然，即有，，，当且仅当时取等号，C正确； 设点的横坐标为，有，则， 在中，，由余弦定理得：，由 即有， 当且仅当时取等号，因此，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛： 1.根据抛物线的定义，可以得出一个结论：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离都等于点 P到准线的距离，这个结论是抛物线最重要的一条性质，很多有关抛物线的填空题和选择题都是围绕这条性质设计； 2.何时使用定义：一般情况下，当题意中出现了"抛物线上的点与焦点的连线”或者出现了“抛物线上的点到准线(或垂直于抛物线对称轴的直线)的距离”的时候，都要优先考虑使用抛物线的定义来解题； 3. 抛物线的标准方程的表达式中含有一次项，根据这个特点，设抛物线上的点P的坐标就可以用一个变量进行表示，再结合相关的已知信息进行运算. 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知抛物线，点在上，过点的直线与相交于两点，直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】首先求出抛物线方程，再设直线联立抛物线方程得到韦达定理式，再计算将韦达定理式代入计算即可判断AB，同理化简，再根据的范围即可得到判断CD. 【详解】将代入，得．设， 直线的方程为，联立方程组，消去得． 由，得或，所以， 则． 因为，所以． 又因为，且或， 所以． 故选：BC. 4．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，准线与x轴的交于点D，下列结论正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．存在直线l，使得A，B两点关于直线对称 D．若直线l经过点D，且B点在线段AD上，不存在直线l，使得 【答案】ACD 【分析】对于A，利用抛物线的定义，数形结合判断；对于B，利用三角形两边的差小于第三边判断；；对于C，设出直线l的方程，与抛物线方程联立，借助对称思想判断；对于D，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合抛物线的定义判断作答. 【详解】抛物线C：的焦点，准线，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，交抛物线于点，连接，如图， ，当且仅当与重合时取等号， 因此，A正确； 因为，即的最大值是1，B不正确； 假设存在直线l，使得A，B两点关于直线对称，则设直线， 由消去x得：，则，解得， 设，即有，则有弦的中点在直线上， 即，解得，符合题意，即存在直线l，使得A，B两点关于直线对称，C正确； 点，显然直线l的斜率存在且不为0，设其方程为， 由消去y得：，，解得且， 设的横坐标分别为，则，， 所以不存在直线l，使得，D正确. 故选：ACD 直线与抛物线韦达定理的应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的A、两点． (1)求抛物线的方程； (2)如果，证明直线过定点，并求定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线方程求得即得； （2）设，，设，代入抛物线方程应用韦达定理得，，代入可求得，从而得定点坐标. 【详解】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程， 可得，解得，则抛物线方程为． （2）因为直线与抛物线相交于不同的A、两点， 所以直线不与x轴平行，可设，与联立，得， 设，，∴，．， 由 ，解得， ∴过定点． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1），（2）证明见解析，定点 【解析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程； （2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可 【详解】解：（1）因为抛物线的焦点坐标为， 所以，得， 所以抛物线的方程为， （2）①当直线的斜率不存在时，设， 因为直线的斜率之积为，所以，化简得， 所以，此时直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设其方程为，， 由，得，则， 因为的斜率之积为，所以， 即，即可， 解得（舍去），或， 所以，即，所以，即， 综上所述，直线过轴上的一定点 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【详解】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线：的焦点到顶点的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的几何性质有焦点到顶点的距离为，从而即可求解； （2）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立抛物线的方程，由韦达定理及两点间的斜率公式即可求解. 【详解】（1）解：依题意，，解得， ∴抛物线的方程为； （2）解：当直线的斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为，，， 由消去可得， ∵直线交抛物线于不同的两点， ∴，由韦达定理得， ∴. 5．（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析 【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论； （2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为， 与相切，所以半径为， 所以的方程为； （2）[方法一]：设 若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设， 则过与圆相切的另一条直线方程为， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称， 所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在， 则， 所以直线方程为， 整理得， 同理直线的方程为， 直线的方程为， 与圆相切， 整理得， 与圆相切，同理 所以为方程的两根， ， 到直线的距离为： ， 所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. [方法二]【最优解】：设． 当时，同解法1． 当时，直线的方程为，即． 由直线与相切得，化简得， 同理，由直线与相切得． 因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为． 所以直线与相切． 综上所述，若直线与相切，则直线与相切． 【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点，P是圆M：（x+1）2+y2＝1上一点，PA，PB都是C的切线． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)求△PAB的面积得最大值． 【答案】(1)y2＝4x，x (2)8 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可求出抛物线C的方程，可求出抛物线C的准线方程； （2）设P（x0，y0），切线方程为x﹣x0＝m（y﹣y0），PA，PB的斜率分别为，，联立切线方程和抛物线方程，得到直线AB的方程，联立直线A B与抛物线方程，求出|AB|以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可得△PAB的面积的最大值； 【详解】（1）因为抛物线C经过点，所以，即p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x，所以准线方程为x； （2）设P（x0，y0），切线方程为x﹣x0＝m（y﹣y0），PA，PB的斜率分别为，， 由，得y2﹣4my+4my0﹣4x0＝0，令Δ＝0，得m2﹣y0m+x0＝0， 由韦达定理可得m1+m2＝y0，m1m2＝x0，且yA＝2 m1，yB＝2m2， 所以A（m12，2m1），B（m22，2m2），于是kAB， 所以直线AB的方程为（x﹣m12）＝y﹣2m1，即2x﹣（m1+m2）y+2m1m2＝0， 所以点P到直线AB的距离为d， |AB||m1﹣m2|， 所以S△PAB|AB|•d|m1﹣m2||2x0﹣（m1+m2）y0+2m1m2| |2x0﹣y02+2x0||4x0﹣y02| 8（﹣2≤x0≤0）． 所以△PAB的面积得最大值为8． 专题01 集合与常用逻辑用语 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$