专题05双曲线及其性质（6基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（新疆专用）

专题05 双曲线及其性质 双曲线的定义 1．（23-24高二上·新疆·期末）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·新疆·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）已知双曲线，则C的一个焦点坐标（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·新疆·期末）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 （　） A． B． C． D． 椭圆与双曲线概念辨析 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（    ）． A．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则C是双曲线，其离心率为或 2．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知曲线C的方程为，则（    ） A．曲线C可以表示圆 B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 4．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）为何值时，方程表示下列曲线： (1)圆? (2)椭圆? (3)双曲线? 双曲线的方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）设圆C与双曲线的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆C的标准方程为 ． 3．（23-24高二上·新疆·期末）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 ． 4．（23-24高二上·新疆和田·期末）若双曲线的对称轴为坐标轴，离心率为，且过点，则该双曲线的标准方程为 ． ５．（22-23高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)，焦点是，的双曲线； (2)离心率为，短轴长为6的椭圆. ６．（23-24高二上·新疆·期末）（1）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为，求双曲线的标准方程． （2）求以双曲线C：的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程． ７．（23-24高二上·新疆和田·期末）若双曲线与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线. (1)求双曲线的标准方程; (2)求过点的抛物线标准方程． 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)求证： 双曲线的焦点三角形 1．（23-24高二上·新疆·期末）过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、两点，则A、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（    ） A． B．2 C． D．1 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的方程是． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 3．（23-24高二上·新疆·期末）过双曲线（）的左焦点作轴的垂线交双曲线于点，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 已知双曲线方程求渐近线和离心率 1．（23-24高二上·新疆·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线C：（）的一个焦点坐标为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2019·北京·高考真题）已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a= A． B．4 C．2 D． 4．（2018·全国·高考真题）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A． B． C． D． 5．（23-24高二上·新疆·期末）设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（    ） A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 7．（2017·全国·高考真题）双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 双曲线的简单几何性质 1．（23-24高二上·新疆·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为 D．渐近线方程为 4．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知双曲线的方程为，则（    ） A．渐近线方程为 B．焦距为 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8 5．（23-24高二上·新疆·期末）(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为yx，则下列结论正确的是（    ） A．C的方程为=1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D． 的最小值为2 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 7．（23-24高二上·新疆·期末）双曲线的右焦点到直线的距离为 ． 8．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点P在C的渐近线上，且，则a的最小值为 . 求双曲线的离心率及渐近线 1．（2019·浙江·高考真题）渐近线方程为的双曲线的离心率是 A． B．1 C． D．2 2．（23-24高二上·新疆·期末）若双曲线的渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·新疆·期末）设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知分别为双曲线的左，右顶点，点P为双曲线C上异于的任意一点，记直线，直线的斜率分别为．若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 6．（23-24高二上·新疆·期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的焦点到双曲线E：－,的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　) A．(1,] B．(1,2] C．[,＋∞) D．[2,＋∞) 9．（23-24高二上·新疆·期末）如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·新疆·期末）已知双曲线的左焦点为，过的直线与的左支交于点，与的其中一条渐近线在第一象限交于点，且，（是坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 双曲线弦长及中点弦 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），椭圆C与轴相交于两点，且，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求弦AB的中点坐标及|AB|. 4．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·期末）（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程. （2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，． (1)求双曲线的方程； (2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程． 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值. 双曲线的轨迹方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知点A 和B ，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与经过点（2，0）且倾斜角为的直线交于D、E两点 （1）求点C的轨迹方程； （2）求线段DE的长 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值. （1）试求动点的轨迹方程C． （2）设直线与曲线交于两点，当时，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 双曲线及其性质 双曲线的定义 1．（23-24高二上·新疆·期末）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】由题意可知，，，， 若，则，或1（舍去）， 若，，或13， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 2．（23-24高二上·新疆·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的方程即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，显然， 则由可得， 故, 故答案为： 3．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）已知双曲线，则C的一个焦点坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据双曲线方程直接写出焦点坐标即可. 【详解】因为双曲线，所以该双曲线为焦点在轴双曲线， 所以，所以， 所以焦点坐标为或， 故选：BC. 4．（2010·安徽·高考真题）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 ． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：双曲线方程变形为焦点为 考点：双曲线方程及性质 椭圆与双曲线概念辨析 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（    ）． A．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则C是双曲线，其离心率为或 【答案】ABD 【分析】由，可得为焦点在轴上的椭圆，可判断A；由，可判断B；由，，求得双曲线的渐近线方程，可判断C；由，讨论，，求得离心率，可判断D． 【详解】解：曲线， 若，则是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 若，即，则是圆，故B正确； 若，，则是双曲线， 其渐近线方程为，即，故C错误； 若，则是双曲线， 当，可得双曲线的焦点在轴上，可得， 当，可得双曲线的焦点在轴上，可得，故D正确． 故选：ABD． 2．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知曲线C的方程为，则（    ） A．曲线C可以表示圆 B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 【答案】CD 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的相关知识，对每个选项逐一分析即可. 【详解】若曲线C表示圆，则，解得，则曲线C的方程为，无意义，A不正确； 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，不等式无解，B不正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，C正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，D正确. 故选：CD 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BCD 【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项. 【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误； B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确； C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确. 故选：BCD. 4．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）为何值时，方程表示下列曲线： (1)圆? (2)椭圆? (3)双曲线? 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】（1））根据方程表示圆可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）根据方程表示椭圆可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）根据方程表示双曲线可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当方程表示的曲线为圆时，则，解得. （2）解：当方程表示的曲线为椭圆时，则，解得且. （3）解：当方程表示的曲线为双曲线时，则，解得. 双曲线的方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴，从而求得双曲线方程. 【详解】椭圆的焦点为． 因为所求双曲线的离心率， 所以其实半轴长为2，虚半轴长为， 故所求双曲线的方程为． 故选：B 2．（23-24高二上·新疆·期末）设圆C与双曲线的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的方程求出双曲线的焦点和渐近线方程，再根据双曲线的渐近线与圆C相切，可得圆的半径，进而得出答案. 【详解】由双曲线可得：， 所以双曲线的渐近线为，即， 又因为双曲线的右焦点为，圆C的圆心在双曲线的右焦点，所以， 因为圆与双曲线的渐近线相切， 所以到直线的距离为， 故圆C的标准方程为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·新疆·期末）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 ． 【答案】 【分析】由题知双曲线的焦点在轴上，设出方程，根据渐近线方程，确定待定系数即可. 【详解】因为双曲线焦点是， 故该双曲线的焦点在轴上.设双曲线方程为 因为双曲线的渐近线为，则， 解得，则双曲线的方程为. 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据焦点位置，设出双曲线方程, 4．（23-24高二上·新疆和田·期末）若双曲线的对称轴为坐标轴，离心率为，且过点，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意得，设，代入即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以不妨设双曲线的方程为， 将点代入得，解得， 所以该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 1．（22-23高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)，焦点是，的双曲线； (2)离心率为，短轴长为6的椭圆. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意设双曲线方程为根据焦点坐标和基本量关系求解即可； （2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可. 【详解】（1）由题意设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 又，故， 所以双曲线的方程为. （2）当焦点在轴时，设椭圆方程为， 由题可得，解得，， 所以椭圆方程为； 当焦点在轴时，设椭圆方程为， 由题可得，解得，， 所以椭圆方程为； 所以，所求椭圆方程为或. 2．（23-24高二上·新疆·期末）（1）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为，求双曲线的标准方程． （2）求以双曲线C：的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程． 【答案】（1）或（2） 【分析】（1）设出以为渐近线的双曲线方程，利用待定系数法即可求得双曲线的标准方程； （2）利用题给条件求得该椭圆的长半轴长短半轴长及焦点所在轴，进而得到该椭圆标准方程． 【详解】（1）双曲线的一条渐近线方程是， 则该双曲线可设为， 双曲线的焦距为，则半焦距 当时，由，可得， 此时双曲线的标准方程为． 当时，由，可得， 此时双曲线的标准方程为． （2）双曲线C：的焦点为，顶点为， 则所求椭圆焦点为，且为其x轴上顶点， 则该椭圆的长半轴长为5，半焦距为4，短半轴长为3， 故该椭圆标准方程为 3．（23-24高二上·新疆和田·期末）若双曲线与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线. (1)求双曲线的标准方程; (2)求过点的抛物线标准方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由题意得，设双曲线的标准方程为，由平方关系即可得解. （2）设过点的抛物线标准方程为或，代入即可得解. 【详解】（1）由题意在椭圆中有，，焦点在x轴上， 而双曲线与双曲线有相同渐近线， 所以设双曲线的标准方程为， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设过点的抛物线标准方程为或， 所以有或，解得或， 所以过点的抛物线标准方程为或. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)求证： 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）由，可设双曲线的方程为,利用待定系数法,求出双曲线的方程； （2）由双曲线方程得到焦点、的坐标,然后由直线MF1和MF2的斜率积为-1,证明MF1⊥MF2,从而完成证明. 【详解】（1）因为离心率，可设双曲线方程为. 因为双曲线过点,所以,即， 所以双曲线方程为 （2）由(1)可知,双曲线中，所以，所以、. 因为，所以，所以. 因为点在双曲线上，所以，所以， 故，所以，所以. 即证. 双曲线的焦点三角形 1．（23-24高二上·新疆·期末）过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、两点，则A、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】由椭圆的方程可求出，再结合椭圆的定义可知，得解. 【详解】因为椭圆可化为，所以，即， 故的周长为. 故选：A. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的方程是． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 【答案】(1)； (2)2. 【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程； （2）由双曲线定义有，结合已知求即可. 【详解】（1）由双曲线方程知：其渐近线方程为； （2）由双曲线定义，又，    所以，可得（负值舍）， 所以的大小为2. 3．（23-24高二上·新疆·期末）过双曲线（）的左焦点作轴的垂线交双曲线于点，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是等腰直角三角形，所以，再根据双曲线的定义即可到关系的式子，化简即可得到双曲线的离心率 【详解】依题意可得，是等腰直角三角形 所以 则． 根据双曲线的几何定义可得，，所以，则， 故选：B 已知双曲线方程求渐近线和离心率 1．（23-24高二上·新疆·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程可知焦点位置和a，b的值，然后可得. 【详解】由题知，双曲线C的焦点在x轴上，且， 所以，渐近线方程为，即. 故选：A 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线C：（）的一个焦点坐标为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平方关系以及渐近线方程的求法即可得解. 【详解】由，得，解得，则C的渐近线方程为． 故选：B. 3．（2019·北京·高考真题）已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a= A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解. 【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ， ∴ ， 解得 ， 故选D. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．（2018·全国·高考真题）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果. 详解：根据题意，可知，因为， 所以，即， 所以椭圆的离心率为，故选C. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果. 5．（23-24高二上·新疆·期末）设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（    ） A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据的方程为，则渐近线为；若渐近线方程为，则双曲线方程为（）即可得答案. 【详解】解：若的方程为，则，，渐近线方程为， 即为，充分性成立； 若渐近线方程为，则双曲线方程为（）， “的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，转化求解m，得到双曲线方程，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】椭圆的焦点：(±2,0)， 双曲线与椭圆有相同的焦点， 可得,解得， 双曲线的渐近线方程为：. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质及双曲线的简单性质，属于基础题. 7．（2017·全国·高考真题）双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 【答案】 【分析】依题意由双曲线方程可得双曲线的渐近线为，即可得到方程，解得即可. 【详解】解：双曲线的一条渐近线方程为， 又双曲线的渐近线为，可得，解得． 故答案为：． 双曲线的简单几何性质 1．（23-24高二上·新疆·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由双曲线实轴长为，有，又， . 故选：A. 2．（23-24高二上·新疆·期末）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出焦点坐标和渐近线方程为，再利用点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】因为抛物线的焦点，又双曲线的渐近线方程为， 所以焦点到双曲线渐近线的距离为， 故选：B． 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】确定、、的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误. 【详解】对于双曲线，，，则， 对于A选项，双曲线的顶点坐标为，A对； 对于B选项，双曲线的焦点坐标为，B错； 对于C选项，双曲线的实轴长为，C对； 对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，D对. 故选：ACD. 4．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知双曲线的方程为，则（    ） A．渐近线方程为 B．焦距为 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8 【答案】BC 【分析】根据方程求，进而结合双曲线的性质逐项分析判断. 【详解】因为双曲线方程为，即， 则，且双曲线焦点在轴上， 所以渐近线方程为：，A选项错误； 焦距，B选项正确； 离心率，C选项正确； 焦点为，则焦点到渐近线的距离为，D选项错误． 故选：BC. 5．（23-24高二上·新疆·期末）(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为yx，则下列结论正确的是（    ） A．C的方程为=1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D． 的最小值为2 【答案】AD 【解析】由双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为yx，可得双曲线C的，再根据双曲线的性质对每一个选项进行逐一判断即可. 【详解】双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为yx， 可得，焦点坐标在x轴上，所以， 由，所以， 所以C的方程为=1，A正确； 离心率为e =，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d==4，C不正确； 的最小值为，D正确. 故选：AD 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】先求出渐近线的方程和圆心到渐近线的距离，再利用圆的弦长公式求解. 【详解】双曲线C：的一条渐近线方程为，即. 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到渐近线的距离为. 所以渐近线被圆截得弦长为. 故选：C 7．（23-24高二上·新疆·期末）双曲线的右焦点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，， 所以双曲线的右焦点为， 所以右焦点到直线的距离为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点P在C的渐近线上，且，则a的最小值为 . 【答案】1 【分析】设，由可得点在圆上，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】设，由，得， 整理得，即， 所以点在圆上，圆心为，半径为. 又渐近线即与圆有交点， 所以，即， 整理得，解得，即a的最小值为1. 故答案为：1.    求双曲线的离心率及渐近线 1．（2019·浙江·高考真题）渐近线方程为的双曲线的离心率是 A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c 则该双曲线的离心率为 e， 故选C． 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 2．（23-24高二上·新疆·期末）若双曲线的渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线和圆线相切，可得圆心到渐近线的距离，再结合双曲线的性质，代入即可得解. 【详解】易知双曲线的一条渐近线为， 圆的圆心为，半径， 由题意得：圆心到渐近线的距离， 又因为，代入可得：， 所以， 故选：D. 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，考查了直线和圆的位置关系以及双曲线的性质，考查了计算能力，这类题型的解题思路是根据条件直接得到之间的关系即可求得离心率，本题属于中档题. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意得到，从而得到，即可得到答案. 【详解】由题知：设，一条渐近线方程为，即. 因为，所以， 故渐近线方程为. 故选：A 4．（23-24高二上·新疆·期末）设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件和双曲线的性质，在三角形值寻找等量关系，得到之间的等量关系，进而求出离心率. 【详解】依题意，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知， 根据双曲定义可知，整理得， 代入整理得，求得； ∴． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率问题，正确解题的关键是熟练掌握双曲线的性质，以及寻找判断三角形中边的关系. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知分别为双曲线的左，右顶点，点P为双曲线C上异于的任意一点，记直线，直线的斜率分别为．若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由斜率定义求出，得，结合化简，得的齐次式，进而求得. 【详解】依题意， 设，则， ∴，又， ∴，故，即． 故选：C． 6．（2018·全国·高考真题）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 7．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设出坐标后结合题意表示出斜率之积，计算可得，由即可得离心率. 【详解】 设，则，， 则， 由在双曲线上，故， 即有，故， 即有，即， 故. 故选：A. 8．（23-24高二上·新疆·期末）已知抛物线的焦点到双曲线E：－,的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　) A．(1,] B．(1,2] C．[,＋∞) D．[2,＋∞) 【答案】B 【详解】抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为bx＋ay＝0， 由题知，化简得b2≤3a2， 又c2＝a2＋b2，∴c2≤4a2，∴e≤2，又e＞1， ∴．故双曲线E的离心率的取值范围是． 故选：B． 9．（23-24高二上·新疆·期末）如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解. 【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形， 设，则，，， 在中，，解得或m＝0（舍去）， 从而有，中，，整理得，， 所以双曲线E的离心率为． 故选：B 10．（22-23高二上·新疆·期末）已知双曲线的左焦点为，过的直线与的左支交于点，与的其中一条渐近线在第一象限交于点，且，（是坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据可得，从而利用表示出点坐标，代入双曲线方程即可构造出关于的方程，从而解方程求得结果. 【详解】 作轴，轴，垂足分别为， ，，， ，，， ，， ，，， ， 又在双曲线上，，整理可得：， 解得：或（舍），. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，本题求解的关键是能够根据共线向量，得到线段长度间的比例关系，从而利用表示出双曲线上的点的坐标，结合双曲线方程求得结果. 双曲线弦长及中点弦 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可. 【详解】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以该弦存在， 故选：D 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案. 【详解】（1）由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. （2）由，得， 则， 设，，则，， 所以. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），椭圆C与轴相交于两点，且，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求弦AB的中点坐标及|AB|. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意以及即可求出椭圆的标准方程. （2）将直线与椭圆方程联立，由中点坐标公式以及弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆C的焦点为和 ，长轴长为， 所以椭圆的焦点在轴上，. 所以. 所以椭圆C的标准方程. （2）设，，AB线段的中点为， 由得， 所以，   所以，， 所以弦AB的中点坐标为， . 4．（22-23高二上·新疆巴音郭楞·期末）（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程. （2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据双曲线所过点和两双曲线离心率相同可设所求方程为，代入点即可整理求得结果； （2）方法一：设所求直线为，与双曲线方程联立可得，结合中点坐标可构造方程求得的值，由此可得直线方程； 方法二：利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程. 【详解】 （1）双曲线过点，所求双曲线的焦点在轴上， 又所求双曲线离心率与双曲线离心率相同， 可设其方程为：， 将代入双曲线方程得：，则所求双曲线标准方程为：. （2）方法一：由题意知：所求直线的斜率存在， 可设其方程为：，即， 由得：， 设，，， 又为中点，，解得：， 当时，满足，符合题意； 所求直线的方程为：，即； 方法二：设，， 均在双曲线上，， 两式作差得：， 直线的斜率， 又为中点，，，， 经检验：该直线存在， 所求直线的方程为：，即. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，． (1)求双曲线的方程； (2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由题意可得：，，，解得，，，即可得出双曲线的方程． （2），设直线的方程为，，，联立直线的方程与双曲线的方程化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，利用的面积，解得，即可得出直线的方程． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， 解得，，， 所以双曲线的方程为. （2）解：由题意可知，直线的斜率不为0， 设：，设，， 联立，消，得， 由，解得，则. 所以， 所以的面积， 由，整理得， 解得，， 所以直线的方程为或. 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距求出，利用的最大面积求出，从而求出，求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，求出两点的坐标，从而求出，再设出直线的方程，联立椭圆方程，表达出，及四边形的面积，求出的长度的最大值，从而求出四边形的面积最大值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为.因为，所以， 当为上顶点或下顶点时，的面积最大， 因为的最大面积为，所以，即， 所以，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设，联立消去得， 解得， 所以，所以两点的坐标分别为， 所以. 因为，设四边形的面积为， 所以. 设直线的方程为. 联立消去得， 所以， 即， ， 所以 ， 所以当时，， 此时. 所以四边形面积的最大值为. 【点睛】求解圆锥曲线中的四边形或三角形面积问题，通常要设出直线方程，将直线与圆锥曲线联立，求解两根之和，两根之积，再利用弦长公式，点到直线距离公式等求解线段长，表达出面积，结合基本不等式或二次函数等求出最值. 双曲线的轨迹方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答. 【详解】点，，令为轨迹上任意点，则有， 因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为8的双曲线， 即双曲线的实半轴长，而半焦距，则虚半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知点A 和B ，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与经过点（2，0）且倾斜角为的直线交于D、E两点 （1）求点C的轨迹方程； （2）求线段DE的长 【答案】（1），（2） 【详解】分析：（1）根据双曲线的定义可得2a=2，，结合a，b，c的关系即可求出（2）先求出直线方程，再根据弦长公式结合韦达定理即可得出结论. 详解：（1）设点C， 则，根据双曲线定义，可知C的轨迹是双曲线 由， 故点C的轨迹方程是 （2）由已知条件得直线方程为由与消y得 ＞0，∴直线与双曲线有两个交点， 设 所以 点睛：考查双曲线的定义和基本性质，直线与圆锥曲线的弦长公式，对弦长公式得记忆是本题关键，属于基础题. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值. （1）试求动点的轨迹方程C． （2）设直线与曲线交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）求动点轨迹方程的步骤，一是设动点坐标二是列出动点满足的条件，三是化简，，四是去杂，； （2）联立椭圆的方程和直线的方程，消去，利用韦达定理得，结合弦长公式即可求解的值，即可直线的方程. 【详解】解：（1）设点则依题意有 整理得，由于， 所以求得的曲线C的方程为. （2）设， 由消去得， 解得， 又， 解得， 所以直线的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$