专题04椭圆及其性质（5基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（新疆专用）

· 专题04 椭圆及其性质 椭圆的定义 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义求解即可. 【详解】由椭圆：知：， 由椭圆定义得：， 又，所以， 故选：A. 2．（23-24高二上·新疆·期末）若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ． 【答案】14 【分析】借助椭圆定义即可得. 【详解】由，则，由在椭圆上，故有, 又，所以. 故答案为：. 3．（23-24高二上·新疆·期末）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将椭圆方程化为标准方程，即可得出焦点坐标. 【详解】∵椭圆的标准方程为=1，∴，， ∴，且焦点在轴上， ∴焦点坐标为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求椭圆的焦点坐标，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型. 椭圆的方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）下列椭圆中最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】椭圆的离心率越小，则椭圆越圆，则越大，分析各选项中的椭圆中的即可得出答案. 【详解】椭圆的离心率越小，则椭圆越圆，则越大， A中，B中，C中，D中， 其中C中的最大，故选择C的椭圆最圆， 故选：C. 2．（23-24高二上·新疆·期末）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆中之间的关系求解即可. 【详解】焦距为， 长轴长与短轴长之比为2:1， ，即， 且，联立解得， 焦点在y轴上，所以椭圆方程为：. 故选：D 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设椭圆方程为，再将代入椭圆方程求出，则有，再结合可求出，从而可得椭圆方程. 【详解】由题意设椭圆方程为，则， 当时，，则， 因为，所以，得，所以， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆方程为， 故选：C 4．（23-24高二上·新疆·期末）若椭圆：的长轴长为4，焦距为2，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由焦距可得c，长轴长得到a，再根据可得答案. 【详解】因为椭圆的长轴长为4，则，焦距为2， 由，得， 则椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 5．（23-24高二上·新疆·期末）若椭圆的离心率为，短半轴长为，则该椭圆的长半轴长为 ． 【答案】 【分析】根据离心率、短半轴长和椭圆关系，可构造方程组求得的值. 【详解】由题意知：，解得：，，即椭圆的长半轴长为. 故答案为：. 椭圆的焦点三角形 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解. 【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为. 故答案为A 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】画出图形，根据椭圆的定义和性质及余弦定理的应用求解即可. 【详解】由题意知该椭圆的焦点在轴上，如图所示： 由题意，， 所以， 由余弦定理得：， 即， 即 解得：或（舍去） 由， 所以， 故选：D. 3．（23-24高二上·新疆·期末）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出 【详解】解：由椭圆的方程可得， 所以，得 且，， 在中，由余弦定理可得 ， 而，所以，， 又因为，，所以， 所以， 故选：B 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理结合已知得出，根据勾股定理得出.根据离心率公式，结合椭圆的定义，即可得出.根据焦点即可得出答案. 【详解】    由正弦定理得. 又，则， 又，得， 所以，，， 所以椭圆C的离心率. 又，所以. 故选：A. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 【答案】4 【分析】由椭圆定义以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面积为4. 【详解】根据椭圆定义可知， 由勾股定理可得， 所以可得， 因此可得三角形的面积为. 故答案为：4 椭圆的简单几何意义 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）关于椭圆 ，下列结论正确的是（ ） A．长轴长为4 B．短轴长为1 C．焦距为 D．离心率为 【答案】ACD 【分析】结合椭圆的几何性质依次判断即可. 【详解】因为椭圆，所以，，. 长轴长为4 ，故 A正确； 短轴长为，故B 错误； 焦距为，故C正确； ，故 D正确. 故选：ACD. 2．（23-24高二上·新疆·期末）(多选)已知椭圆与椭圆有相同的长轴，椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等，则（    ） A．a2＝25 B．b2＝25 C．a2＝9 D．b2＝9 【答案】AD 【分析】由椭圆的标准方程求出两个已知椭圆的长轴长和短轴长，再利用椭圆间的关系进行求解. 【详解】因为椭圆的长轴长为10， 且椭圆的短轴长为6， 所以椭圆中，，， 即，. 故选：AD. 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知椭圆：，则下列各选项正确的是（    ） A．若的离心率为，则 B．若，的焦点坐标为 C．若，则的长轴长为6 D．不论取何值，直线都与没有公共点 【答案】BCD 【分析】对于A，分焦点在轴上和焦点在轴上讨论即可判断；对于B，根据得出的焦点在轴上，再由平方关系即可判断；对于C，根据，可以得出，根据长轴长的定义即可判断；对于D，首先求出的范围，然后在方程中，令，得出矛盾，由此即可判断. 【详解】对于A，当椭圆：的焦点在轴上时，此时； 但当椭圆：的焦点在轴上时，此时，解得， 综上，若的离心率为，则或，故A错误； 对于B，若，则的焦点在轴上，，即的焦点坐标为，故B正确； 对于C，若，则的焦点在轴上，，所以的长轴长为，故C正确； 对于D，由题意方程表示椭圆，所以， 在中令，得，即， 结合可知，，这与矛盾， 这表明了不论取何值，直线都与没有公共点，故D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高二上·新疆·期末）设分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则= . 【答案】 【分析】先设P点，中点，再求焦点,再根据线段的中点在轴上，求出P点坐标，再利用焦半径公式即可得的长,则可解. 【详解】设，中点. 由题意得，，由线段的中点在轴上， 则有，，代入中得P点坐标 为或根据焦半径公式可得，， ∴. 故答案为：. 【点睛】考查椭圆的焦半径公式, 解题关键要求出P点坐标. 弦长及中点弦问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为． (1)求此椭圆的方程； (2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由，得， ∴椭圆方程为 （2）由题意可知直线的方程为：， 由得， 解得． ∴． 2．（23-24高二上·新疆·期末）椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点．求的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据题意和椭圆的定义可知，再根据，即可求出，由此即可求出椭圆的方程和离心率； （2）求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，设，求出，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据面积公式即可求出结果. 【详解】（1）由题意，，， 所以椭圆的标准方程为，离心率为； （2）直线的方程为，代入椭圆方程得 设，则 ∴， 又∵点到直线的距离 即的面积为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆锥曲线中弦长公式的应用. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知离心率且焦距为，结合焦距为即可得解. （2）由题意已知，所以设出直线方程（只含有一个参数即截距，不妨设为），将其与椭圆方程联立后，再结合韦达定理可将表示成的函数，进一步求其最大值即可. 【详解】（1）由题意得, 解得,，， ∴椭圆的方程为 . （2）因为，所以设直线的方程为，，. 联立得得 ， 又直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，∴ ∴， ∴ 故当，即直线过原点时，最大，最大值为. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. (1)求的方程； (2)若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件确定的值，即得椭圆的标准方程； （2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题. 【详解】（1）由题意可得，得，所以的方程为. （2）由题意得. 设，，依题意可得，且， 由得， 则，解得. 经检验，点在椭圆内. 所以为所求. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），椭圆C与轴相交于两点，且，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求弦AB的中点坐标及|AB|. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意以及即可求出椭圆的标准方程. （2）将直线与椭圆方程联立，由中点坐标公式以及弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆C的焦点为和 ，长轴长为， 所以椭圆的焦点在轴上，. 所以. 所以椭圆C的标准方程. （2）设，，AB线段的中点为， 由得， 所以，   所以，， 所以弦AB的中点坐标为， . 椭圆的离心率问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于点M，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意画出椭圆的图像，再求出点M的坐标，进而利用得到离心率. 【详解】如图，不妨设点M为第二象限的点，直线与x轴交于点.    ， 于是， ，. ，又，，则由, 得，即，于是. 所以椭圆的离心率. 故选:C. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上位于第一象限的点满足，若直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接建立关系，即可求出结果. 【详解】设的离心率为，因为，则的横坐标为，且为第一象限上的点， 由，解得，则，又因为直线的斜率为， 则，得到，又，所以， 得到，解得或（舍）． 故选：A. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知，是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为 .（注：离心率等于） 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义及勾股定理求出，从而求出，结合题干条件得到，从而求出离心率. 【详解】由椭圆定理可知：，， 因为，由勾股定理得：， 即， 所以， 解得：， 所以， 因为， 所以，故， 故离心率为. 故答案为： 与椭圆相关最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D．13 【答案】B 【分析】由，结合图形即得. 【详解】因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得：， 当点P在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：B. 2．（23-24高二上·新疆·期末）椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（    ） A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，） 【答案】C 【解析】设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围． 【详解】解：设P（x，y），由椭圆方程得椭圆焦点坐标为为F1（﹣，0），F2（，0）， 且∠F1PF2是钝角⇔⇔（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20 ⇔x2+5+y2＜10⇔x2+4（1﹣）＜5⇔x2＜．所以． 故选：C． 【点睛】结论点睛：本题考查椭圆的标准方程的应用，中，为锐角，为直角，为钝角． 3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知点F是椭圆的右焦点，点到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过，当椭圆的离心率取到最大值时，则的最大值等于 ． 【答案】/ 【分析】设，求得的表达式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质、椭圆的定义来求得的最大值. 【详解】设，则，即且． 因为， 而，即， 所以，当，即时， 当时，取得最大值，． 又因为椭圆的离心率，因此当时，e最大． 设椭圆的左焦点为，则，因此， 所以当Q在的延长线上时，取得最大值， ， 因此的最大值为． 当，即时， 当时，取得最大值，， 由解得，即． 又因为椭圆的离心率，因此当时，e最大． 设椭圆的左焦点为，则， 因此， 所以当Q在的延长线上时，取得最大值， ， 因此的最大值为． 综上所述，的最大值为． 故答案为： 【点睛】在椭圆有关线段和差的最值问题求解的过程中，可考虑利用椭圆的定义进行转换，从而求得最值. 直线与椭圆的位置关系 1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 2．（23-24高二上·新疆·期末）设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据，设出，，，从而得到椭圆，直线：，联立椭圆和直线得到，，再求直线BC的斜率即可. 【详解】由题知：，，， ，设，则，， 则椭圆，直线：. 所以，解得，， 则. 因为，所以. 故选：C 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆，焦点，．若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是 ． 【答案】． 【分析】写出点坐标，求得直线斜率，得直线方程，由圆心到直线的距离等于半径可求得的关系，从而可求得斜率． 【详解】由题意，，， 直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 直线与圆相切，则，整理得， 所以，， 故答案为：． 4．（23-24高二上·新疆·期末）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意直线过的定点在椭圆上或椭圆内，进而，解不等式即可得答案. 【详解】解：由题知直线l：过定点， 因为直线l：与椭圆C：（）总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内， 所以，由于，所以， 所以实数a的取值范围是 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知M，N是椭圆的上顶点和右顶点，且直线的斜率为． (1)求椭圆E的离心率； (2)设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，再由，可求出离心率， （2）由离心率可得椭圆方程为，设，则由可得，再由在椭圆上，可得，从而可求出直线的斜率 【详解】（1）椭圆的上顶点为和右顶点为， 因为直线的斜率为， 所以，， 所以离心率为， （2）因为离心率，所以，则， 所以椭圆方程为，， 设， 则，得，则， 因为在椭圆上，所以，， 解得， 则直线的斜率为， 6．（23-24高二上·新疆·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由椭圆离心率为可知，所以椭圆的方程为，将点代入椭圆的方程即可求解； （2）设直线的方程并将其方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及求解. 【详解】（1）由可知，，则，即， 则椭圆的方程为， 将点代入椭圆方程可得， 解得，， 故椭圆的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，且，， 将直线方程与椭圆方程联立，得， ，化简得，解得或， ，， 由可知，所以，， 所以，化简得 ，解得， 所以直线的斜率为. 7．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上是否存在一点使得？若存在求的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)椭圆上不存在点，使得，理由见解析 【分析】（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆的标准方程； （2）假设椭圆上存在点，使得，由向量垂直与数量积的关系得到点坐标的一个方程，与椭圆方程联立，由方程组无解说明椭圆上不存在一点，使得． 【详解】（1）椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为， ，， ， 椭圆的标准方程为：； （2）假设椭圆上存在点，使得， 则， 即， 联立，得：，此方程无解． 椭圆上不存在点，使得． 定点、定值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线经过与桶圆交于，两点，且的周长为12． （1）求椭圆的离心率． （2）若，分别为椭圆的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题意可得，的周长为，可求出，从而得到离心率. （2）根据题意有，，设，由斜率公式分别得出，，再结合椭圆方程可得答案. 【详解】（1）解：由题可知， 的周长为， 所以，所以椭圆的离心率为． （2）证明：由（1）可知椭圆的方程为，，． 设则，所以 ，， 由椭圆方程可知，， 所以，即是定值． 2．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线不过点且与椭圆交于、两点，直线、的斜率分别为、，则，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设的方程为，设点、，其中，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为椭圆经过点，且离心率为， 则，解得，故椭圆的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，则点、关于轴对称， 设点，则点，且，且， ，不合乎题意，故直线的斜率存在， 设直线的方程为，设点、，    因为直线不过点，则， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 整理可得， 即，化简得，解得， 所以，直线的方程为，故直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设椭圆的半焦距为，再分圆在椭圆的内部和外部两种情况分别求解即可； （2）由题意椭圆的方程为，再设，得出切线的方程，将代入可得的坐标都满足方程即可得定点. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为．当圆在椭圆的内部时，，椭圆的方程为． 当圆在椭圆的外部时，， 椭圆的方程为． （2）证明：设． 因为椭圆的短轴长小于4，所以的方程为． 则由已知可得，切线的方程为的方程为， 将代入的方程整理可得， ． 显然的坐标都满足方程， 故直线的方程为， 令，可得，即直线过定点． 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆C：（）的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点． (1)求椭圆C的方程． (2)设A是椭圆C的右顶点，P，Q是椭圆C上不同的两点，直线的斜率分别为，，且．过A作，垂足为B，试问是否存在定点M，使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由题意，将点代入即可得解. （2）由题意，，直线PQ的方程为，且，联立椭圆方程，结合韦达定理以及，得直线PQ恒过点．进一步结合，可得点B在以线段为直径的圆上，由此即可得解. 【详解】（1）因为椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，所以， 则椭圆C的方程为． 又椭圆C经过点，所以， 解得，，所以椭圆C的方程为． （2） 设，，若直线斜率为0，不妨设， 此时是方程的两根，所以， 但，不满足题意； 若直线斜率不为0，直线PQ的方程为，且， 联立方程组，消去x得， 由，得， 所以，． 又因为， 所以，整理得， 即， 化简得． 所以， 化简得，解得，即直线PQ恒过点． 因为，所以点B在以线段为直径的圆上，取线段的中点， 则，所以存在定点，使得线段的长度为定值． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆，长轴长为4， 离心率是 (1)求椭圆 C的标准方程； (2)斜率为且不过原点的直线交椭圆C于 A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点 G，交直线于点D. 若 证明：直线经过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出椭圆 C的标准方程. （2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆得交点坐标，再结合已知求出的值即可得结论. 【详解】（1）由椭圆的长轴长为4，得，即， 由离心率是，得，解得， 所以椭圆 C的标准方程为. （2）设直线的方程为：，， 由消去并整理得：， ，即，设， 则，，于是点， 直线的方程为，则点， 由，解得，设点，则， 显然点的纵坐标同号，由得，， 因此，解得，此时，直线：过定点， 所以直线经过定点，该定点坐标为. 椭圆的轨迹方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知动点到两个定点的距离之和为4，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，过点的直线与交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据椭圆的定义求椭圆的标准方程. （2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，得出关于x的方程，根据韦达定理，表示出的面积公式，利用单调性，求出面积最大值. 【详解】（1）由题知P的轨迹为E是以，－），（0，）为焦点，长轴长为4的椭圆 即，∴ E的方程为. （2）因为直线l的斜率存在，设l：，代入 整理得，设 则恒成立 ∴， 直线的方程为 点Q到直线的距离 所以， 设 在上单调递减 故当，即时的面积取最大值. 椭圆的综合问题 1．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌､实际行动，践行“航空报国､航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．线段AB长度的取值范围是 C．的周长为 D．不算椭圆在x轴上的端点，x轴上方椭圆上存在2个点A，使得 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求出椭圆短半轴长、半焦距，求出长轴长判断A；求出OA长范围判断B；利用椭圆定义求出焦点三角形周长判断C；计算判断D作答. 【详解】依题意，半椭圆所在椭圆的半焦距，短半轴长，得长半轴长，则长轴长，A正确； ，因此，B正确； 因点F，G是椭圆的两个焦点，则的周长，C正确； 显然，在中，， 因此不可能为直角，除椭圆在x轴上的端点外，x轴上方椭圆上不存在点A，使，D不正确. 故选：ABC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题04 椭圆及其性质 椭圆的定义 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则（    ） A．4 B．6 C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ． 3．（23-24高二上·新疆·期末）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 椭圆的方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）下列椭圆中最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4． （23-24高二上·新疆·期末）若椭圆：的长轴长为4，焦距为2，则椭圆的标准方程为 . 5．（23-24高二上·新疆·期末）若椭圆的离心率为，短半轴长为，则该椭圆的长半轴长为 ． 椭圆的焦点三角形 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为(　　) A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若且，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（    ） A．6 B． C．8 D． 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 椭圆的简单几何意义 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）关于椭圆 ，下列结论正确的是（ ） A．长轴长为4 B．短轴长为1 C．焦距为 D．离心率为 2．（23-24高二上·新疆·期末）(多选)已知椭圆与椭圆有相同的长轴，椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等，则（    ） A．a2＝25 B．b2＝25 C．a2＝9 D．b2＝9 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知椭圆：，则下列各选项正确的是（    ） A．若的离心率为，则 B．若，的焦点坐标为 C．若，则的长轴长为6 D．不论取何值，直线都与没有公共点 4．（23-24高二上·新疆·期末）设分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则= . 　　　　　　　　　　　弦长及中点弦问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为． (1)求此椭圆的方程； (2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值． 2．（23-24高二上·新疆·期末）椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点．求的面积． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的最大值. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. (1)求的方程； (2)若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），椭圆C与轴相交于两点，且，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求弦AB的中点坐标及|AB|. 椭圆的离心率问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于点M，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上位于第一象限的点满足，若直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知，是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为 .（注：离心率等于） 与椭圆相关最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D．13 2．（23-24高二上·新疆·期末）椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（    ） A．（﹣，）B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，） 3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知点F是椭圆的右焦点，点到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过，当椭圆的离心率取到最大值时，则的最大值等于 ． 直线与椭圆的位置关系 1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆，焦点，．若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是 ． 4．（23-24高二上·新疆·期末）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知M，N是椭圆的上顶点和右顶点，且直线的斜率为． (1)求椭圆E的离心率； (2)设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且，求直线的斜率． 6．（23-24高二上·新疆·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率． 7．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为 (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上是否存在一点使得？若存在求的面积，若不存在，请说明理由． 定点、定值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线经过与桶圆交于，两点，且的周长为12． （1）求椭圆的离心率． （2）若，分别为椭圆的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 2．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线不过点且与椭圆交于、两点，直线、的斜率分别为、，则，证明：直线过定点. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点． 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆C：（）的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点． (1)求椭圆C的方程． (2)设A是椭圆C的右顶点，P，Q是椭圆C上不同的两点，直线的斜率分别为，，且．过A作，垂足为B，试问是否存在定点M，使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆，长轴长为4， 离心率是 (1)求椭圆 C的标准方程； (2)斜率为且不过原点的直线交椭圆C于 A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点 G，交直线于点D. 若 证明：直线经过定点，并求出定点坐标. 椭圆的轨迹方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知动点到两个定点的距离之和为4，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，过点的直线与交于两点，求面积的最大值. 椭圆的综合问题 1．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌､实际行动，践行“航空报国､航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．线段AB长度的取值范围是 C．的周长为 D．不算椭圆在x轴上的端点，x轴上方椭圆上存在2个点A，使得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$