专题03圆的方程、直线和圆及圆与圆（8基础题型+9提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（新疆专用）

专题03 圆的方程、直线和圆及圆与圆 圆的标准方程及一般方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）圆心是，且过点的圆的方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点间距离公式求半径，然后可得方程. 【详解】由题可得， 又圆心为，所以圆的方程为. 故选：C 2．（23-24高二上·新疆·期末）圆 的圆心和半径分别为（    ） A．，2 B．， C．，2 D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可. 【详解】由可得，， 所以圆心为，半径为， 故选:B. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出圆心坐标与圆的半径，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心为的中点，直径为，半径为， 所求圆的标准方程为. 故选：C. 【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，一般要确定圆心坐标和圆的半径，考查计算能力，属于基础题. 4．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线过定点A. (1)求点A的坐标； (2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将化为，解方程组，即可得出答案； （2）联立方程组，得出B点坐标，进而求出圆心以及半径，即可得出答案. 【详解】（1）可化为， 令，得， 所以，直线过定点. （2）当时，， 联立方程组，解得， 即. 因为，所以线段的中点，即圆心的坐标为， 所以，， 故以为直径的圆的标准方程为. 6．（23-24高二上·新疆·期末）求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x轴上，半径为5，且过点； (2)经过点、，且以线段AB为直径； (3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点； (4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，． 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程. 【详解】（1）设圆的标准方程为． 因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6， 所以所求圆的标准方程为或． （2）设圆的标准方程为，由题意得，； 又因为点在圆上，所以． 所以所求圆的标准方程为． （3）设圆心为． 因为圆与直线y=1-x相切于点，所以， 解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径． 所以所求圆的方程为． （4）设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为． 又该圆经过A、B两点，所以． 所以，解得a=-2， 所以圆心坐标为，半径． 故所求圆的标准方程为． 圆对称性的应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线l将圆平分，若l不经过x轴的负半轴，则其斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线l将圆平分，可得直线过圆心，再根据l不经过x轴的负半轴，求出斜率的取值范围. 【详解】圆的方程为， 圆心坐标为， 直线l将圆平分，直线过圆心， 当时，直线不经过x轴的负半轴，符合题意； 当时，要使直线不经过x轴的负半轴，可得； 综上所述，斜率的取值范围为. 故选：D. 点与圆的位置关系 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】BC 【分析】由圆，结合点在圆外列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，在圆外， 则，解得. 故选：BC 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【详解】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆M内 B．圆M关于对称 C．半径为1 D．直线与圆M相切 【答案】CD 【分析】化出圆的标准方程后，再逐项验证. 【详解】解：圆的标准方程为：， 圆心为，半径为1， A.因为，所以点在圆M外，故错误； B.因为，即圆心不在直线上，故错误； C.由圆的标准方程知，半径为1，故正确； D.因为圆心为到直线的距离为，与圆M的半径相等，故直线与圆M相切，故正确； 故选：CD 直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）下列直线中，与圆相切的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可. 【详解】圆的圆心为，半径． 对于选项A，圆心到直线的距离．所以直线与圆相交； 对于选项B，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切； 对于选项C，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切； 对于选项D，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离． 故选：BC. 2．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线与圆相切，那么a的值为（    ） A．3或－1 B． C．－3或－7 D． 【答案】A 【解析】由题可知，根据圆心到直线的距离等于半径，列出等式，即可求出结果. 【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为， 又直线与圆相切， 所以, 所以或. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线上存在点P，满足过P点作圆的两条切线，切点分别为A，B，且，则实数k的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由圆，先找圆心C和半径，根据题意，分析出P 的轨迹为圆，利用，解出k的范围. 【详解】将圆化为标准方程：， 故圆心C(2，1)，半径r=1， 在△PCA中，，∴PC=2PA=2 ∴P的轨迹为以C为圆心，半径R=2的圆，其方程为. 而圆心C到直线的距离 只需要，即，解得： 所以实数k的最小值为. 故选：D 【点睛】与圆的切线方程有关问题的思路通常有两种: （1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径； （2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知方程： (1)若R，试确定方程所表示的曲线． (2)若方程表示的圆与直线相切，求m的值 (3)若方程所表示的圆与圆相外切，求m的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据二元二次方程表示圆的条件进行求解； （2）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径进行求解； （3）根据圆与圆相切，圆心距等于两半径之和进行求解； 【详解】（1）由方程得； 当时，，此方程表示的圆； 当时，，此方程表示一个点； 当时，，此方程不成立，不表示任何轨迹. （2）圆的圆心为，半径，. 若方程表示的圆与直线相切， 则，解得. 所以. （3）若方程所表示的圆与圆相外切， 则，两边平方解得. 所以. 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆及直线． （1）当时，判断直线与圆的位置关系； （2）当直线被圆截得的弦长为时，求的值． 【答案】（1）相交；（2）或． 【分析】（1）由圆心到直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系； （2）用垂径定理求的值． 【详解】（1）当时，圆的圆心,半径r=2， ∴到直线的距离为 ∴直线与圆相交； （2）设到直线的距离为d， 则； 由垂径定理得：，即， 解得：或. 【点睛】（1）判断直线与圆的位置关系的方法： ①几何法：比较d（圆心到直线的距离）与r（半径）的关系；②代数法：把直线方程与圆的方程联立，利用判别式判断； （2）圆中与弦长有关的问题通常用垂径定理较简单. 7．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆，点在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l与圆C相切，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入圆的方程求解即可； （2）分直线l过原点与不过原点两种情况设直线的方程，再结合直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列式求解即可. 【详解】（1）因为在圆C上，故，解得，故圆C的方程为. （2）当直线l在x轴、y轴上的截距均为0时，此时圆C圆心在y轴上，故直线存在斜率. 设直线l的方程为，则到的距离，即，解得，此时直线的方程为. 当直线l在x轴、y轴上的截距不为0时，设直线l的方程为，即，则，即，故，此时直线的方程为. 综上，直线l的方程为或 直线与圆的弦长 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知圆般方程为，则下列说法正确的是（ ） A．圆的圆心为（4，3） B．圆被轴截得的弦长为8 C．圆的半径为5 D．圆被轴截得的弦长为6 【答案】BCD 【分析】结合圆心与半径、弦长等知识确定正确答案. 【详解】，即， 所以圆心为，半径为，A选项错误，C选项正确. 由，令得， 解得或，所以圆被轴截得的弦长为，B选项正确. 由，令得， 解得或，所以圆被轴截得的弦长为，D选项正确. 故选：BCD 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线与圆C：相交于A，B两点，则|AB|＝ ． 【答案】6 【分析】先求圆心到直线的距离，再根据弦心距、半径、弦长的几何关系求|AB|. 【详解】因为圆心C(3,1)到直线的距离， 所以． 故答案为：6 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得得弦长为 (1)求该圆的方程； (2)求过点A的该圆的切线方程 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可； （2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】（1）解：圆C的圆心到直线的距离为： ， 则弦长为，解得， 所以圆的方程为：； （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为：， 则圆心到直线的距离为，复合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：， 综上：该圆的切线方程为：或 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】确立圆的方程需要三个独立的变量，求解时，可以先确定圆心的坐标，再求圆的半径，也可以运用圆的一般方程，通过待定系数法求得. 【详解】（1）设圆的方程为，因为点在圆上， 所以，解得，， 所以圆的方程为， 故圆的标准方程为. （2）由题意可知，圆心到直线的距离. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为； 若直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为, 所以，解得，,所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 【点睛】对于本题而言，选择圆的一般式方程方程求解较易，求直线方程时要防止漏掉斜率不存在的情况，重视数形结合的运用. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案. 【详解】解：（1）设的中点为，则， 由圆的性质得， 所以，得， 所以线段的垂直平分线方程是， 设圆的标准方程为，其中，半径为， 由圆的性质，圆心在直线上，化简得， 所以圆心，， 所以圆的标准方程为； （2）由（1）设为中点，则，得， 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程，即， 由题意得，解得； 故直线的方程为， 即； 综上直线的方程为或. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题. 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点. （1）求圆的标准方程； （2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）先求的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径（2）根据垂径定理得圆心到直线距离，设直线点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件. 【详解】（1）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为， 由，即圆心坐标为 又半径，故圆的方程为. （2）点在圆内，且弦长为，故应有两条直线. 圆心到直线距离. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线距离为1，符合题意. ②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为 整理为，则圆心到直线距离为， 解得，直线方程为， 综上①②，所求直线方程为或. 7．（23-24高二上·新疆·期末）若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（    ） A． B． C．- D． 【答案】A 【分析】 由得是等边三角形，从而得到直线的距离，然后由点到直线距离公式求解． 【详解】，则是等边三角形，圆半径为1，因此到直线的距离为， 所以，解得， 故选：A． 8．（22-23高二上·新疆·期末）已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由圆的方程可确定半径，利用垂径定理可表示出，代入三角形面积公式，利用基本不等式可求得最大值. 【详解】 由圆的方程知：圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则， （当且仅当时取等号）， 则面积的最大值为. 故选：D. 圆与圆位置关系 1．（23-24高二上·新疆·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由与圆， 可得圆心，半径， 则，且， 所以，所以两圆相交. 故选：A. 2．（22-23高二上·新疆·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径的关系判断位置关系即可. 【详解】圆的圆心与圆的圆心，所以两圆的圆心距为3， 又圆的半径为1，圆的半径为2，且圆心距等于圆与圆的半径之和， 所以圆与圆的位置关系为外切． 故选：C. 3．（23-24高二上·新疆·期末）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断方法求得正确答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 因为，所以圆与圆内切. 故选：D 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆，圆，请写出一条与两圆都相切的直线的方程： . 【答案】或或或（写出其中一个即可） 【分析】首先判断两圆的位置关系，即可判断公切线的条数，设切线与两圆圆心连线的交点为，分切线为外公切线与内公切线两种情况讨论，分别求出点坐标，再设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径求出参数的值，即可得到切线方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，则两圆相离，所以两圆有条公切线， 设切线与两圆圆心连线的交点为， ①当切线为外公切线时，，所以， 解得，所以，设公切线， 所以圆心到切线的距离，解得， 所以公切线为，即或； ②当切线为内公切线时，，，所以，所以，设公切线， 所以圆心到切线的距离，解得， 所以公切线为，即或； 所以两圆的公切线为或或或. 故答案为：或或或（写出其中一个即可） 根据圆与圆的位置关系求参数 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长 ． 【答案】 【分析】将圆的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由题可知： ，即 且 由两圆向外切可知，解得 所以 到直线的距离为，设圆的半径为 则直线被圆所截的弦长为 故答案为： 2．（23-24高二上·新疆·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围. 【详解】到点的距离为2的点在圆上， 所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上， 即两圆相交，故， 解得或， 所以实数a的取值范围为， 故选：A． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆和圆，若对于上的任意一点，使得过点都可作一条射线与圆依次交于点，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】 由两圆的位置关系，得两圆半径与圆心距的关系；再将上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，满足，转化为两圆上点的距离的取值范围问题，解出r的范围. 【详解】因为上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点， 所以，即， 又因为上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，满足， 而，所以上任意一点P，都有，即，解得， 综上，. 故答案为：. 圆与圆的公共弦问题 1．（23-24高二上·新疆喀什·期末）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】两圆的方程相减后，即可求得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】当两圆相交，两圆相减后得到的二元一次方程，即为两圆公共弦所在直线方程， 圆减圆得到的方程为，整理为. 故答案为： 2．（23-24高二上·新疆和田·期末）已知圆：及圆：. (1)判断两圆的位置关系； (2)求出两圆的公共弦长． 【答案】(1)两圆相交 (2)2 【分析】（1）由两圆的圆心距，以及两圆的半径之间的大小关系即可得解. （2）两圆方程相减得公共弦所在方程，结合圆心到直线距离、弦长公式即可得解 【详解】（1）由题意圆：，即圆：，它的圆心、半径分别为， 圆：，即圆：，它的圆心、半径分别为， 所以圆心距为，即两圆相交. （2）圆：及圆：的方程相减得， 公共弦所在直线方程为：. 而圆心到直线的距离为，且， 所以两圆的公共弦长为. 过一点的最长最短弦问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知直线和圆，则（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ABC 【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D. 【详解】对A，由可得，， 令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确； 对B，因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确； 对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即， 此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确； 对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为， 此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误； 故选：ABC. 2．（23-24高二上·新疆·期末）直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m= . 【答案】1 【分析】求出直线MN过定点A（1,1），进而判断点A在圆内，当时，|MN|取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可. 【详解】直线MN的方程可化为， 由，得， 所以直线MN过定点A（1，1）， 因为，即点A在圆内. 当时，|MN|取最小值， 由，得，∴， 故答案为：1. 3．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知直线过点，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)求直线被圆截得的弦长的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由在圆的内部，可得直线与圆相交. （2）根据当直线与垂直时，弦长最短，求得答案. 【详解】（1）把代入圆的方程左边得， 在圆的内部，所以直线与圆相交. （2）已知圆心，，设直线与圆相交于点， 当直线与垂直时，弦长最短，此时圆心到直线的距离， ， . 所以直线被圆截得的弦长的最小值为. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆，直线． (1)证明：直线l与圆C都相交； (2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出直线l恒过定点的坐标，再证明该定点在圆内； （2）由平面几何的知识知：当该定点是弦的中点时弦长最短，据此求解. 【详解】（1）圆C的标准方程为： ， ； 直线l的方程为： ，即 当 时上方程总是成立的， 即直线l恒过定点 ，又 ， 点P在圆C的内部， 直线l与圆C始终有交点； （2）由平面几何知识知：当点P是直线l被圆C截得的弦的中点时，弦长最短， 此时 ，求直线l的斜率 ： ，即 ， ，此时直线l的方程为： ； 综上，直线l的方程为 . 点与圆的最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解. 【详解】解：直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为， 所以直线过定点， 所以点P到直线l的距离的最大值为， 故选：D 2．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期中）点P在圆 上，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据圆与直线有公共点即圆心到直线的距离不超过半径列不等式，从而可得答案． 【详解】方程， 表示以点为圆心，以1为半径的圆． 设，即， 因为既在圆上又在直线上， 所以直线与圆有公共点， 圆心到的距离小于或等于半径， 由， 解得． 所以的最小值为． 故选：C． 3．（23-24高二上·新疆·期末）在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是 ． 【答案】 【分析】求得点关于轴的对称点为，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由圆，得圆心坐标，半径为， 求得点关于轴的对称点为， 可得. 如图所示，可得爬到的最短路程为. 故答案为： 直线与圆的最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）求圆上的动点到直线距离的最大值 ． 【答案】 【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解. 【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为. 故答案为：. 2．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 3．（23-24高二上·新疆·期末）由直线上的一点向圆引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为 ． 【答案】 【分析】数形结合的方法.设为直线上一点，为切线长，直角中，，故最小时，切线长也最小.根据点到直线距离公式，可求的最小值，再由勾股定理可得的最小值. 【详解】解：∵圆的圆心为，半径 ∴圆心C到直线的距离为    当点P在直线上运动时，P与圆心C在直线上的射影重合时， 切线长达到最小值．设切点为A，得中， 即切线长（此点到切点的线段长）的最小值为． 故答案为：. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，再求圆心到直线距离d 即可得解. 【详解】根据题意，圆：化为标准方程为， 其圆心为，半径，， 又由圆与圆内切，且圆的半径小于6，则有，解得， 圆心到的距离， 点是圆上一个动点，则点到直线：距离的最大值为. 故答案为：2 5．（23-24高二上·新疆·期末）设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得． 【详解】设是中点，因为，所以，即在以原点为圆心，为半径的圆上， ，， 又，所以，所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆上两动点与直线上动点间的“距离”的最小值问题，解题关键是取中点，把用表示，这样两动点转化为一个动点，求得点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即可． 圆与圆的最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用两圆的圆心距及圆的性质计算即可. 【详解】因为，，所以，且两圆的半径分别为，即两圆外离， 所以的最小值为. 故选：B 圆相关轨迹方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得. 【详解】设点，由，得，整理得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到直线：的距离为， 所以点到直线最大距离为. 故答案为： 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知点，点满足，且 (1)求点的轨迹方程及t的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】 （1）利用两点间距离公式，代入，即可求解点的轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，即可求解的取值范围； （2）由条件转化，利用点与圆的位置关系，即可求最值. 【详解】（1） 由可知， ，化简为， 即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，方程为； 由，即， 则圆心到直线的距离， 解得：； （2）由题意可知，， 所以， 点在圆外，所以的最大值为， 所以的最大值为. 中点弦问题 3．（23-24高二上·新疆·期末）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得圆心坐标为，根据斜率公式求得，再根据圆的弦的性质，得到，结合直线点斜式方程，即可求解. 【详解】因为圆， 所以圆心坐标为，半径为， 又由斜率公式，可得， 根据圆的弦的性质，可得，所以， 所以弦所在直线方程为，即， 所以弦所在直线方程为. 故选：D 4．（23-24高二上·新疆·期末）一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据抛物线的定义和标准方程可以确定曲线C的方程. （2）利用点差法结合中点坐标公式和斜率公式求解. 【详解】（1）依题意得该动圆的圆心到点的距离到直线的距离相等． 又点不在直线上， 所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线，所以曲线C的方程为． （2）设，，则， 两式相减得，即． 因为线段AB的中点坐标为，所以， 则，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即， 经检验，直线与曲线相交，满足题意， 所以直线l的方程为. 韦达定理的应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知点P1（-+1,0）,P2（+1,0）,P3（1,1）均在圆C上. （1）求圆C的方程; （2）若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长; （3）设过点（-1,0）的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 【答案】（1）（x-1）2+（y+2）2=9；（2）；（3）x=-1和y=x+1. 【解析】（1）依据题意可得圆心的横坐标，然后假设圆的方程(x-1)2+(y-b)2=r2，然后代点进行计算可得结果. （2）计算圆心到直线的距离，然后利用弦长公式计算可得结果. （3）按斜率是否存在，假设直线的方程并与圆的方程进行联立，然后使用韦达定理，根据kOM·kON=-1，计算即可. 【详解】解:（1）∵点P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圆C上,∴圆心C的横坐标为1, 设圆C的方程为(x-1)2+(y-b)2=r2, 则解得 ∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=9. （2）圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3, 圆心到直线3x-y+1=0的距离为d=.∴直线3x-y+1=0 被圆C截得的弦AB的长为2. （3）存在直线l满足题意.理由如下, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 由题意,知OM⊥ON,且OM,ON 的斜率均存在, ①当直线l的斜率不存在时,可得直线l的方程为x=-1, 则M(-1,-2),N(-1,--2),满足x1x2+y1y2=0, ∴直线l:x=-1满足条件; ②当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x+1), 代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0, 则x1+x2=-,x1x2=, ∴kOM·kON=-1,则=-1,即x1x2+y1y2=0. 由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0, 即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0, ∴(1+k2)·-k2·+k2=0,解得k=1, ∴直线l的方程为y=x+1. 综上可知,存在满足条件的直线l:x=-1和l:y=x+1. 【点睛】本题考查圆的应用，掌握圆中的弦长公式以及直线与圆联立，通常将方程进行联立并使用韦达定理，第（3）问中关键在于kOM·kON=-1，属中档题. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），椭圆C与轴相交于两点，且，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求弦AB的中点坐标及|AB|. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意以及即可求出椭圆的标准方程. （2）将直线与椭圆方程联立，由中点坐标公式以及弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆C的焦点为和 ，长轴长为， 所以椭圆的焦点在轴上，. 所以. 所以椭圆C的标准方程. （2）设，，AB线段的中点为， 由得， 所以，   所以，， 所以弦AB的中点坐标为， . 圆的实际应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=. （1）求新桥BC的长; （2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 【答案】(1) 150 m (2) |OM|=10 m 【分析】试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1） 点坐标为 ， ，因此要求 的长，就要求得 点坐标，已知 说明直线斜率为 ，这样直线 方程可立即写出，又 ，故斜率也能得出，这样 方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心 到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端 和到该圆上任一点的距离均不少于80 ，列出不等式组，可求得的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决． 试题解析： （1）如图，以为 轴建立直角坐标系，则 ， ，由题意 ，直线方程为 ．又 ，故直线 方程为，由，解得 ，即 ，所以； （2）设，即 ，由（1）直线 的一般方程为 ，圆的半径为 ，由题意要求 ，由于 ，因此，∴∴ ，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大． 【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系. 圆的新定义题型 1．（23-24高二上·新疆·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出关于的对称点，根据题意，则为最短距离，即可得答案； 【详解】设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为， 根据题意，为最短距离，先求出的坐标， 的中点为，直线的斜率为1， 故直线为， 由，解得，， 所以， 故， 故选：A. 【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 2．（（23-24高二上·新疆·期末）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，如下结论中正确的是（ ） A．曲线C围成的图形的周长是； B．曲线C围成的图形的面积是2π； C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2； D．若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是 【答案】AD 【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断. 【详解】对于曲线C:上任一点，则， 点关于y轴对称的点为，则， 即点在曲线C上，故曲线C关于y轴对称； 点关于x轴对称的点为，则， 即点在曲线C上，故曲线C关于x轴对称； 点关于原点对称的点为， 则，即点在曲线C上， 故曲线C关于原点对称；综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称. 对于方程，令，则，解得或， 即曲线C与x轴的交点坐标为， 同理可得：曲线C与y轴的交点坐标为， 当时，，则， 整理得，且， 故曲线C在第一象限内为以为圆心，半径的半圆， 由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点， 对A：曲线C围成的图形的周长是， A正确； 对B：曲线C围成的图形的面积， B错误； 对C：联立方程，解得或， 即曲线C与直线在第一象限内的交点坐标为， 由对称可知曲线C与直线在第三象限内的交点坐标为， 则，C错误； 对D：由图结合对称性可知：当在第一象限时， 点到直线的距离相对较小， ∵到直线的距离， 则点到直线的距离， ∴， 故的最小值是，D正确.    故选：AD. 【点睛】(1)通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性； (2)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较． 2．（23-24高二上·新疆·期末）设，为平面直角坐标系内的两点，其中．令，，若，且，则称点为点的“相关点”，记作． （1）求点的“相关点”的个数； （2）点的所有“相关点”是否在同一个圆上？若在，写出圆的方程；若不在，请说明理由． 【答案】（1）8；（2）在，． 【分析】（1）根据相关点的定义，由（，为非零整数），得到，或，求解. （2）设点的“相关点”的坐标为，由（1）知，再利用圆的定义求解. 【详解】（1）因为（，为非零整数）， 所以，或，， 所以点的“相关点”有8个． （2）设点的“相关点”的坐标为， 由（1）知，即， 所以所有“相关点”都在以为圆心，为半径的圆上， 所求圆的方程为． 【点睛】本题主要考查圆的定义以及新定义问题，属于基础题. 专题01 集合与常用逻辑用语 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆的方程、直线和圆及圆与圆 圆的标准方程及一般方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）圆心是，且过点的圆的方程为（      ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）圆 的圆心和半径分别为（    ） A．，2 B．， C．，2 D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线过定点A. (1)求点A的坐标； (2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程. 6．（23-24高二上·新疆·期末）求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x轴上，半径为5，且过点； (2)经过点、，且以线段AB为直径； (3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点； (4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，． 圆对称性的应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线l将圆平分，若l不经过x轴的负半轴，则其斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 点与圆的位置关系 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆M内 B．圆M关于对称 C．半径为1 D．直线与圆M相切 直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）下列直线中，与圆相切的有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线与圆相切，那么a的值为（    ） A．3或－1 B． C．－3或－7 D． 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线上存在点P，满足过P点作圆的两条切线，切点分别为A，B，且，则实数k的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知方程： (1)若R，试确定方程所表示的曲线． (2)若方程表示的圆与直线相切，求m的值 (3)若方程所表示的圆与圆相外切，求m的值． 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆及直线． （1）当时，判断直线与圆的位置关系； （2）当直线被圆截得的弦长为时，求的值． 7．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆，点在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l与圆C相切，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程． 直线与圆的弦长 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知圆般方程为，则下列说法正确的是（ ） A．圆的圆心为（4，3） B．圆被轴截得的弦长为8 C．圆的半径为5 D．圆被轴截得的弦长为6 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线与圆C：相交于A，B两点，则|AB|＝ ． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得得弦长为 (1)求该圆的方程； (2)求过点A的该圆的切线方程 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点. （1）求圆的标准方程； （2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程. 7．（23-24高二上·新疆·期末）若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（    ） A． B． C．- D． 8．（22-23高二上·新疆·期末）已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 圆与圆位置关系 1．（23-24高二上·新疆·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 2．（22-23高二上·新疆·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 3．（23-24高二上·新疆·期末）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆，圆，请写出一条与两圆都相切的直线的方程： . 根据圆与圆的位置关系求参数 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长 ． 2．（23-24高二上·新疆·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆和圆，若对于上的任意一点，使得过点都可作一条射线与圆依次交于点，满足，则的取值范围是 . 圆与圆的公共弦问题 1．（23-24高二上·新疆喀什·期末）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为 ． 2．（23-24高二上·新疆和田·期末）已知圆：及圆：. (1)判断两圆的位置关系； (2)求出两圆的公共弦长． 过一点的最长最短弦问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知直线和圆，则（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 2．（23-24高二上·新疆·期末）直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m= . 3．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知直线过点，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)求直线被圆截得的弦长的最小值. 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆，直线． (1)证明：直线l与圆C都相交； (2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程． 点与圆的最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期中）点P在圆 上，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是 ． 直线与圆的最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）求圆上的动点到直线距离的最大值 ． 2．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 3．（23-24高二上·新疆·期末）由直线上的一点向圆引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为 ． 4．（23-24高二上·新疆·期末）已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为 . 5．（23-24高二上·新疆·期末）设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 圆与圆的最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 圆相关轨迹方程 1．（23-24高二上·新疆·期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知点，点满足，且 (1)求点的轨迹方程及t的取值范围； (2)求的最大值． 中点弦问题 3．（23-24高二上·新疆·期末）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·新疆·期末）一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 韦达定理的应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知点P1（-+1,0）,P2（+1,0）,P3（1,1）均在圆C上. （1）求圆C的方程; （2）若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长; （3）设过点（-1,0）的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），椭圆C与轴相交于两点，且，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求弦AB的中点坐标及|AB|. 圆的实际应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=. （1）求新桥BC的长; （2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 圆的新定义题型 1．（23-24高二上·新疆·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A． B． C． D． 2．（（23-24高二上·新疆·期末）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，如下结论中正确的是（ ） A．曲线C围成的图形的周长是； B．曲线C围成的图形的面积是2π； C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2； D．若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是 2．（23-24高二上·新疆·期末）设，为平面直角坐标系内的两点，其中．令，，若，且，则称点为点的“相关点”，记作． （1）求点的“相关点”的个数； （2）点的所有“相关点”是否在同一个圆上？若在，写出圆的方程；若不在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$