27.2.1（第3课时）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第27章 相似 九年级数学下册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.2.1 两边成比例且 夹角相等的 两个三角形相似 （第3课时） BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？ 2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：如果两个三角形有两条边成比例，它们一定相似吗？ 有两条边成比例， 但不相似. B C A 3 4 B′ C′ A′ 6 8 只有两条边成比例的两个三角形，不一定相似. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：把探究一中的条件增加：如果成比例的这两边的夹角相等，那么它们一定相似吗？ 画△ABC与△A′B′C′，使∠A=∠A′， =k. 设法比较∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小. 当k=时 B C A B′ C′ A′ 6 8 3 4 ∠B=∠B′ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明： 在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. ∵ A′D=AB， ∴ B A C D E B' A' C' BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 ∠B = ∠B′， 这两个三角形一定会相似吗？试着画画看. 不一定，如下图，显然∠C和∠C'不相等 结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： ∠A=40°，AB=8，AC=15. ∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30. 解：∵ . ∴ =. 又∵∠A=∠A′， ∴ △ABC∽△A'B'C′. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 解：∵ ∠AOD=∠BOC ， . ∴ △AOD∽△BOC (两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似)， 如图所示，是用卡钳测量容器内径的示意图. 现量得卡钳上A，D两端点的距离为5cm，.求容器的内径BC. D A O B C ∴ ，即 ∴ BC=2×5=10 (cm). 答：容器的内径BC为10cm. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9 ，△ADE与△ABC相似吗？说明理由. 解：△ADE∽△ABC ,理由如下： ∵ =, ∴ 又∵∠EAD=∠CAB, ∴△ADE∽△ABC. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，在△ABC中，D是AC上一点. 已知AB2=AD•AC，∠ABD=40°. 求∠C的度数. 解：∵ AB²=AD•AC ， ∴ . A B C D ∵ ∠A=∠A， ∴ △ADB∽△ABC， ∴ ∠C=∠ABD. ∵ ∠ABD=40°， ∴ ∠C=40°. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1， 求证：△ABC ∽ △DBA. A C B P D ∵ ∠ABC = ∠DBA ∴△ABC ∽ △DBA. 证明：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1， ∴AB = ， BD =2， BY YUSHEN BY YUSHEN 对应关系不明确,勿忘分类讨论 本题没有明确两个三角形的对应元素,所以要分情况过论. 由于∠B 是公共角,所以点B 和点B 是对应点, 要分两种情况讨论. 典例精析 例6 如图，在△ABC 中，AB=10 cm，BC=20 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，经过几秒钟后，△PBQ 与△ABC 相似? BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 解：设经过 t s 后，△PBQ 与 △ABC 相似， 那么 AP= 2 t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t) cm. 因为∠PBQ =∠ABC，所以有两种情况： (1)当 时，△PBQ∽△ABC，此时 ， 解得 t =2.5.所以经过 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似. (2)当 时，△PBQ∽△CBA，此时 ， 解得 t=1，所以经过 1 s 后，△PBQ 与△ABC 相似. 综上所述，经过 1 s 或 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似. BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 运用 相似三角形的判定定理的运用 两边成比例且 夹角相等的 两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 内容 B A C B' A' C' BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1．下列条件能判断△ABC和△A′B′C′相似的是( 　 ) C　 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 2. 如图 △AEB 和 △FEC ( 填“相似”或“不相似”) . 54 30 36 45 E A F C B 1 2 相似 3.如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，AE＝3，BE＝4，则AD·AC＝_______. 21 E A C B D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BF＝ BC，那么图中与△ADE相似的三角形有____________. △BEF,△EDF BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 解：当 △ADP ∽△ACB 时， AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和△ABC 相似． 5. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. A B C D 4 或 9 P P BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由. ∠A = 120° ，AB = 7 cm ，AC = 14 cm， ∠A′ = 120° ，A′B′ = 3 cm ，A′C′= 6 cm， 解：相似. 理由如下： ∵ ∴ ∴△ABC ∽ △A′B′C′. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC， 求证: △ABC ∽△AED. 证明：∵ AB · AD = AE·AC， ∴ 又∵ ∠DAB =∠CAE， ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC， ∴ △ABC ∽△AED. A B C D E BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2， BC=3，且 = ，求DE的长. B C A D E 解： ∵ AE=1.5，AC=2， ∴ =. ∵ =, 又∵∠EAD=∠CAB ∴△ADE∽△ABC. ∴= =. ∴ = . ∵BC=3， ∴DE= BC= . BY YUSHEN BY YUSHEN D.＝且∠B＝∠B′ A.＝ B.＝且∠A＝∠C′ C.＝且∠B＝∠A′ $$