精品解析：安徽省马鞍山第八中学2022--2023学年上学期期末考试九年级数学试题

2023年马鞍山市第八中学九年级学业水平评估测试 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解答：解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴3−m＜0， 解得m＞3． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限是解答此题的关键． 2. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据已知等式得出，然后代入所求式子，即可得解. 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为B. 【点睛】此题主要考查利用已知代数式化为含有同一未知数的式子，即可解题. 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为 C. 函数最小值为 D. 当时，随增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对该选项分析判断即可求解． 【详解】解：∵抛物线，整理得： ∴，抛物线开口向下，故A选项说法错误； 顶点坐标为，故B选项说法错误； 函数最大值为，故C选项说法错误； ∵对称轴为x＝﹣1，抛物线图象开口向下， ∴当时，随增大而减小，故D选项说法正确； 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的性质，涉及到抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标、及二次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 4. 若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由黄金分割点的定义得AC=AB，AB：AC=AC：BC，则AB=AC，BC=AB-AC=AB，即可得出结论． 【详解】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴AC=AB，AB：AC=AC：BC， ∴AB=AC，BC=AB-AC=AB， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 5. 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示三角形空地上种植草皮，以美化环境.已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮至少需要（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形．熟练掌握含的直角三角形是解题的关键． 如图，作的延长线于，则，，根据购买这种草皮至少需要，计算求解即可． 【详解】解：如图，作的延长线于， ∴， ∴， ∴购买这种草皮至少需要（元）， 故选：C． 6. 对于不为零的两个实数a，b，如果规定：，那么函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据规定得出的解析式，再利用一次函数和反比例函数的图像性质即可求解． 【详解】由题意得，这是一个分段函数图象， ， 即当时，； 当时，． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义、一次函数与反比例函数的图像性质，根据新定义得出的解析式是解题的关键． 7. 如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cosB＝，DE∥AB，EF⊥AB，若＝，则BE长为（　　） A. 7.5 B. 9 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先设DE＝x，然后根据已知条件分别用x表示AF、BF、BE的长，由DE∥AB可知，进而可求出x的值和BE的长． 【详解】解：设DE＝x，则AF＝2x，BF＝18﹣2x， ∵EF⊥AB， ∴∠EFB＝90°， ∵cosB＝＝， ∴BE＝（18﹣2x）， ∵DE∥AB， ∴， ∴ ∴x＝6， ∴BE＝（18﹣12）＝10， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，根据平行线得到相关线段比例是解题关键． 8. 如图，的内接四边形是的直径，过点的切线与的延长线交于点，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若弦平分半径，则半径平分弦 B 若，则 C. 若，则是等边三角形 D. 若，则四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】由切线的性质定理得到，再由平行线的性质得到同位角相等，继而得出，即可得到B选项；根据圆周角定理进行判断C选项即可；由等边三角形得到，继而得到D选项；根据题意，并不能推出A选项． 【详解】OD是⊙O的切线， ， ，∠B=60°， ， ， ， ， ， ， 故B选项正确，为真命题； AB是⊙O的直径， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 故C选项正确，为真命题； 连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形OBCD是菱形， 故D选项正确，为真命题； 弦平分半径并不能推出半径平分弦， 故A选项错误，为假命题. 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、圆周角定理、切线的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，二次函数的图象经过，且与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，且点的横坐标为2，结合图象，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象及题中数据，得到，，，，，代入解这些不等式即可得到结论． 【详解】解：二次函数的图象经过， ， 二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与正半轴轴交于点， ， 过点作轴交抛物线于点，且点的横坐标为2， 对称轴，即， 在图象上方， 综上，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，根据图象及题中所给信息得到相应等式与不等式是解决问题的关键． 10. 如图，点E是矩形的边的中点，且于点F，则下列结论中错误的是（ ） A. 图中与相似的三角形共有4个 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定找出与相似的三角形即可判断A；利用相似三角形的性质及平行四边形的判定和性质判断选项B，根据相似三角形的性质即可判断C；根据相似三角形的性质及正切的定义即可判断选项D． 【详解】解：A、∵，矩形， ∴， ∵， ∴， 同理得：，，，， ∴图中与相似的三角形共有5个，选项错误，符合题意； B、过D作交于N， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴， ∴，故选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵点E是矩形的边的中点 ∴， ∴，故选项正确，不符合题意； D、设，由，有． ∴ ∵，故选项正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角形中线的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定及性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据二次函数的平移规律可得，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 12. 如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________． 【答案】﹣9 【解析】 【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D． ∵ ∴= ∵点A是双曲线上 ∴S△OAC= ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， 又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°， ∴∠BOD=∠OAC， 又∵∠ACO=∠BDO=90°， ∴△OAC∽△BOD， ∴= ∴ ∴=9 ∵函数图像位于第四象限 ∴ｋ＝﹣9 故答案为：﹣9 【点睛】本题考查了反比例函数k几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键． 13. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，已知AB∥FC，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝8，则CD的长为_____． 【答案】12﹣4 【解析】 【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案． 【详解】过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=8， ∴∠ABC=30°，BC=ACtan60°=8=8， ∵AB∥CF， ∴∠BCF=∠ABC=30°， ∴BM=BCsin30°=8=4， CM=BCcos30°=8=12， 在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°， ∴∠EDF=45°， ∴MD=BM=4， ∴CD=CM-MD， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形，利用所学的三角函数的关系进行解答． 14. 如图，在中，、，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D． （1）____________； （2）当线段最短时，的面积为____________． 【答案】 ①. ##90度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理．确定点的运动轨迹是解题的关键． 由题意得，，则点在以为直径的圆上运动，如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短，由题意知，，由勾股定理得，，则，证明，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短， 由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：，． 三、（本大题共2小题，每小题8分．满分16分） 15. 计算：. 【答案】5. 【解析】 【分析】将60°的正切值代入，再依次计算零次幂，负指数幂，化简二次根式，最后算加减法. 【详解】解：原式= = = 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值，掌握零次幂，负指数幂和二次根式的化简是解决本题的关键. 16. 如图所示，现有一个“”型的工件（工件厚度忽略不计），其中为，为，，，求该工件如图摆放时的高度（精确到）． 【答案】该工件如图摆放时的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，得到，在中，利用锐角三角函数，得到，，进而得到，再在中，求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， 在中，，， ，， ， 在中，，， ， ， 即该工件如图摆放时的高度约为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝． （1）求tan∠DCE的值； （2）求的值． 【答案】（1）tan∠DCE＝；（2）＝． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出CD，再利用勾股定理求解出ED，即可得到结果； （2）过D作DG∥CF交AB于点G，根据平行线分线段成比例即可求得结果； 【详解】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝， ∴CD＝5， 由勾股定理得：AD＝， ∵E是AD的中点， ∴ED＝AD＝6， ∴tan∠DCE＝； （2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示： ∵BC＝8，CD＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝3， ∵DG∥CF， ∴，， ∴AF＝FG， 设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，结合勾股定理和平行线分线段成比例求解是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，先将线段沿一确定方向平移得到线段，点的对应点为，点的坐标为，再将线段绕原点顺时针旋转得到线段，点的对应点为点． （1）画出线段，； （2）直接写出在这两次变换过程中点经过到达的路径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了旋转作图的知识及弧长的计算，解答本题的关键是掌握旋转及平移变换的特点，另外要熟练记忆弧长公式，及公式中各字母的含义． （1）先在坐标系中找出点的位置，然后根据平移前后对应点连线平行可找到点的位置，连接即可得出，按照题意所属旋转三要素找到、的对应点连接可得出． （2）先计算出的距离，然后求出弧的长度，继而可得出答案． 【详解】解：（1）所作图形如下： （2）由图形可得：，， 故点经过到达的路径长为：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点M，过点M做轴于N，且． （1）求反比例函数解析式； （2）在第一象限内，当x取何值时，？（根据图直接写出结果） （3）若一次函数的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数的图象上，且横坐标为3，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求反比例函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，梯形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据即可得到M的横坐标为1，然后代入一次函数求出M的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）利用图像法求解即可得到答案； （3）过B作轴于E，先求出A，B的坐标，即可得到的长，然后根据求解即可． 小问1详解】 解：∵， 把代入中，得， ∴， 把，代入中，得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴一次函数的图像要在反比例函数图像的下方， ∴结合函数图像可知时，满足题意， ∴当时，； 【小问3详解】 过B作轴于E， 把代入中，得， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∵A是直线与y轴的交点， ∴， ∴， ∴ ． 20. 如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点B作于H，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点B作于， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论、勾股定理，余角的性质，掌握圆周角定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，，，把边长分别为，，，，的n个正方形依次放入中，使第一个正方形有两边在，边上，其他正方形依次相邻，且所有正方形右上角顶点均在边上，请回答下列问题： （1）按要求填表： n 1 2 3 _____ _____ _____ （2）第n个正方形的边长_________． （3）若m、n、p是正整数，且是和的比例中项，试判断m、n、p之间的数量关系． 【答案】（1）见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，比例的性质等知识，根据题意得到边长的规律是解题关键． （1）标记各点，根据相似三角形的性质，得出，，进而得到，求出，同理求出和即可； （2）由（1）可知，，，，即可得到第n个正方形的边长； （3）由比例的性质可得，然后结合（2）所得式子，利用幂的乘方以及同底数幂乘法计算即可． 【小问1详解】 解：如图，标记各点， 由正方形的性质可知，，， ，， ，， ，， ， ，即， 解得：； 同理可得：，解得：； ，解得：， 填表如下： n 1 2 3 【小问2详解】 解：由（1）可知，，，， 以此类推，第n个正方形的边长， 故答案为：； 【小问3详解】 解：是和的比例中项， ， ， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 随着新冠肺炎的爆发，市场对口罩的需求量急剧增大．某口罩生产商自二月份以来，--直积极恢复产能，每日口罩生产量(百万个)与天数且为整数)的函数关系图象如图所示，而该生产商对口供应市场对口罩的需求量z(百万个)与天数呈抛物线型，第天市场口罩缺口(需求量与供应量差)就达到(百万个)，之后若干天，市场口罩需求量不断上升，在第天需求量达到最高峰(百万个)． 求出与的函数解析式； 当市场供应量不小于需求量时，市民买口罩才无需提前预约，那么在整个二月份，市民无需预约即可购买口罩的天数共有多少天？ 【答案】（1）；（2）在整个二月份，市民无需预约即可购买到口罩的天数共有天． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，结合待定系数法分段求解即可； （2）根据题意设出抛物线顶点式，求出第一天口罩需求量，进而求出抛物线解析式，然后根据一次函数及二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）当时，设， 把，代入，得，解得， 所以， 当时，， 综上所述，； 由题意可设该生产商对口供应市场对口罩的需求量， 当时，代入得， 此时口罩需求量为(百万个)， 将代入中，得， 解得：， 所以， 当时，令，即， 解得：(舍去)，，即此时需求和供应平衡，均为百万个， 当时，随着增大而增大， 故； 当时，； 且当时，随着增大而减小， 所以， 综上所述，从第天开始，， (天)， 答：在整个二月份，市民无需预约即可购买到口罩的天数共有天． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数及二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，一次函数及二次函数的性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 在矩形中，，P是边上一点，把沿直线折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在上，交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，求证：； （2）如图2，当，且时，求的值； （3）如图3，当时，求的值． 【答案】（1）见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和全等三角形的判定即可证得结论； （2）利用折叠性质得出，，进而得出，得出，证明，则，设，可求出，，再证明，进而可求得PB，即可得出结论； （3）证明，得出，即可解答． 【小问1详解】 解：证明：在矩形中，，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 在矩形，， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴，， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴ ∴ 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，熟练掌握相关知识的灵活运用，会利用方程思想解决问题是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年马鞍山市第八中学九年级学业水平评估测试 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为 C. 函数最小值为 D. 当时，随增大而减小 4. 若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ） A B. C. D. 5. 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮，以美化环境.已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 元 B. 元 C. 元 D. 元 6. 对于不为零的两个实数a，b，如果规定：，那么函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝15，cosB＝，DE∥AB，EF⊥AB，若＝，则BE长为（　　） A. 7.5 B. 9 C. 10 D. 5 8. 如图，的内接四边形是的直径，过点的切线与的延长线交于点，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若弦平分半径，则半径平分弦 B. 若，则 C. 若，则是等边三角形 D. 若，则四边形是菱形 9. 如图，二次函数的图象经过，且与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，且点的横坐标为2，结合图象，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E是矩形的边的中点，且于点F，则下列结论中错误的是（ ） A. 图中与相似的三角形共有4个 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是____________． 12. 如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________． 13. 一副直角三角板如图放置，点C在FD延长线上，已知AB∥FC，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝8，则CD的长为_____． 14. 如图，在中，、，，点P是内部一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D． （1）____________； （2）当线段最短时，的面积为____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分．满分16分） 15. 计算：. 16. 如图所示，现有一个“”型的工件（工件厚度忽略不计），其中为，为，，，求该工件如图摆放时的高度（精确到）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝． （1）求tan∠DCE的值； （2）求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，先将线段沿一确定方向平移得到线段，点的对应点为，点的坐标为，再将线段绕原点顺时针旋转得到线段，点的对应点为点． （1）画出线段，； （2）直接写出在这两次变换过程中点经过到达的路径长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点M，过点M做轴于N，且． （1）求反比例函数解析式； （2）第一象限内，当x取何值时，？（根据图直接写出结果） （3）若一次函数的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数的图象上，且横坐标为3，求的面积． 20. 如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，，，把边长分别为，，，，的n个正方形依次放入中，使第一个正方形有两边在，边上，其他正方形依次相邻，且所有正方形右上角顶点均在边上，请回答下列问题： （1）按要求填表： n 1 2 3 _____ _____ _____ （2）第n个正方形的边长_________． （3）若m、n、p是正整数，且是和的比例中项，试判断m、n、p之间的数量关系． 七、（本题满分12分） 22. 随着新冠肺炎的爆发，市场对口罩的需求量急剧增大．某口罩生产商自二月份以来，--直积极恢复产能，每日口罩生产量(百万个)与天数且为整数)的函数关系图象如图所示，而该生产商对口供应市场对口罩的需求量z(百万个)与天数呈抛物线型，第天市场口罩缺口(需求量与供应量差)就达到(百万个)，之后若干天，市场口罩需求量不断上升，在第天需求量达到最高峰(百万个)． 求出与的函数解析式； 当市场供应量不小于需求量时，市民买口罩才无需提前预约，那么在整个二月份，市民无需预约即可购买口罩的天数共有多少天？ 八、（本题满分14分） 23. 在矩形中，，P是边上一点，把沿直线折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在上，交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，求证：； （2）如图2，当，且时，求的值； （3）如图3，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$