4.2一次函数与正比例函数同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级上册

4.2一次函数与正比例函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列是关于的函数，其中是一次函数的为（    ） A． B． C． D． 2．一次函数必过以下点（   ） A． B． C． D． 3．下列各点在函数图象上的是（    ） A．（0，-2） B．（1，－1） C． D．（－1，-1） 4．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 B．正方形的面积S随着边长x的变化而变化 C．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化 D．水箱以的流量往外放水，水箱中的剩水量随着放水时间的变化而变化 5．若函数是一次函数，则应满足（　　） A． B． C． D． 6．下面哪个函数是正比例函数（    ） A． B． C． D． 7．用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（ ） A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．反比例函数关系或一次函数关系 8．以下函数中，不是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 9．下列函数中，正比例函数是（    ） A． B． C． D． 10．在①y＝－8x，②y＝，③y＝x＋1，④y＝－5x2＋1，⑤y＝0.5x－3中，一次函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．若函数是正比例函数，则的值为（    ） A．2 B． C． D．0 12．下列各点不在函数图象上的是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 13．已知正比例函数，则当时， ． 14．学校里现有粉笔15000盒，如果每个星期领出60盒子，则仓库内余下的粉笔的盒数Q与星期数t之间的函数关系式 . 15．若正比例函数y=kx的图象经过点（2，4），则k= ． 16．已知函数是正比例函数，则的值为 ． 17．若y＝（k﹣1）+k+1是关于x的正比例函数，则k＝ ． 三、解答题 18．计算： (1) (2)与成正比例，且当时，．求当时，的值． (3)已知的算术平方根是2，的立方根是2，求的平方根． 19．李老师和“函数小分队”的队员们根据学习函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下： (1)在自变量x的取值范围内，x与的几组对应值如下表：其中 ． x 0 1 2 3 4 … y1 1 0 1 m 3 … (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并回答以下问题：根据该函数图象写出一条性质： ． (3)已知函数的图像与函数的图像关于y轴对称，请在图中画出函数的图像，并结合图像直接写出直线与函数图像的交点坐标． 20．商店要出售一种商品，出售时要在进价的基础上加上一定的利润，其销售量（千克）与售价（元）之间的关系如下表. 销量/千克 售价/元 1 1+0.3+0.05 2 2+0.6+0.05 3 3+0.9+0.05 4 4+1.2+0.05 ... ... （1）写出用含的式子表示售价的计算公式。 （2）此商品的销售量为10千克时，售价为多少？ （3）当售价为26.05元时，商品的销售量为多少千克？ 21．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 22．（1）已知等腰三角形的周长为30，底边长为y，腰长为x，试写出y与x之间的函数关系式； （2）已知一根蜡烛长20厘米，点燃后匀速燃烧，每分钟燃烧0.2厘米，燃烧x分钟后剩下的蜡烛长y厘米，试写出y与x之间的函数关系式； （3）已知某种商品每件进价为100元，售出1件获利20%，若售出x件的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式． 23．设有三个变量、、，其中是的正比例函数，是的正比例函数 （1）求证：是的正比例函数； （2）如果，时，求出关于的函数关系式． 24．如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，若，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，若点是边的中点，是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）. ①在点滑动过程中，是否一定成立？请说明理由； ②在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在直线上，求此时点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A C C C D A C 题号 11 12 答案 A C 1．C 【解析】根据一次函数的定义及表达式逐一判定即可求解． 解：选项，是关于的二次函数，不符合题意； 选项，，不是的一次函数，不符合题意； 选项，是关于的一次函数，符合题意； 选项，中的值不确定，不能判定，不符合题意； 故选：． 本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义及表达式是解题的关键． 2．B 【解析】本题主要考查一次函数图像上点坐标特征，熟练掌握一次函数图像上点坐标特征是解题关键． 将点坐标代入函数解析式进行验证即可． 解：A．当时，则，即经过点，故本项不符合题意； B．当时，则，即经过点，故本项符合题意； C．当时，则，即经过点，故本项不符合题意； D．当时，则，即经过点，故本项不符合题意． 3．B 【解析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，逐一判断，即可得到答案． ∵， ∴A不符合题意， ∵， ∴B符合题意， ∵， ∴C不符合题意， ∵， ∴D不符合题意， 故选B． 本题主要考查一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，是解题的关键． 4．A 【解析】本题主要考查正比例函数的定义．先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如（k不为0的常数，）的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 解：A、，是正比例函数，故本选项符合题意； B、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； D、设水箱里原来有水，则，不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A. 5．C 【解析】直接根据一次函数的概念求解即可． 解：∵函数是一次函数， ∴， 解得， 故选：C 本题考查了一次函数的概念，熟记一次函数中是解题的关键． 6．C 【解析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义逐项判断即可，解题关键是掌握正比例函数形如，正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 、是反比例函数，不符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 、是正比例函数，符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 故选：． 7．C 【解析】矩形的周长为，用表示可得，符合一次函数关系． 解：由题意得：， ， ， 即与是一次函数关系． 故选C． 本题考查一次函数的应用，理清题中的数量关系，熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键． 8．D 【解析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的一般式进行判定即可求解． 解：A、是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，符合题意； 故选：D ． 9．A 【解析】本题考査了正比例函数的定义，一般的，形如 (k为常数，且)的函数，叫做正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 根据正比例函数的定义逐项判断即可． 解：A. 符合正比例函数的定义，是正比例函数，符合题意； B、不符合正比例函数的定义，不是正比例函数，不符合题意； C、不符合正比例函数的定义，不是正比例函数，不符合题意； D、不符合正比例函数的定义，不是正比例函数，不符合题意； 故选：A． 10．C 【解析】一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，据此对隔函数进行判断即可． 解：①y=-8x属于一次函数； ②y=不是一次函数； ③y＝x＋1属于一次函数； ④y＝－5x2＋1不是一次函数； ⑤y=-0.5x-3属于一次函数， ∴一次函数有3个， 故选：C． 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． 11．A 【解析】根据正比例函数的定义，即可解答． 解：∵函数是正比例函数， ∴，解得：， 故选：A． 本题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如的是正比例函数． 12．C 【解析】根据题意，分别令代入函数解析式，即可求解． 解：A.当时，，则在图象上，故该选项正确，不符合题意； B. 当时，，则在图象上，故该选项正确，不符合题意； C. 当时，，则不在图象上，故该选项不正确，符合题意； D. 当时，，则在图象上，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 13．2 将x=-1代入正比例函数中即可求出答案． 解：时， . 故稚嫩为：2. 14．Q=15000-60t 【解析】根据题意表示出t星期领出的粉笔数量，进而求出函数关系式． 解：由题意可得：Q=15000-60t． 故答案为Q=15000-60t． 本题主要考查了列函数关系式，得出正确的等量关系是解题关键． 15．2 16．1 【解析】根据正比例函数的定义，可得答案． 解：根据题意得：， 故答案为：1． 本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解题的关键． 17．-1 【解析】直接利用正比例函数的定义分析得出答案． 解：∵y＝（k﹣1）x2﹣|k|+k+1，y是x的正比例函数， ∴2﹣|k|＝1，且k﹣1≠0，k+1＝0， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点晴】本题主要考查了正比例函数的定义，注意一次项系数不为零，正确理解正比例函数的概念是解题关键． 18．(1)； (2)； (3)． 【解析】（1）根据算术平方根、立方根计算即可； （2）设，求出，即，把代入即可求出x的值； （3）根据的算术平方根是2，求出，再利用的立方根是2，求出，再求出，所以的平方根为． （1）解：原式． （2）解：设， 把，代入得，解得， 所以，即， 把代入得，， 解得：. （3）解：∵的算术平方根是2， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， 把的值代入解得：， ∴， ∴的平方根为． 本题考查算术平方根，平方根，立方根，正比例函数，解题的关键是掌握以上相关知识并能够综合运算，属于基础题． 19．(1)2； (2)当时，随x的增大而增大； (3) 【解析】（1）将代入函数中，即可得到值； （2）利用描点法，即可画出函数图像；观察图像即可得到该函数图像的性质； （3）利用对称的性质，即可画出函数的图像，再画出直线的图像，结合图像即可得到直线与函数图像的交点坐标． （1）解：将代入函数， ， ， 故答案为：2； （2）解：根据（1）表中的对应值，即可画出该函数图像； 观察图像可知： 当时，随x的增大而增大； （3）解：函数的图像与函数的图像关于y轴对称， 函数图像上三点、、关于y轴对称的点为、、， 即可画出函数图像 ，如下图； 画出图像，根据图像可知：直线与函数图像的交点坐标为． 本题是一次函数的综合应用，考查了画函数图像，函数关于轴对称，交点坐标等知识，从图像中获取正确信息是解题关键． 20．（1）；（2）售价为13.05元；（3）商品的销售量为20千克. 【解析】（1）从图中的x与y的关系：当x=1时，y=1+0.3+0.05，当x=2时，y=2+0.3×2+0.05，……，可以看出y=x+0.3x+0.05=1.3x+0.05； （2）把x=10代入（1）中关系式即可求出y的值； （3）把y=26.05代入（1）中关系式，可以得到x的值． 解：（1）； （2）把代入可得，， 答：售价为13.05元； （3）把代入， 可得：， 解得：， 答：商品的销售量为20千克． 考查数字的变化规律，观察表格得到销量的每一项与相应售价之间的关系是解决本题的关键． 21．(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【解析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． （1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 22．（l） （2） （3）（，且x为整数） 【解析】（1）根据等腰三角形的周长为30列方程，化为函数关系式，再根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可． （2）根据剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以表示出剩下的长度y（厘米）与点燃时间x（分）之间的函数关系式， （3）根据利润等于每件商品的利润乘以商品的件数列式整理即可． （1）∵2x+y=30， ∴y=30-2x，即x＜15， ∵两边之和大于第三边，即2x＞y， ∴2x＞（30-2x）. ∴x＞7.5， 综上可得； （2）由题意，得y=20-0.2x． ∵， ∴20-0.2x≥0， ∴x≤100， ∴综上可得：． （3）由题意得，每一件商品的利润为：， 所以，利润y=20x． ∴（，且x为整数） 本题考查了函数关系式：根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系.列一次函数关系式的步骤（1）寻找等量关系，可以直接将公式当作等量关系；（2）用字母表示自变量及函数，根据等量关系列出等式；（3）将等式变形，写成函数的一般形式．注意，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义．本题表示出△ACD的面积，关键是要确定底和高． 23．（1）见解析；（2） 【解析】（1）分别设出两函数解析式，联立即可； （2）将，代入，求出即可． 解：（1）由题意，设，，，为常数， ∴ ∵，， ∴且为常数， ∴是的正比例函数； （2）当，时，代入， ∴． ∴关于的函数关系式是． 本题考查了正比例函数的定义，列出解析式即可解答． 24．(1)证明见解析；(2) AE=EF一定成立，理由见解析；②F点坐标为 【解析】(1)利用ASA证明△AME≌△ECF，可得结论； (2) ①在AB上截取AM=EC，连接ME，同（1）证明△AME≌△ECF，可得AE=EF； ②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，则可用a表示出FG、FH，由角平分线的性质得到关于a的方程，求得a的值，即可得出F的坐标. (1)证明：∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∵M、E为中点， ∴AM=EC=BE=BM， ∴∠BME＝45°， ∵CF平分∠DCB， ∴∠AME=∠ECF=135°， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF (ASA) ， ∴AE=EF； (2)解：①若点E在线段BC上滑动时AE=EF一定成立. 证明：如图2中，在AB上截取AM=EC，连接ME， ∵AB=BC， ∴BM=BE， ∴△MBE是等腰直角三角形， ∴∠AME=180°-45°=135°， 又∵CF是角平分线， ∴∠ECF=90°+45°=135°， ∴∠AME=∠ECF， ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF (ASA) ， ∴AE=EF； ②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图3， 则FG=CH=a-1，FH=-2a+6， ∵CF为角平分线， ∴FH=FG， ∴a-1=-2a+6， 解得， 当时，， ∴F点坐标为. 本题考查了一次函数的综合应用、正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质及方程思想等知识，能够添加正确的辅助线构造全等三角形是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$