12.3 第1课时 角平分线的性质 教学设计 2024—2025学年人教版数学八年级上册

课题名称 12.3 角的平分线的性质 第1课时 角平分线的性质 学科 数学 授课班级 授课时数 １ 执教者 授课日期 教材分析 角平分线的性质是在学习角平分线的概念和全等判定的基础上进行教学的，它主要是学习为证明线段或角相等开辟了新的思路，是今后作图、计算、证明的重要工具，具有承前启后的作用，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。 学情分析 本节课是在学生已经学习了三角形的基本概念、全等三角形判定方法，具有初步的推理能力的基础上进行学习的，使学生学会分析、学会证明，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有着重要的作用。而角平分线的性质为证明两个角相等、两条线段相等提供了方法，是对全等的判定方式的学习的升华，本节也对一般几何证明方式进行了简单的总结，也是后续学习垂直平分线，等腰三角形，等边三角形、菱形、正方形、圆等内容的打下了基础。 教学目标 1. 通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理； 2. 能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. 教学 重难点 重点：能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. 难点：通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理； 课前准备 三角板、多媒体、ppt 教学方法 自主学习法、问答法、启发讲授法、讲解法、 教学过程 一、情境引入 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 答：用量角器度量，也可用对折的方法. 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的 方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中 AB=AD，BC=DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗? 证明：在△ACD和△ACB中， AD=AB（已知）， DC=BC（已知） ， CA=CA（公共边）， ∴ △ACD≌ △ACB（SSS）. ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）. ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）. 二、自主学习P48~49，填写同步“知识梳理” 1.用尺规作角的平分线的方法(作∠AOB 的平分线)： 如图 1，(1)以点______为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于 点N. (2)分别以点M，N为圆心，_________的长为半径画弧,两弧在∠______的内部相交于点C. (3)画射线______，射线_______即为所求. 2.角的平分线的性质:角的平分线上的点到________的距离相等. （学生自学） 三、释疑 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？ 如图，已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 问题：你能证明OC是∠AOB的角平分线吗？ 证明：∵在ΔMOC和△NOC中 OM=ON OC=OC MC=NC ΔMOC≌ΔNOC(SSS)0 ∴∠MOC=∠NOC 即OC是∠AOB的角平分线 1.图2是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,通 过判定三角形全等可说明∠BAD=∠CAD,则判定三角 形全等的依据是( ). A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 例1 已知:如图4，∠AOB.尺规作图:∠AOM= 1/2∠AOB.(不写作法，保留作图痕迹) 1.已知∠AOB ，求作射线OC，使OC平分∠AOB,以下作法步骤的合理顺序是( ). ①作射线OC；②在 OA 和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；③分别以D,E为圆心,以大于1/2DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在 OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记 垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？ 在OC上再取几个点试一试. 经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得 到同样的结论. 问题：通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 测量发现：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠AOC = ∠BOC， OP = OP， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE. 性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 定理的作用：证明线段相等. 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE. 1. (梧州中考)如图3,已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长是________。 2.已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 四、巩固练习 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BD 平分 ∠ABC，DE⊥AB 于 E，则： (1) 哪条线段与 DE 相等？为什么？ 解：DC = DE. 理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. (2) 若 AB＝10，BC＝8，AC＝6，求 BE，AE 的长和△AED的周长. 解：∵ BD 平分∠ABC，∴∠CBD＝∠EBD. 在△CDB 和△EDB 中， ∠C＝∠BED， ∠CBD＝∠EBD， DB＝DB， ∴△CDB≌△EDB (AAS). ∴ BE＝BC＝8. ∴ AE＝AB - BE＝2. ∴△AED 的周长为 AE＋ED＋DA＝2＋6＝8. 五、评议 我们今天学习了什么？ 六、作业布置 同步 板书设计 教学反思 5 学科网（北京）股份有限公司 $$