26.1.2反比例函数图象和性质同步练习 2024-2025学年人教版数学九年级下册

26.1.2反比例函数图象和性质--2024-2025学年人教版数学九年级下册 知识点回顾： 1.反比例函数的图象特征 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 【微点拨】①若点(a，b)在反比例函数的图象上，则点(-a，-b)也在此函数图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称。 ②在反比例函数(k为常数，)中，因为，且，所以两个分支都无限接近x轴和y轴，但永远不能到达x轴和y轴。 2.画反比例函数的图象的基本步骤 ①列表：自变量的取值应以O为中心，在O的两侧取3对(或3对以上)互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数。 ②描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点。 ③连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。 【微点拨】双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。 3.反比例函数的性质 ①如图①，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。 ②如图②，当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大。 【微点拨】①反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内;当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。 ②反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性反映的是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 同步练习： 一、单选题 1．已知反比例函数的图象经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点在该函数图象上 C．y随x的增大而增大 D．该图象是轴对称图形 3．已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若点，，在反比例函数的图象，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、．给出下列结论： ①； ②； ③； ④不等式的解集是或． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴于点C，连接，则四边形的面积为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 8．如图，反比例函数的图象经过，若，则y的取值范围 ． 9．在函数的图象上有三个点的坐标分别为、、，则、、的大小关系是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，函数的（）与的图象交于点，则代数式的值为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B，点A在函数的图象上，若的半径为3，，则k的值为 ． 12．如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交，的图象于，两点，若的面积为3，则值为 . 13．如图，将腰长为4的等腰放置在平面直角坐标系中，斜边在轴上，直角边的中点在轴正半轴上，则过点的反比例函数的解析式为 ． 三、解答题 14．已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 15．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，已知点的坐标是，． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点为反比例函数在第一象限图象上的一点，若，请求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D D C A B A 1．B 【分析】此题考查了判断点是否在反比例函数图象上，将每个选项中的点坐标代入解析式，判断是否等于k的值即可． 【详解】解：将点代入，得， A.∵，故点不在的图象上； B. ∵，故点在的图象上； C. ∵，故点不在的图象上； D. ∵，故点不在的图象上； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质．根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得． 【详解】解：A、，函数的图象在第二、四象限，选项说法错误，不符合题意； B、因为，所以点不在函数图象上，选项说法错误，不符合题意； C、，在每个象限内，y随着x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意； D、，函数的图象在第二、四象限，并且图象是轴对称图形，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意，得到反比例函数图象过二，四象限，得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，， ，解得． 故选D． 4．C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 故选：C． 5．A 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到故①符合题意； 把代入中得到故②符合题意；把代入得到 求得根据三角形的面积公式即可得到故③符合题意；根据图象得到不等式的解集是或故④符合题意． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】解：①由图象知， 故①符合题意； ②把代入中得 故②符合题意； ③把代入 得 解得： ， ∴ ∴直线解析式是： ∵已知直线与x轴、y轴相交于P、Q两点， 故③符合题意； ④由图象知不等式的解集是或故④符合题意； 四个结论都正确， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，正比例函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据正比例函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及正比例函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：当时， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，故A，C选项错误； 当，则， ∴反比例函数在二四象限，正比例函数经过一、三象限，故B选项正确，D选项错误， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键．延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 8．/ 【分析】此题考查了反比例函数的函数值、函数值的取值范围，反比例函数的图象与性质，点在函数图像上的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质及其应用．根据反比例函数的图象与性质即可求解． 【详解】∵反比例函数的图象经过， ∴． ∴函数解析式． ∵，在第一象限内，y随着x的增大而增大， ∴． 故答案为： 9．/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象在第一，三象限，得到第一象限的函数值恒大于第三象限的函数值且y随x的增大而减小．即可判断出结论． 【详解】解：函数， ， 函数在第一象限y随x的增大而减小，， ， ， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，对等式和代数式进行合理的变形，整体代入求值是解题的关键；由交点可得，再把通分，整体代入求值即可； 【详解】函数的（）与的图象交于点， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，根据相切得到，利用勾股定理求出，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵与y轴相切于点B， ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 把代入得到， ，解得， 故答案为： 12．4 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．连接、，如图，由于轴，根据三角形面积公式得到，再利用反比例函数系数k的几何意义，即可作答． 【详解】解：连接、，如图， 轴， ， 而， ， 而， . 故答案为：4 13． 【分析】过点作轴于点，首先证明为等腰直角三角形，进而可得，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而确定点，设该反比例函数解析式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如下图，过点作轴于点， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设该反比例函数解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该反比例函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，确定点的坐标是解题关键． 14．(1)， (2)5 【分析】此题主要考查了用待定系数法确定函数的解析式，，以及一次函数的应用，难易适中．在求解面积时要注意运用分割法，把总面积分割为两个小三角形的面积之和． （1）首先把代入反比例函数中，就可以确定k的值，从而确定反比例函数的表达式，再把代入反比函数解析式确定n的值，再利用待定系数法确定一次函数的表达式； （2）先求出直线AB与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出的面积． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； 反比例函数的表达式为：； ，即：； 将、代入得：， 解得： 一次函数的表达式为：； （2）解：如图所示：设一次函数与轴交于点， 由得； ． 15．(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质，一次函数的性质． （1）根据反比例函数过点得反比例函数的关系式为，根据得B的纵坐标为，当时，，计算得，根据，两点在上得，进行计算即可得； （2）根据函数图象即可得； （3）设，根据得，根据得，即可得，进行计算得，根据点P为反比例函数在第一象限图象上的一点得，进行计算即可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵， ∴B的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴， ∵，两点在上， 解得： ∴一次函数的关系式为． （2）解：根据函数图象得，或． （3）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点P为反比例函数在第一象限图象上的一点， ∴， 解得， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$