精品解析：陕西省西安市周至县第六中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

周至县第六中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题（卷） （试卷共150分，时间为120分钟） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知点关于轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量和夹角为120°，且，则（　　） A. 12 B. C. 4 D. 13 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 5. 已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 6. 如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为 B. 三点共线 C. 过两点的直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（　　） A. 若空间向量满足，则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量满足，则 D. 空间中，，则 10. 已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 11. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线距离的最大值为5 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点在平面内，并且对空间任一点，，则________． 13. 过点作圆的切线，切线方程为__________. 14. 已知椭圆弦的中点M的坐标为，则的方程为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知三角形的三个顶点是. （1）求边所在直线方程； （2）求边上高所在直线的方程. 16. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面距离. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值. 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点. （1）若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程； （2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由. 19. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： （1）动点P的轨迹C的方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周至县第六中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题（卷） （试卷共150分，时间为120分钟） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知点关于轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标表示求解. 【详解】点关于轴的对称点为， 所以,所以， 故选:D. 2. 已知向量和的夹角为120°，且，则（　　） A. 12 B. C. 4 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】应用数量积的运算律及其定义求结果. 【详解】. 故选：D 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率即可得出倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为， 由可得， 则， 由，可知. 故选：C 4. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（　　） A B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)， 圆半径|AM|=， 圆心M (−1,0)到直线x+y−1=0的距离： |， ∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长： . 故选B 点睛: 本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法： 1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方 程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直 线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判 断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大． 2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系. 5. 已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】C 【解析】 【分析】 将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系 【详解】解：由，得，化简得， 因为， 所以方程无解， 所以直线与椭圆的位置关系是相离， 故选：C 6. 如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解. 【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 7. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程，再由圆，求得圆心为，半径，利用直线与圆相切，即可求得，得到答案． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为 B. 三点共线 C. 过两点的直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式以及截距式方程和两点式方程一一判断求解. 【详解】对A，当时，的斜率不存在，当时，的斜率为，A错误； 对B，因为 且共点，所以三点共线，B正确； 对C，当或时，不能用两点式方程表示，C错误； 对D，当在轴和轴上截距都相等且不为零时，设方程为， 因为直线经过点，所以，解得，则直线方程为， 当在轴和轴上截距都相等且为零时，设方程为， 因为直线经过点，所以，直线方程为， 所以满足条件的直线方程为或，D错误； 故选：B. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（　　） A. 若空间向量满足，则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量满足，则 D. 空间中，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的定义以及性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量与的方向不一定相同，故A为假命题； 对于B选项，与的方向相同，模也相等，故=，故B为真命题， 对于C选项，向量的相等满足传递性，故C为真命题； 对于D选项，平行向量不一定具有传递性，当时，与不一定平行，故D为假命题； 故选：BC 10. 已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C. 【详解】若，则C为双曲线，所以A正确； 若且，则，，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确； 若，当时，C是单位圆，所以C不正确； 若，则C为双曲线，所以D不正确. 故选：AB 11. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线距离的最大值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】A直线化为确定定点判断；B、C应用直线平行、垂直的判定求参数判断；D由到所过定点距离为最大距离，即可判断. 【详解】A：由，即直线恒过定点，对； B：，则，可得，对； C：，则，可得，即或， 时，，，满足； 时，，，满足， 综上，或，错； D：点到直线距离的最大值，是到定点的距离，即为5，对. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点在平面内，并且对空间任一点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得. 【详解】由于平面， 所以，解得. 故答案为： 13. 过点作圆的切线，切线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】由，可得圆的圆心，半径为， 当过的直线斜率不存在时，直线方程为，易得直线与圆相切， 当过的切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为， 所以切线方程为或． 故答案为：或． 14. 已知椭圆的弦的中点M的坐标为，则的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用点差法即可求出直线的斜率，根据所给数据，即可得解. 【详解】设，设直线的斜率为， 有，， 两式相减可得， 所以， 所以， 由， 所以，又直线过， 可得直线方程为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知三角形的三个顶点是. （1）求边所在的直线方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率，进而由斜截式即可求解方程， （2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解. 小问1详解】 由题意可得, 由斜截式可得直线方程为； 【小问2详解】 ,所以边上的高所在直线的斜率为， 由点，所以边上的高所在直线方程为. 16. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法证明与面的一个法向量垂直，即可证结论； （2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离. 【小问1详解】 由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系， 则 由，得，解得，同理， ，显然面的一个法向量为， 显然且面，故面 【小问2详解】 设面的一个法向量为，且， 由， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 又， 点到平面的距离为. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，解方程组求出，从而可求得双曲线C的方程， （2）将直线方程代入双曲线方程中化简，然后二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可 【小问1详解】 由题意得，解得 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 由，得， 由题意得，解得. 当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个公共点， 所以或. 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点. （1）若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程； （2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）存在，两个 【解析】 【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解； (2) 假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果. 【小问1详解】 圆可化为，圆心为， 若的斜率不存在时，，此时符合要求. 当的斜率存在时，设的斜率为，则令， 因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离 ， 所以直线的方程为或. 小问2详解】 假设圆上存在点，设，则， ， 即，即， ， 与相交，则点有两个 19. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： （1）动点P的轨迹C的方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）设动点，根据及斜率两点式列方程求轨迹； （2）设直线与曲线C的交点为，联立轨迹C并应用韦达定理、弦长公式求参数k，即可得结果. 【小问1详解】 设动点， 由题意，化简整理得， 故点P的轨迹C的方程是. 【小问2详解】 直线斜率不存在时不合题意， 斜率存在时，设直线与曲线C的交点为， 由，得，， 则，， ，整理得，解得或（舍）. 经检验，符合题意，直线l的方程为，即或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$