精品解析：福建省南安华侨中学、石狮八中、泉州外国语学校、泉州市城东中学2024-2025学年高一上学期期中四校联考数学试卷

南安华侨中学、石狮八中、泉州外国语学校、泉州市城东中学 2024年秋季期中四校联考试卷 高一年数学科 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对任意实数且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题满足，且恒成立，命题 “，使”，若命题与命题都为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过x的最大整数，则标为高斯函数.例如：，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ） A. B. 的最大值为1 C. 的最小值为0 D. 在上的值域为 二、多选题 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 10. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最大值为2 11. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知函数且，则实数的值为_________. 13. 已知函数为上的偶函数，当时，，则时，____________． 14. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为_______． 四、解答题 15. 已知集合,集合． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）用定义法证明在上单调递增； （2）求使成立的实数的取值范围． 17. ，用表示的较小者，记为，已知， （1）画出函数的图象，并写出单调递减区间． （2）求不等式的解集． 18. 使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”．随着光伏发电成本持续降低，光伏产业已摆脱了对终端电站补贴政策的依赖，转向由市场旺盛需求推动的模式，中国光伏产业已进入平价时代后的持续健康发展的成熟阶段．某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的光伏电站，并入该合作社的电网．修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为0.12．为了保证正常用电，修建后采用光伏地能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下．当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）．记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）． （1）用表示； （2）该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值； （3）要使不超过140万元，求的取值范围． 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由： （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安华侨中学、石狮八中、泉州外国语学校、泉州市城东中学 2024年秋季期中四校联考试卷 高一年数学科 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义，结合定义域与对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于B中，函数的定义域为， 函数的定义域为或， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于D中，函数的定义域为， 函数的定义域为，定义域和对应关系都相同， 以两个函数是同一函数. 故选：D. 4. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的概念，系数为1，且在上是减函数，指数为负即可. 【详解】由幂函数在上是减函数， 则，解得， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】令，可得，即， 所以， 因为函数在上为增函数，故， 即函数的值域为. 故选：C. 6. 已知函数，若对任意实数且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出的单调递减，再结合分段函数单调递减所需要的条件，即每段都需要单调递减，分段处，左边的函数值大于等于右边的函数值，从而得到不等关系，求出答案. 【详解】因为，所以单调递减，需要满足 ，解得： 故选：C 7. 已知命题满足，且恒成立，命题 “，使”，若命题与命题都为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式中1的妙用，结合全称量词命题求出P，再由存在量词命题求出Q，进而求得结论. 【详解】由，， 得， 当且仅当，即时取等号， 即当时，，依题意，，解得， 即命题， 又，当时，， 依题意，命题， 由命题P与命题Q都为真命题，得，所以实数的取值范围是. 故选：A 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过x的最大整数，则标为高斯函数.例如：，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ） A. B. 的最大值为1 C. 的最小值为0 D. 在上的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可. 【详解】对于A，，，所以，A错； 由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以当时，，且每段函数都是单调递减，每段的左端点的函数值都为1； 当时，，且每段函数都是单调递增，每段的左端点的函数值都为1； 绘制函数图象如图所示， 对于B，由图可知，当，没有最大值，B错； 对于C，由图可知，当，的最小值为0，C对； 对于D，由图可知，在上的值域为，D错. 故选：C 二、多选题 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案. 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 10. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合基本不等式分析判断；对于B，由化简后利用基本不等式判断；对于C，利用基本不等式分析判断，对于D，对平方后利用基本不等式分析判断. 【详解】对于A，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故B错误； 对于C，，故，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1，故C正确； 对于D，，故， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为2，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断. 【详解】对于A，因为， 令，得，所以，故A正确； 对于B，令，得，所以， 任取，且，则， 因为，所以，即，所以， 所以在上是增函数，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，因为，， 所以， 又因为，所以， 由得即， 因为在上是增函数，所以，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知函数且，则实数的值为_________. 【答案】13或. 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式，分2种情况讨论：当时，，当时，，求出的值，综合可得答案. 【详解】函数若， 当时，，解得，符合； 当时，，解得（舍去）或， 综上可得或. 故答案为：13或. 13. 已知函数为上的偶函数，当时，，则时，____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当时，，由函数的解析式求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，当时，， 则， 又由函数为上的偶函数，则． 则时，． 故答案为：． 14. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论x的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案. 【详解】设， 而是定义在上的奇函数，即， 故，即为偶函数； 对任意的，不妨设，则 ， 又对任意的满足， 当时，，则，即， 而，故， 则在上单调递减， 又为偶函数，故在上单调递增， ，故，则， 而不等式，即为不等式或， 即或， 故或， 即不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单调性，再结合所求解不等式同构为所构造函数的函数值大小比较形式，结合单调性以及奇偶性，即可求解. 四、解答题 15. 已知集合,集合． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集和补集的定义即可求解， （2）根据是集合的真子集，讨论和两种情况即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， 若故， 或． 【小问2详解】 命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）用定义法证明在上单调递增； （2）求使成立的实数的取值范围． 【答案】（1）证明：由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以，，此时定义域关于原点对称， 且， 故是定义在上的奇函数，满足题意，所以，． 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，，，所以， 所以，即， 因此在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，利用赋值法可得函数解析式，再利用定义法可证明函数单调性； （2）根据函数的奇偶性与单调性可得不等式，结合函数定义域，解不等式组即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得， 因此需满足，解得，即； 故实数的取值范围为. 17. ，用表示的较小者，记为，已知， （1）画出函数的图象，并写出单调递减区间． （2）求不等式的解集． 【答案】（1） ， （2） 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，等的解为或． 【解析】 【分析】（1）通过不等式和的解确定函数的取值，从而得函数图象； （2）按相应方程根的小分类讨论求解． 【小问1详解】 因为， 所以令得，令得或， 所以， 作出函数图象如下 由图象知函数的单调递减区间为 【小问2详解】 不等式等价于， 即，所以， 当即时，有或， 当即时，有或， 当即时，有，即， 综上所述，当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，等的解为或． 18. 使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”．随着光伏发电成本持续降低，光伏产业已摆脱了对终端电站补贴政策的依赖，转向由市场旺盛需求推动的模式，中国光伏产业已进入平价时代后的持续健康发展的成熟阶段．某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的光伏电站，并入该合作社的电网．修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为0.12．为了保证正常用电，修建后采用光伏地能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下．当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）．记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）． （1）用表示； （2）该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值； （3）要使不超过140万元，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）修建面积为的太阳能面板，可使最小，且最小值为90万元 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求，再列式得与关系， （2）由基本不等式求解， （3）由一元二次不等式的解法求解． 【小问1详解】 由题意可得，当时，，则， 所以该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和，． 【小问2详解】 由（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 即该合作社应修建面积为的太阳能面板， 可使最小，且最小值为90万元． 【小问3详解】 为使不超过140万元，只需， 整理得， 则，解得， 即的取值范围是． 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由： （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，不是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可； （2）将增长函数问题转换为不等式在区间恒成立问题进行解决即可； （3）作出的图象，然后利用函数平移求解． 【小问1详解】 是：因为，，； 不是，反例：当时，． 【小问2详解】 由题意得，对于恒成立， 等价于，即对恒成立， 令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数， 要保证对恒成立，则， 即， 解得， 所以满足题意的最小正整数为9． 【小问3详解】 根据题意， 当时，，当时，， 因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示： 所以， 若是R上的增长函数，则对任意的，都有， 因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：在解决对恒成立的问题时，利用了主参换位法，可以将看成关于单调递增的一次函数，即转化为对恒成立，这样求解方便快捷. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $