27.2.1（第2课时）三边成比例的两个三角形相似（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第27章 相似 九年级数学下册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.2.1 （第2课时） 三边成比例的 两个三角形相似 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？ 类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？ 不需要 能 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的2倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论。 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学的定理证明此结论. C′ B′ A′ 2 3 4 A B C 4 6 8 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知：如图 △ABC 和△A'B'C' 中， . 求证：△ABC∽△A'B'C'. A B C C' B' A'   D E ∴ 证明：过点 D 作 DE∥B′C′ 交A′C′于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △A′DE ∽ △A′B′C′. ∴ DE=BC，A′E=AC. 又 ，A′D=AB， ∴ ， . ∴△A′DE≌△ABC ∴△ABC∽△A′B′C′ . BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言: BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm． A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝21cm ∴△ABC与△A'B'C'的三组对应边的比不等， 它们不相似 证明： ∴ 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 ∵ ， ， ， ∴ . ∴ △ABC ∽ △DEF. 解： BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，且， ,∠DAB=28°,求∠CAE. 解： ∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形， ∴ AD =AE，AB = AC， 又∵ ∴ ∴△ADE∽△ABC ∴∠DAE = ∠BAC， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， ∴∠CAE= ∠DAB =28°. A B C D E BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 解：相似，相似比为2：1，理由如下： 图①中的三角形三边分别为 ，2 ， ； 图②中的三角形三边分别为 2，2 ，2 . 则 ， 所以这两个三角形相似. 如图，在正方形网格中，有△A1B1C1 与 △A2B2C2 ，它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，说明理由. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′， ∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2. ∴ △ A′B′C′∽△ABC. ∴ BC=2B′C′， 由此你能得到什么启发？ BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 图形 应用 三角形的角平分线相交于内部一点， 该点到三角形三边的距离相等 利用三边判定两个三角形相似 三边成比例的两个 三角形相似 内容 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1. 如图，若 ＝ ＝ ，则△______∽△______. 2. 若一个三角形的三边长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形的三边长分别为12cm，18cm，________时，这两个三角形相似． ADE ABC 15cm A B C D E BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 4 或 9 4.一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.（1）根据下面条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由． AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm， A′B′＝16cm，B′C′＝24cm，A′C′＝ 32cm． （2）若（1）中两三角形不相似，那么要使它们相似，不改变AC的长， A′C′的长应当改为多少？ 解：（1）△ABC与△A′B′C′的三组对应边的比不等，它们不相似． （2）当A′C′＝24cm时，两个三角形相似． BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点， 求证：△ABC∽△EFD． ∴△ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴ ∴ A B C E F D BY YUSHEN BY YUSHEN $$